HPM視角下弧度制概念的教學(xué)設(shè)計

黃 春 石子璇

(揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,225002)

弧度制的本質(zhì)是用線段的長度來度量角的大小. 弧度的引入, 實現(xiàn)了度量的統(tǒng)一, 這樣，三角函數(shù)的自變量和函數(shù)值就可以進(jìn)行運算, 基本初等函數(shù)的四則運算、符號運算和求反函數(shù)等便于實現(xiàn), 使得函數(shù)具有更廣泛的應(yīng)用性. 本文介紹如何利用數(shù)學(xué)史料和生活實例, 在雙層空間的框架下進(jìn)行弧度制概念的教學(xué)設(shè)計.

一、弧度制知識空間設(shè)計

對于弧度內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計, 教學(xué)活動與知識空間的設(shè)計, 強調(diào)符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律以及知識內(nèi)在邏輯體系. 依據(jù)課程安排, 學(xué)生已有的知識僅有任意角, 對于弧度, 可以說是全新的. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對于“任意角與弧度制”這一節(jié)的目標(biāo)設(shè)定為:了解任意角的概念和弧度制, 能進(jìn)行弧度與角度的互化. 而弧度制實質(zhì)上是將角與實數(shù)聯(lián)系起來, 在弧度制的基礎(chǔ)上, 與扇形相關(guān)的計算公式變得更為簡便, 學(xué)習(xí)扇形的弧長與面積公式也是本節(jié)課的一大重點. 根據(jù)上述知識目標(biāo), 本節(jié)知識結(jié)構(gòu)設(shè)計如圖1.

設(shè)計說明在實際教學(xué)中,多數(shù)教師往往只關(guān)注弧度制與角度制的互化,而重視弧度定義的教學(xué)活動,更有利于使學(xué)生明了學(xué)習(xí)弧度制的重要意義.

二、 教學(xué)活動設(shè)計

學(xué)習(xí)活動有四種形式:相關(guān)史料的數(shù)學(xué)閱讀類, 記作AR(read);基于問題的學(xué)習(xí)連續(xù)統(tǒng), 記作AP(problem);知識主題的探究式學(xué)習(xí), 記作AC(cause、explore);鞏固知識的解題實踐, 記作AE(exercise)等. 同時, 弧度制包含十分豐富的歷史文化內(nèi)涵, 基于HPM教學(xué)方式與雙層空間教學(xué)理論, 選取教學(xué)活動如下:

1.相關(guān)史料的數(shù)學(xué)閱讀類(AR)活動

AR 1 了解弧度制的萌芽,閱讀阿波羅尼奧斯偏心輪模型, 了解最初的兩種弦表:希帕克斯弦表, 托勒密《大成》中的弦表.

設(shè)計說明弧度制的發(fā)展是依托三角學(xué)和角的發(fā)展的,偏心輪模型最早應(yīng)用于天文學(xué)解釋四季不等長的現(xiàn)象.由此而產(chǎn)生的弦表雖然與現(xiàn)在的三角函數(shù)存在區(qū)別,但已經(jīng)初步顯示三角函數(shù)實質(zhì)上為弧與弦之間的關(guān)系.讓學(xué)生明確在給定半徑時,弧長與角度的一一對應(yīng)關(guān)系.從歷史上看,弧長在當(dāng)時也使用60進(jìn)制,顯然為了避免進(jìn)制帶來的運算麻煩,引入弧度制是必然的.

AR 2 數(shù)學(xué)史上三角學(xué)與弧度制的形成:利提克斯在直角三角形中定義正弦、余弦、正切、余切、正割和余割;歐拉在《無窮小分析引論》中給定圓的半徑為單位來度量弧長.

設(shè)計說明弧度制傳播與確立的歷史閱讀,實質(zhì)上是感受弧度制意義的學(xué)習(xí)過程.在弧度制傳播的歷史過程中認(rèn)識到弧度制不斷地進(jìn)步與發(fā)展,從而達(dá)到廣泛應(yīng)用的地位,暗示弧度制是進(jìn)行三角學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識.

AR 3 《數(shù)學(xué)名詞》一書中最初將“radian”翻譯成弳(jing), 取自弧與徑二字. 直到1956年新版的《數(shù)學(xué)名詞》才棄用“弳”, 將“radian”譯為“弧度”.

設(shè)計說明新課標(biāo)中明確指出“弧度是學(xué)生比較難接受的概念”. “弳”字的使用從字形上就已體現(xiàn)了弧度是由弧長與半徑?jīng)Q定的. 學(xué)生閱讀弧度制命名的由來, 不僅能感受中國數(shù)學(xué)文化中弧度的由來與發(fā)展, 也能加深對弧度制的印象與理解.

AR 4 案例閱讀. 請查閱文獻(xiàn)[5], 感受弧度制的意義.

設(shè)計說明角度制到弧度制的轉(zhuǎn)變，實際上是三角函數(shù)中自變量由弧長到角的轉(zhuǎn)變.了解弧度制產(chǎn)生的緣由與意義,也是明晰弧度制在三角函數(shù)知識框架中的地位的過程.更甚者,在文獻(xiàn)[5]中, 提及了弧度制對于三角學(xué)發(fā)展的重要意義, 也是學(xué)生探索高等數(shù)學(xué)中微積分、級數(shù)知識的基礎(chǔ).

