淺談構(gòu)造函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)問題

胡振宇

(江蘇省海安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)，226600)

函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)思想中比較重要的兩大思想,而構(gòu)造函數(shù)解題的思路恰好是這兩種思想的良好體現(xiàn).導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具,是高考的熱點(diǎn)話題.本文淺談導(dǎo)數(shù)法解題中的函數(shù)構(gòu)造策略,旨在拋磚引玉.

一、利用積(商)的求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù)

類型1f(x)與冪函數(shù)的組合

例1設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù).

(1)當(dāng)x<0時(shí),f(x)+xf′(x)<0,且f(-4)=0,則xf(x)>0的解集為______;

(2)當(dāng)x<0時(shí),xf′(x)-f(x)>0,且f(1)=0,則f(x)>0的解集為______.

分析由題設(shè)條件中的不等式,結(jié)合函數(shù)積商的求導(dǎo)法則及冪函數(shù)求導(dǎo)公式逆向思維,可構(gòu)造出合適的新函數(shù)解決問題.

解(1)構(gòu)造F(x)=xf(x),則F′(x)=f(x)+xf′(x).所以當(dāng)x<0時(shí),F′(x)<0,F(x)在(-∞,0)單調(diào)減.又f(x)為偶函數(shù),易知F(x)為奇函數(shù),故F(x)在(0,+∞)也單調(diào)減.

由條件可知F(-4)=0,根據(jù)F(x)的圖象可知xf(x)>0的解集為(-∞,-4)∪(0,4).

類比(1)的求解,同理可得f(x)>0的解集為(-∞,-1)∪(1,+∞).

(1)“nf(x)+xf′(x)”型,可構(gòu)造函數(shù)F(x)=xnf(x);

例2已知偶函數(shù)f(x)(x≠0的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿足f(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí),2f(x)>xf′(x),則使f(x)>0成立的x的取值范圍是______.

根據(jù)f(-1)=0,可得F(-1)=0,根據(jù)圖象可知f(x)>0的解集為(-1,0)∪(0,1).

類型2f(x)與ex的組合

(3)“f′(x)+nf(x)”型,可構(gòu)造函數(shù)F(x)=enxf(x);

例3已知f(x)是定義在(-∞,+∞)上的函數(shù),導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)

(A)f(2)>e2f(0),f(2 019)>e2 019f(0)

(B)f(2)e2 019f(0)

(C)f(2)>e2f(0),f(2 019)

(D)f(2)

例4(1)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f′(x)-2f(x)>0,f(0)=1,則不等式f(x)>e2x的解集為______;

(2)已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)f′(x)與f(x)滿足(x-1)[f′(x)-f(x)]>0,f(2-x)=f(x)e2-2x,則下列判斷一定正確的是( )

(A)f(1)

(B)f(2)>e2f(0)

(C)f(3)>e3f(0)

(D)f(4)

又f(2-x)=f(x)e2-2x等價(jià)于G(2-x)=G(x),即G(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱.

根據(jù)單調(diào)性和圖象,可知選C.

類型3f(x)與sinx,cosx的組合

(5) “f′(x)sinx+f(x)cosx”型,構(gòu)造F(x)=f(x)sinx;

(7) “f′(x) cosx-f(x) sinx”型,構(gòu)造F(x)=f(x)cosx;

二、利用解析式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)

這類題型需要根據(jù)題意中解析式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)求解.

(A)α>β(B)α2>β2

(C)α<β(D)α+β>0

又f(x)為偶函數(shù),根據(jù)單調(diào)性和圖象,可知選B.

(A)8 (B)10 (C)12 (D)18

平移y=2-x與曲線y=x-2ex相切,令f′(x)=1-2ex=-1,得x=0,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為M(0,-2).

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線,是高考中的熱門話題,利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的一般性質(zhì)具有一定的通用性,把握審題的結(jié)構(gòu)特征是我們解題的金鑰匙,希望本文內(nèi)容能對(duì)我們的學(xué)習(xí)有一定的啟發(fā)．