時間尺度上帶有反饋控制的Schoner競爭模型的漸近行為

魯紅英

(東北財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 遼寧大連116025)

§1 引 言

在自然界中, 兩種群競爭模型具有十分深刻的實際背景, 關(guān)于自治或非自治競爭模型的動力學(xué)問題研究是種群生態(tài)學(xué)研究熱點, 歷來受到學(xué)術(shù)界的關(guān)注(如文[1-3]及其參考文獻).1974年Schoner提出了著名的自治兩種群競爭模型[3]:

其中xi(i=1,2)表示競爭種群Xi的密度,ai,bi分別是競爭種群Xi的種內(nèi)競爭率和種間競爭率,ci是競爭種群Xi的死亡率. 為了能更精確描述現(xiàn)實世界中種群生長情況, 陸忠華, 陳蘭蓀[4]提出了具有周期系數(shù)的Schoner競爭模型, 得到了存在唯一全局漸近穩(wěn)定正周期解的條件. 近年來, 很多學(xué)者都對連續(xù)型和離散型Schoner競爭模型進行了深入廣泛的研究[5-12].

時間尺度T就是實數(shù)集R的一個非空閉子集, 其上拓撲是由實數(shù)集R的標準拓撲誘導(dǎo)的拓撲. 時標動力學(xué)方程是近年來新興且亟待深化的研究領(lǐng)域. 時標動力學(xué)方程包含微分方程和差分方程作為特例, 不僅能夠整合和統(tǒng)一連續(xù)與離散的分析, 而且更具有現(xiàn)實意義. 自1988年德國數(shù)學(xué)家Stefan Hilger建立了時標理論, 相繼有許多學(xué)者對時標動力學(xué)方程的性質(zhì)進行了研究, 得到了很好的研究成果. 目前, 關(guān)于時標動力學(xué)方程的特征值問題, 多點邊值問題和振

其中(n) =vi(n+1)?vi(n), i= 1,2,是一階前差微分算子. 系統(tǒng)(4)和系統(tǒng)(5)是系統(tǒng)(2)的特例. 本文主要目的是通過發(fā)展文獻[18-20]的分析技術(shù), 討論系統(tǒng)(2)的持久性, 在此基礎(chǔ)上, 運用微分比較原理和構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù), 得到存在唯一一致漸近穩(wěn)定正概周期解的一組充分條件, 并且可以將所得到的結(jié)論應(yīng)用到連續(xù)與離散Schoner競爭模型中, 得到了一些新結(jié)果, 完善了已有的相關(guān)研究結(jié)果.

本文結(jié)構(gòu)安排如下:§2介紹時間尺度基本概念及為證明本文主要結(jié)果所需的引理.§3給出系統(tǒng)(2)持久性的充分條件.§4在持久性基礎(chǔ)上, 給出系統(tǒng)(2)存在唯一一致漸近穩(wěn)定概周期解的一組充分條件.

§2 預(yù)備知識

§3 持久性

§4 正概周期解存在唯一性