注重概念本質(zhì)，形成知識體系

鄒曉松

[摘? 要] 自新課改教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)出臺以來，高考更加注重核心素養(yǎng)的考查和理解，試卷更加重視關(guān)注數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，注重?cái)?shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化. 其中，高考試卷非常關(guān)注教材中的一些核心概念，這也為教學(xué)提供了一些放心，體現(xiàn)了新課標(biāo)對提升核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的要求. 因此高中數(shù)學(xué)教師在展開復(fù)習(xí)的過程中不僅要抓住基本概念，更要提煉教材中的關(guān)鍵內(nèi)容，靈活運(yùn)用好數(shù)學(xué)教材，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使他們在考場上能更好地應(yīng)對數(shù)學(xué)考試.

[關(guān)鍵詞] 概念本質(zhì);知識體系;橢圓的概念;復(fù)習(xí)

在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中，教師要注重?cái)?shù)學(xué)中的基本概念，引導(dǎo)學(xué)生挖掘與之相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，深化對概念的理解，揭示概念的豐富內(nèi)涵，要能對概念進(jìn)行拓展，從而形成網(wǎng)絡(luò)化的知識體系. 概念的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)概括，發(fā)散他們的數(shù)學(xué)思維，從中體會到概念的本質(zhì). 因此，概念的復(fù)習(xí)課不能僅靠“題海戰(zhàn)術(shù)”，而是要把基礎(chǔ)知識與例題再梳理，把散落于教材中的知識點(diǎn)進(jìn)行整合、串聯(lián)起來，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)起數(shù)學(xué)知識體系，從而體現(xiàn)出數(shù)學(xué)“源于教材，高于教材”的理念. 下面，筆者以“橢圓的概念”復(fù)習(xí)為例展開探討，希望對大家有所幫助.

厘清概念本質(zhì)

在數(shù)學(xué)教材中，各個版本對橢圓定義描述基本一致，學(xué)生一般都能牢記橢圓的定義，但在復(fù)習(xí)中要注意以下幾點(diǎn)：（1）定義中的文字翻譯成數(shù)學(xué)語言，表示為PF1+PF2=2a（2a>F1F2），那么與之對應(yīng)的圖形又是什么呢？（2）定義中為何要規(guī)定2a>F1F2？如果2a=F1F2，2a

在人教版數(shù)學(xué)教材中，其中有這樣一道試題：

例1：如果點(diǎn)M（x，y）在運(yùn)動過程中，總是滿足關(guān)系式■+■=10，點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？為什么？寫出它的方程.

如果能夠掌握橢圓定義的本質(zhì)，學(xué)生可以快速判斷和解答本道試題，這就避免了用移項(xiàng)再平方的方法來化解方程，降低了出錯的概率. 在本道試題中，實(shí)質(zhì)就是動點(diǎn)M（x，y）到兩個點(diǎn)F1（0，-3），F(xiàn)1（0，3）的距離之和為常數(shù)10（10>6），這個動點(diǎn)的軌跡就是以這兩個定點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，并且2a=10，c=3，這樣就能求得橢圓的方程來正確解答. 由此可知，學(xué)生如果能夠掌握橢圓定義的本質(zhì)，那么就能快速、正確地解答出試題答案.

挖掘其他形式

1. 圓變化得到橢圓

在教學(xué)中，有的學(xué)生也會疑惑橢圓與圓之間在數(shù)學(xué)上有何關(guān)系，這一點(diǎn)在教材上并沒有體現(xiàn). 但是，在學(xué)習(xí)探究過程中，橢圓與圓之間存在著這樣的結(jié)論：在豎直或水平方向上同時均勻壓縮或均勻拉伸后，所得的圖形是橢圓. 根據(jù)這一結(jié)論，學(xué)生能夠抽象概括出問題的本質(zhì)，即橢圓的生產(chǎn)方法是圓沿著某個方向壓縮或拉伸后所得.

例2：在2011年，陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）已有所體現(xiàn). 試題如下：如圖1，設(shè)P點(diǎn)是x2+y2=25上的動點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上的一點(diǎn)，且MD=■PD.

（1）當(dāng)P在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)M的軌跡C的方程;

（2）略.

2. 過定點(diǎn)的直線斜率積為定值

例3：已知△ABC的兩個頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-6，0），（6，0），AC，BC所在的直線斜率（假設(shè)直線斜率存在）之積為-■，求頂點(diǎn)C的軌跡方程.

學(xué)生根據(jù)題目的信息很容易得到C的軌跡方程為■+■=1（y≠0），點(diǎn)C的軌跡為以BC為長軸的橢圓.

例4：已知△ABC的兩個頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-6，0），（6，0），AC，BC所在的直線斜率（假設(shè)直線斜率存在）之積為■，求頂點(diǎn)C的軌跡方程.

學(xué)生根據(jù)題目的信息很容易得到C的軌跡方程為■-■=1（y≠0），點(diǎn)C的軌跡為雙曲線.

