從課本例題談二項(xiàng)分布的估算

黃小燕

(江蘇省興化中學(xué)，225700)

一、提出問題

蘇教版《數(shù)學(xué)(選修2-3)》第65頁有表述如下的例題.

問題1設(shè)某保險(xiǎn)公司吸收10 000人參加人身意外保險(xiǎn),該公司規(guī)定:每人每年付給公司120元,若意外死亡,公司將賠償10 000元.如果已知每人每年意外死亡的概率為0.006,那么公司會(huì)賠本嗎?

疑問1根據(jù)二項(xiàng)式定理，可知

即10001項(xiàng)之和是1，而現(xiàn)在求的僅僅是前121項(xiàng)之和,相對(duì)來說只有少部分和,能達(dá)到1嗎?

疑問2能否找到計(jì)算二項(xiàng)分布的近似值的一般方法?

二、解決問題

1.解決疑問1

(1) 當(dāng)0≤k≤45及74≤k≤120時(shí),所對(duì)應(yīng)的f(k)≈0.

(2) 當(dāng)46≤k≤73時(shí),所對(duì)應(yīng)的f(k)如下表:

k46474849f(k)0.009850090.012592300.015760960.01932243k50515253 f(k)0.023212580.027336390.03157054 0.03576900k54555657f(k)0.039771320.043413090.046537420.04900647k5859 6061f(k)0.050711650.051581550.051586740.05074105k62636465 f(k)0.049099300.046751830.043816610.04042983k66676869f(k)0.036735900.032877970.028989540.02518801k70717273 f(k)0.021570170.015158190.012443740.01007633

由此可見,二項(xiàng)式定理展開式中的10 001項(xiàng)的和主要集中在中間的這28項(xiàng)和上.

2.解決疑問2

通過上面的數(shù)據(jù)特征分析,讓我們聯(lián)想到正態(tài)分布的圖象特征.那能否用正態(tài)分布來逼近二項(xiàng)分布呢?我們?cè)诮滩纳险业搅舜鸢?數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn),在多種微小因素影響下,如果沒有一種影響占主導(dǎo)地位,那么這樣的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布.特別是在獨(dú)立地大數(shù)量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí),就平均而言,任何一個(gè)隨機(jī)變量的分布都將趨于正態(tài)分布,這就是中心極限定理.有了中心極限定理,我們可以理解為對(duì)隨機(jī)變量ξ～B(n,p),只要當(dāng)n足夠大時(shí),可以看成ξ～N(np,np(1-p)).

三、二項(xiàng)分布的估算在保險(xiǎn)問題中的應(yīng)用

1. 保險(xiǎn)的利潤問題

蘇教版《數(shù)學(xué)(選修2-3)》第67頁延續(xù)文首的例題,進(jìn)一步提出如下計(jì)算題.

問題2條件同問題1,求該公司盈利額不少于400 000元的概率.

解接著前面的解題過程,有P(120-X≥40)=P(X≤80)=P(ξ≤2.597)=0.995 2所以,保險(xiǎn)公司有99%的把握盈利400 000元.

2. 保費(fèi)的確定問題

將問題1進(jìn)行改編,可得如下變式題.

問題3設(shè)某保險(xiǎn)公司吸收10 000人參加人身意外保險(xiǎn),該公司規(guī)定:若意外死亡,公司將賠償10 000元.如果已知每人每年意外死亡的概率為0.006,若保險(xiǎn)公司想以99%的把握保證公司不虧本,試求投保人每人每年需繳納的最低保費(fèi)額度是多少?

所以,每人每年需繳納的最低保費(fèi)額度為78元.

四、問題拓展與進(jìn)一步思考

當(dāng)二項(xiàng)分布中獨(dú)立重復(fù)的次數(shù)比較大時(shí),二項(xiàng)分布可以近似地看成正態(tài)分布,即二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來逼近.此時(shí),我們不禁要繼續(xù)思考：超幾何分布中的個(gè)體總數(shù)比較大時(shí),能不能用正態(tài)分布來逼近呢?要回答這個(gè)問題,首先要弄清楚超幾何分布和二項(xiàng)分布之間的關(guān)系.

1.超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別和聯(lián)系

若有N件產(chǎn)品,其中M件是廢品,無放回地任意抽取n件,則其中恰有的廢品件數(shù)ξ服從超幾何分布.現(xiàn)將概率模型改為:若有N件產(chǎn)品,其中M件是廢品,有放回地任意抽取n件,則其中恰有的廢品件數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布.

在這里,兩個(gè)分布的差別就在于“有放回”和“無放回”的區(qū)別.一般來說,同一事件對(duì)于放回和不放回的概率計(jì)算是不同的.尤其是產(chǎn)品數(shù)目N不大時(shí),結(jié)果的不同之處更加明顯.但是當(dāng)產(chǎn)品數(shù)目N較大時(shí),有放回抽樣和不放回抽樣所計(jì)算的概率相差不大.

2. 超幾何分布和二項(xiàng)分布的統(tǒng)一

我們先比較兩分布的數(shù)學(xué)期望及方差:

ξH(n,M,N)B(n,p) E(ξ)nMNnp V(ξ)nM(N-n)(N-M)N2(N-1)np(1-p)

3. 超幾何分布的估計(jì)

產(chǎn)品數(shù)目N較大時(shí),超幾何分布就近似地看成二項(xiàng)分布.而二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來