巧用符號表征過程 構(gòu)建模型提升素養(yǎng)

馬駿 魯藝

[摘要]感悟建模過程、發(fā)展模型思想是提升學(xué)生核心素養(yǎng)，促成深度學(xué)習(xí)的重要方式之一。小學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)可歸納為四個步驟：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、檢驗應(yīng)用。四個步驟相輔相成、缺一不可。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);倒水問題;數(shù)學(xué)模型;數(shù)學(xué)語言

[中圖分類號]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020）29-0023-03

“倒水問題”是一類典型的運用丟番圖方程進(jìn)行解答的問題。在小學(xué)階段，倒水問題的教學(xué)往往被兩點所困擾，一是如何簡明直觀地向?qū)W生呈現(xiàn)倒水的各項操作過程，二是如何引導(dǎo)他們剖析其中的過程并找出解題之法。筆者從芬蘭“無電腦編程”的算法思維教學(xué)中得到啟示，參考西南師范大學(xué)出版社出版的《數(shù)學(xué)文化》五年級下冊的“分飲料”一課，從培養(yǎng)學(xué)生的模型思想出發(fā)，設(shè)計了相應(yīng)的數(shù)學(xué)文化課例。

一、模型準(zhǔn)備——根據(jù)問題，構(gòu)建符號表征系統(tǒng)

數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用具象化數(shù)學(xué)語言來表現(xiàn)抽象化數(shù)學(xué)知識的方式。因此，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型首先要充分收集并整理相關(guān)信息，在學(xué)生了解了這一類問題的基礎(chǔ)上，探索用更簡單明了的方式來描述。

（例1：現(xiàn)有一大一小兩個水桶，但都沒有刻度，大桶能盛放5L水，小桶能盛放4L水，假設(shè)現(xiàn)在有無限多的水，請問如何才能通過這一大一小兩個桶準(zhǔn)確得到3L水呢？）

生1：先把小桶灌滿水，然后倒入大桶，大桶里就有4L水。再把小桶灌滿水，接著往大桶里倒，直到大桶灌滿（即大桶里倒入了1L水），這時小桶里就有3L水。

師：這里有一個表格（如表1），大家能不能用一種簡單明了的方法來展示每一步的操作過程呢？

生2：可以用“一小”表示把小桶接滿水，用“小一大”表示把小桶的水倒給大桶，用“大一”表示把大桶里的水倒出去。

師：請同學(xué)們根據(jù)自己設(shè)計的方法來填寫。

師：一大一小兩個桶的倒水問題，還可能會出現(xiàn)哪幾種操作？

生3：除了上面三種外，還有“→大”“大→小”和“小→”。

師：如果把一大一小兩個桶看成一個整體，這六種操作可以分為幾類？

生4：分為三類。一是進(jìn)水，總水量增加;二是水從一個桶到另一個桶，總水量不變;三是把水倒出去，總水量減少。

師：水從一個桶到另一個桶，總水量不變，我們可以稱為內(nèi)部操作;另外兩類總水量發(fā)生變化，我們可以稱為外部操作。

在模型準(zhǔn)備階段，需要給予學(xué)生充分的空間，使他們初步認(rèn)識、感知這類問題，發(fā)揮創(chuàng)作才能，設(shè)計出符合自身認(rèn)知的符號化語言。接著，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，對操作進(jìn)行分類，為下一步的模型假設(shè)和構(gòu)成奠定基礎(chǔ)。

二、模型假設(shè)——簡化過程，分析提煉內(nèi)涵規(guī)律

模型假設(shè)是將收集到的信息進(jìn)行簡化的過程，要抓住其主要矛盾，忽略無關(guān)信息的影響。在教學(xué)過程中，要充分利用模型準(zhǔn)備階段所確立的表征系統(tǒng)，豐富學(xué)生對于倒水問題的感受，再從內(nèi)部操作和外部操作兩個維度來簡化問題。

師：將上面的題目稍加修改，變成一個新問題。

（例2：現(xiàn)有一大一小兩個水桶，但都沒有刻度，大桶能盛放5L水，小桶能盛放3L水，假設(shè)現(xiàn)在有無限多的水，請問如何才能通過這一大一小兩個桶準(zhǔn)確得到4L水呢？）學(xué)生方案如下：

師：請仔細(xì)觀察表3、表4，說說你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)方案一的水都是從大桶到小桶，方案二的水都是從小桶到大桶。也就是說，每種方案的內(nèi)部操作只有一種。

師：真棒！剛才研究了內(nèi)部操作，那外部操作呢？又有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：我發(fā)現(xiàn)，同一個方案里，一個桶只負(fù)責(zé)進(jìn)水，另一個桶只負(fù)責(zé)倒水。

師：為了方便起見，我們把進(jìn)水的桶稱為1號桶，倒水的桶稱為2號桶。在同一個方案里，內(nèi)部操作是從1號桶到2號桶，水的流向是單一的;外部操作都是從1號桶進(jìn)，2號桶出，功能唯一。

通過對兩種方案的對比分析，從看似繁雜的步驟中捕捉共同點，逐漸梳理出內(nèi)部操作和外部操作規(guī)律的唯一性，從高處著眼，總結(jié)并簡化了問題的操作步驟。

三、模型構(gòu)成——建立聯(lián)系，數(shù)學(xué)語言概括表達(dá)