比較上述兩道試題，我們發(fā)現(xiàn)二者之間的結(jié)構(gòu)很相似，只是在直線斜率積方面相差一個負(fù)號，但得到的軌跡卻完全不同. 此時，教師可以思考是否可以把上面的兩道問題合二為一，上述試題是否具有一般規(guī)律，以上述試題再進(jìn)行深度拓展，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在潛移默化中幫助他們形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 在此情況下，再把這道試題推廣得到如下例題：

例5：已知△ABC的兩個頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-a，0），（a，0），AC，BC所在的直線斜率（假設(shè)直線斜率存在）之積為-■，求頂點(diǎn)C的軌跡方程.

由■·■=-■，得■+■=1（y≠0）. 同理得到，若AC，BC所在的直線斜率（假設(shè)直線斜率存在）之積定值為■，則點(diǎn)C的軌跡為■-■=1（y≠0）.

在課堂講解時，教師不能讓學(xué)生簡單解答就過去，還要引申相關(guān)知識，進(jìn)行深度挖掘. 在學(xué)生完成試題之余，教師不妨把知識點(diǎn)再延伸到雙曲線之中，拓寬他們的眼界，發(fā)散其數(shù)學(xué)思維，有效提升課堂教學(xué)的質(zhì)量和效率. 這種把橢圓、雙曲線知識進(jìn)行類比和對比的教學(xué)極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使他們進(jìn)一步認(rèn)識到橢圓的概念，強(qiáng)化自身對橢圓定義本質(zhì)的認(rèn)知，避免在以后的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)錯誤.

3. 與圓有關(guān)點(diǎn)的軌跡

在數(shù)學(xué)試題中，很多知識點(diǎn)都和圓有關(guān)，橢圓也不例外. 在圓的相關(guān)知識點(diǎn)中，一些與之有關(guān)的點(diǎn)的軌跡可以生成橢圓圖形，幫助學(xué)生感受到橢圓的知識.

例6：在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？

設(shè)M（x，y），P（x，2y），由M為線段PD的中點(diǎn)得到點(diǎn)M與點(diǎn)P間的關(guān)系式，P點(diǎn)在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓上，由點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足圓的方程來得到點(diǎn)M坐標(biāo)所滿足的方程，寫出橢圓表達(dá)式.

例7：已知圓O1：（x+2）2+y2=3，圓O2：（x-2）2+y2=3，動圓P與圓O1內(nèi)切，與圓O2外切，求圓心P的軌跡方程.

在本題中，先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意找到圓P與圓O1、圓O2的半徑間的關(guān)系. 根據(jù)橢圓的定義，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P是以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)，定長為7的橢圓.

學(xué)生在解題過程中感受到橢圓定義所帶來解題的便捷，但也意識到并非只有橢圓相關(guān)知識才與橢圓有關(guān)，圓的一些知識也會與橢圓相關(guān)，這有利于改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有效提升解題質(zhì)量.

4. 與距離有關(guān)點(diǎn)的軌跡

例8：已知圓內(nèi)的一個定點(diǎn)（非圓心）作圓C與已知圓相切，則圓C的圓心軌跡是（? ）

A. 圓 B. 橢圓

C. 圓或橢圓？搖？搖 D. 線段

設(shè)定點(diǎn)為A，已知圓的圓心為O，半徑為R，動圓的圓心為C，半徑為r，AC=r，OC=R-r，AC+OC=R（OA

在做完這道試題后，教師不要著急讓學(xué)生接過這一知識點(diǎn)，還可以繼續(xù)進(jìn)行深度挖掘與拓展，如：（1）把“相切”變?yōu)椤皟?nèi)切”或“外切”;（2）改變題目的信息，把定點(diǎn)與圓相切變?yōu)閯訄A與定圓相切，經(jīng)過某一定點(diǎn). 這種拓展的思路能有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，便于他們發(fā)散數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量.

值得引起注意的是，這種類型的試題在高考中曾經(jīng)出現(xiàn)過，即2013年高考全國卷Ⅰ：已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x-1）2+y2=9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡曲線為C. 求C的方程. 學(xué)生在做這部分試題時要引起注意，避免不經(jīng)意間的失分.

總結(jié)歸納定義

在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師講課的目的并不單是讓學(xué)生理解和掌握橢圓的概念這么簡單，而是要引導(dǎo)他們以橢圓定義為核心，形成一個知識體系，對知識有由局部到整體、由點(diǎn)到面的整體認(rèn)知. 在教學(xué)過程中，教師要注重從定義、拓展、實(shí)例分析等方面進(jìn)行教學(xué)，緊扣“橢圓定義”這條主線來展開，引導(dǎo)學(xué)生在理解基礎(chǔ)上進(jìn)行思考和交流，進(jìn)而抽象概括得到橢圓的定義，形成數(shù)學(xué)知識體系. 其中，最關(guān)鍵之處在于對概念的深入挖掘，對試題的二次開發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生提煉得到橢圓這一核心概念的本質(zhì)，熟悉知識點(diǎn)間的規(guī)律，把教材中的零散知識有機(jī)串聯(lián)起來，對知識進(jìn)行系統(tǒng)化整合以及再加工.

總之，在數(shù)學(xué)概念的復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師一定要注重學(xué)生對核心概念的理解，不要拘泥于表面形式，要引導(dǎo)他們向深度發(fā)展，對數(shù)學(xué)概念能夠進(jìn)行延伸拓展，有效形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).