AR 5 案例閱讀. 查閱文獻(xiàn)[6], 認(rèn)識角的度量的多種進(jìn)制.

設(shè)計說明拓寬學(xué)生的思路,在文獻(xiàn)[6]中, 介紹了弧度制在使用上的多種變形, 如運用于科學(xué)研究的毫弧度, 運用于軍事的密位制, 法國人廣泛使用的百分制…不僅是讓學(xué)生認(rèn)識到度量角的多種進(jìn)制, 也是讓學(xué)生了解弧度制的多種應(yīng)用, 感受其重要意義.

2.基于問題的學(xué)習(xí)連續(xù)統(tǒng)(AP)類活動

AP 1 介紹我國古代著名數(shù)學(xué)家祖沖之的偉大成就, 以其重要發(fā)現(xiàn)“圓周率”引入, 提問:一般情況下, 當(dāng)圓心角確定時, 圓心角所對弧長與半徑之比是否為與半徑無關(guān)的常數(shù)?(并通過計算:“給定角度為30°,60°的圓心角, 當(dāng)半徑r=1, 2, 3, 4時, 分別計算對應(yīng)的弧長l, 再計算弧長與半徑的比.”驗證猜想)

設(shè)計說明圓周率表明在圓中周長與半徑之比是與半徑無關(guān)的常數(shù).由此類比,學(xué)生自然猜想在一般情況下也成立,再進(jìn)行驗證計算，更加能夠使學(xué)生接受這點,而不至于突兀.同時也在其中滲透了數(shù)學(xué)歷史文化的學(xué)習(xí).

AP 2 具體問題解答.

設(shè)計說明用角度制計算弧長,不僅是對角度制的復(fù)習(xí)鞏固,也為弧度與角度互化公式的學(xué)習(xí)搭建橋梁.有利于學(xué)生利用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化新知.同時,弧長的計算方式,也為比較弧度制與角度制奠定基礎(chǔ).

AP 3 總結(jié)1°=______rad, 1 rad=______°.

請計算一些特殊角的弧度數(shù)(略).

設(shè)計說明學(xué)生自己動手計算弧度與角度之間的換算,明晰弧度制與角度制之間的關(guān)系,感受弧度制與角度制各自的優(yōu)勢,加深對弧度制的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力,從抽象中感受具體,拓寬思路.

3.知識主題的探究式學(xué)習(xí)(AC)類活動

AC 1 比較sinα與α的大小并舉例說明.

設(shè)計說明正弦值為實數(shù),兩者比較,則角也需為實數(shù).讓學(xué)生在問題中意識到運用弧度制的必要性,并且能夠?qū)⒔嵌戎苹癁榛《戎?

AC 2 思考：是否弧度制的劃分方式比角度制更合理?

AC 3 學(xué)習(xí)弧度與角度互化后, 討論問題:

問題1 弧度制與角度制最本質(zhì)的區(qū)別是?

問題2 弧度制與角度制各自的優(yōu)勢如何體現(xiàn)?

設(shè)計說明堅持以學(xué)生為主體的教學(xué)觀,讓學(xué)生通過新舊知識的比較分析,將所學(xué)的內(nèi)容內(nèi)化到已有的知識體系.

AC 4 請建立角集合與實數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系.

設(shè)計說明讓學(xué)生在探索過程中，直觀地感受到，如何借助弧度制實現(xiàn)角與實數(shù)的一一對應(yīng).

AC 5 學(xué)習(xí)了弧度制, 在已有的角度制下的扇形弧長、面積公式的知識基礎(chǔ)上, 討論問題:

問題1 弧度制下扇形弧長公式.

問題2 弧度制下扇形面積公式.

設(shè)計說明將計算得出的弧度制下扇形的弧長與面積公式與角度制下的公式比較,學(xué)生能夠快速地認(rèn)識到弧度制為計算帶來的便利,學(xué)生很容易接受學(xué)習(xí)弧度制的緣由.

4.鞏固知識的解題實踐(AE)類活動

AE 1 時鐘經(jīng)過5分鐘, 分針與秒針各轉(zhuǎn)過多少弧度?

AE 3 將-1480°寫成α+2kπ(k∈Ζ)的形式, 其中0≤α<2π.

AE 4 如圖3, 求火車軌道拐道處弧AB的長(忽略軌道寬度), 其中∠AOB=60°.

AE 5 已知扇形的周長為30 cm, 當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時, 才能使扇形的面積最大?最大面積是多少?

運用上述教學(xué)活動, 構(gòu)成雙層空間(如圖4):

設(shè)計說明在雙層空間的教學(xué)原理上,配合各種教學(xué)活動,在弧度制的概念與應(yīng)用中,再現(xiàn)弧度制的產(chǎn)生過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,幫助學(xué)生建立完整的知識網(wǎng)絡(luò),通過經(jīng)歷蘊含數(shù)學(xué)史的教學(xué)活動,感受數(shù)學(xué)文化的深度.