教師需引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)工具來描述信息以及信息中各種對象之間的關(guān)系，逐步串聯(lián)起內(nèi)部操作和外部操作，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，從局部躍遷到整體，建構(gòu)出數(shù)學(xué)模型。

師：回顧一下，無論是哪個方案，第一步是什么操作？第二步呢？

生1：第一步是外部操作，第二步是內(nèi)部操作，第三步又是外部操作，第四步又是內(nèi)部操作……內(nèi)外部操作交替進(jìn)行。

師：觀察方案一，第一步給1號桶裝滿水，第二步將水從1號桶倒入2號桶里，如果2號桶里的水沒裝滿，看看下面又是什么操作？

生2：繼續(xù)給1號桶裝滿水，再往2號桶里倒。

師：如果2號桶的水裝滿了，還沒得到想要的4L水，這時該怎么辦？

生3：把2號桶里的水倒掉，然后把1號桶里剩下的水倒入2號桶。

師：再繼續(xù)看剩下的步驟，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：剩下的操作其實一直在重復(fù)之前的步驟，直到出現(xiàn)4L水。其實當(dāng)1號桶確定之后，整個操作一直在重復(fù)如圖1所示的步驟。因此，只要明確1號桶進(jìn)幾次水，2號桶倒幾次水，中間的步驟就按照2號桶已滿和未滿兩種情況來處理，直到得到4L水。

師：按生4所說，只看外部操作和最后結(jié)果（如表5），你有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：我列了一個算式3x3-5x1=4，其中“3x3”表示3L的桶進(jìn)水3次，“5X1”表示5L的桶倒水1次。

師：用同樣的方法，你們能給方案一也列出一個這樣的算式嗎？

生6：5x2-3x2=4，其中“5x2”表示5L的桶進(jìn)水2次，“3x2”表示3L的桶倒水2次。

師：我們可以總結(jié)出“進(jìn)水桶的容積×進(jìn)水次數(shù)一倒水桶的容積×倒水次數(shù)=目標(biāo)體積”的公式。

以問題為引導(dǎo)，結(jié)合板書，以數(shù)形結(jié)合的形式啟發(fā)學(xué)生觀察并梳理其中所蘊含的規(guī)律，得出倒水問題其實是在交替進(jìn)行內(nèi)外部操作，兩種操作是非此即彼的關(guān)系。因此，只需將目光聚焦于外部操作，就可以把整個過程用數(shù)學(xué)算式表示出來，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步總結(jié)出數(shù)量關(guān)系式，得出數(shù)學(xué)模型。

四、檢驗應(yīng)用——投入實踐，內(nèi)化模型推廣延伸

模型思想是一種高層次的數(shù)學(xué)思維方式。在應(yīng)用形象化的數(shù)學(xué)語言將相對抽象的數(shù)量關(guān)系初步描述之后，再對模型進(jìn)行檢驗并利用模型求解，完成從理論到實踐的跨越，這也是數(shù)學(xué)學(xué)科嚴(yán)謹(jǐn)性和實用性的體現(xiàn)。

師：總結(jié)得到的這個數(shù)量關(guān)系式有什么用途呢？

生1：可以根據(jù)數(shù)量關(guān)系式，列算式并算出進(jìn)水次數(shù)和倒水次數(shù)，進(jìn)而解決倒水問題。

師：那就按照大家的說法來試一試，看可不可行。

（例3：現(xiàn)有容積為7L和11L的桶各一個，但都沒有刻度，假設(shè)現(xiàn)在有無限多的水，想要準(zhǔn)確量出IOL水，你會怎么辦？）

生2：經(jīng)過嘗試，我發(fā)現(xiàn)選擇7L的桶來進(jìn)水比較容易，算式是7x進(jìn)水次數(shù)-11X倒水次數(shù)=10，進(jìn)水3次，倒水1次，就能得到10L水，具體步驟如表6所示。

師：同學(xué)們，像倒水問題這樣總是循環(huán)往復(fù)操作的問題，誰比較擅長呢？

生3：計算機(jī)。

師：沒錯！在生產(chǎn)中常使用計算機(jī)編程來解決類似的問題，而今天我們的研究思路和編程語言里的if語句不謀而合。

師：大家看，針對同一個問題，既可以用口頭語言來敘述每個操作過程，也可用表格來展示，還可以用數(shù)學(xué)算式來表達(dá)。說到這里，你有什么感受嗎？

生4：我覺得數(shù)學(xué)算式是其中最簡單的表達(dá)方式。

師：這就是數(shù)學(xué)的簡潔之美！

以上教學(xué)環(huán)節(jié)，先讓學(xué)生驗證模型的實用性，再將數(shù)學(xué)語言與編程語言相聯(lián)系，拓寬了課堂的視野和格局，最后通過幾種表達(dá)方式的對比，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)語言簡潔的特點。

綜上所述，模型思想是體現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯思維價值，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，幫助人們掌握并發(fā)現(xiàn)事物本質(zhì)，深層理解核心關(guān)鍵的重要思想方法。同樣，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為驅(qū)動的教學(xué)設(shè)計也是實現(xiàn)課堂深度學(xué)習(xí)的重要方式，值得一線教師進(jìn)行深耕。

（責(zé)編李琪琦）