連續(xù)廣義框架及其對偶的刻畫, 冗余及擾動

張 偉, 周 靜

(河南財經(jīng)政法大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南鄭州450046)

§1 引 言

Hilbert空間中的框架概念是在1952年由Duffin和Schaeffer[1]在研究非調(diào)和Fourier級數(shù)時首先提出的. 1986年Daubechies[2]等突破性的研究引起學(xué)者對框架的極大關(guān)注和興趣. 到目前為止, 框架已經(jīng)廣泛應(yīng)用于圖像處理[3], 無線通訊[4], 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5], 量化測度[6]等領(lǐng)域. 因此, 有關(guān)框架的研究成果十分豐富(見[7-12]).

隨著框架研究的不斷深入, 出現(xiàn)了許多推廣形. 特別地, 1993年, 文[13]將框架推廣到帶有Radon測度的局部緊空間, 引入了連續(xù)框架的概念; 2006年, 文[14]提出廣義框架的概念;2008年, 文[15]提出連續(xù)廣義框架的概念使得連續(xù)框架與廣義框架成為連續(xù)廣義框架的特殊形式. 本文受文[16]工作的啟發(fā), 進(jìn)一步考慮連續(xù)廣義框架及其對偶的深刻性質(zhì).§2列出連續(xù)廣義框架及其對偶的定義, 并給出本文用到的連續(xù)廣義框架的一些基本性質(zhì).§3利用相關(guān)算子去刻畫連續(xù)廣義框架及其對偶連續(xù)廣義框架.§4討論連續(xù)廣義框架及其對偶連續(xù)廣義框架的冗余性, 即對任一給定的連續(xù)廣義框架, 在某些條件下, 去掉部分元素后剩下部分還能構(gòu)成連續(xù)廣義框架.§5研究連續(xù)廣義框架及其對偶擾動的穩(wěn)定性.

§2 預(yù)備知識

本節(jié)列出全文所用到的框架的一些記號, 定義和基本性質(zhì).

記號:H, U, V表示復(fù)Hilbert空間, (?, μ)表示賦予正測度μ的測度空間,{Vω}ω∈?表示V的一列閉子空間,L(H, Vω)表示由H到Vω的所有有界線性算子的集合, 特別, 如果對于任意ω ∈?,有Vω=H, 則記L(H, Vω)為L(H),IH表示H的恒等算子.

§3 連續(xù)廣義框架及其對偶的刻畫

§4 連續(xù)廣義框架的冗余

§5 連續(xù)廣義框架的擾動