極點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算方法與技巧

小結(jié)　常水珍　王華敏

摘 要 本文將利用函數(shù)在極點(diǎn)的特征，對(duì)極點(diǎn)處的留數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行分析，并結(jié)合函數(shù)在極點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)洛朗級(jí)數(shù)展開式，給出復(fù)變函數(shù)的留數(shù)計(jì)算的又一計(jì)算技巧。

關(guān)鍵詞 極點(diǎn) 留數(shù) 鄰域 積分

中圖分類號(hào)：G642文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

函數(shù)的留數(shù)的計(jì)算，是我們復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，留數(shù)的計(jì)算也提供了我們計(jì)算周線積分的又一方法。因此，留數(shù)的計(jì)算方法研究，顯得尤為重要。孤立奇點(diǎn)的不同的特征，對(duì)應(yīng)有該點(diǎn)處的留數(shù)的特殊的計(jì)算方法。我們下面給出極點(diǎn)處的留數(shù)的計(jì)算技巧，方便學(xué)生掌握并應(yīng)用它的結(jié)論求出相應(yīng)點(diǎn)的留數(shù)解決其它問題。

根據(jù)留數(shù)的定義，運(yùn)用極點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展開式的的系數(shù)來求，是我們求留數(shù)的一般方法。但很多函數(shù)展開過程比較復(fù)雜，我們希望根據(jù)極點(diǎn)的特征，尋找極點(diǎn)處的留數(shù)的求法。下面我們分類尋找極點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算方法及使用技巧和關(guān)鍵點(diǎn)。

首先給出如下定理1、2。定理1、2證明方法類似，我們僅給出定理2的證明，進(jìn)而分析二者的各自的適用范圍。

由例3、4可知，一般定理1都可以運(yùn)用，但必須保證整個(gè)分式求導(dǎo)簡(jiǎn)單，且極限計(jì)算簡(jiǎn)單。 運(yùn)用定理3，對(duì)分子分母各自求導(dǎo)，還是適當(dāng)簡(jiǎn)化了運(yùn)算，但也需要導(dǎo)數(shù)好求，才能快捷計(jì)算出答案，讀者可以根據(jù)情況做出選擇。若極點(diǎn)的階數(shù)更高一些呢，我們運(yùn)用定理3，估計(jì)計(jì)算也比較復(fù)雜，期待以后能夠找到更簡(jiǎn)單的計(jì)算方法。

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