用三點(diǎn)共線定理中λ的幾何意義快速解題

陸琳琳

(浙江省東陽(yáng)市第二高級(jí)中學(xué),322100)

近幾年的數(shù)學(xué)高考題十分強(qiáng)調(diào)幾何背景和代數(shù)性質(zhì)的結(jié)合,而平面向量具有代數(shù)與幾何的雙重特點(diǎn),是聯(lián)系高中各知識(shí)點(diǎn)的重要媒介.有一類以線段或直線為背景的向量題常與三點(diǎn)共線定理有關(guān),利用共線定理中λ的幾何意義,可幫助我們快速解題.

一、定理呈現(xiàn)

定理A,B,C三點(diǎn)共線,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)O,存在實(shí)數(shù)λ使得

綜上,得證.

從上面的證明過(guò)程中,我們可以發(fā)現(xiàn)共線定理中的λ的幾何意義就是確定點(diǎn)A在直線BC上的位置.利用λ的幾何意義,我們可以解決線段的比例問(wèn)題,也可把向量模的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)、定直線或定曲線上的點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題.

二、應(yīng)用舉例

1.用λ的幾何意義解決面積的比值問(wèn)題

評(píng)注本題由λ的幾何意義快速確定點(diǎn)E與P的位置,從而得到三角形面積的關(guān)系,解題速度明顯優(yōu)于其他方法.

2.用λ的幾何意義求向量模的最值

評(píng)注上述解答技巧1是由題設(shè)挖掘出點(diǎn)E在線段AD上這個(gè)隱含條件,技巧2同例2,由共線定理對(duì)|c+2a| 恒等變形,利用λ的幾何意義確定點(diǎn)E的位置,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)E與動(dòng)點(diǎn)的距離的取值范圍.由共線定理確定點(diǎn)E的位置時(shí),可依據(jù)向量加法的平行四邊形法則或三角形法則，清晰確定點(diǎn)E在線段AD上或其延長(zhǎng)線上.

例4已知a,b滿足|a|=1,|2a+b|+|b|=4,求|a+b| 的取值范圍.

評(píng)注本題先運(yùn)用動(dòng)靜結(jié)合得思想,探索出點(diǎn)B的軌跡為橢圓;再由共線定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心(定點(diǎn))的距離的取值范圍問(wèn)題,由橢圓基礎(chǔ)知識(shí)輕松獲解.

綜上,在平面向量問(wèn)題中,當(dāng)我們看到兩個(gè)向量進(jìn)行線性運(yùn)算時(shí),可找到共線三點(diǎn),再準(zhǔn)確利用共線定理中λ的幾何意義,就能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題,利用平面幾何的知識(shí)解決問(wèn)題.

關(guān)于向量模的最值問(wèn)題(如本文中后三個(gè)例子),也可以用解析法或向量模的三角不等式進(jìn)行嘗試求解,但解題過(guò)程都沒(méi)有上述解答簡(jiǎn)便.讀者不妨試一試.