關(guān)注數(shù)學(xué)概念形成過程，開辟核心素養(yǎng)培育途徑

繆亦男

[摘? 要] 讓數(shù)學(xué)概念的形成過程變得更加豐富，這樣不僅能夠開辟核心素養(yǎng)的培育途徑，對于學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)概念進(jìn)而提升解題能力，實(shí)際上也是有幫助的. 數(shù)學(xué)總是基于對實(shí)際事物描述的需要，或者基于數(shù)學(xué)邏輯發(fā)展的需要而衍生出數(shù)學(xué)概念. 概念生成的過程中，從形象的實(shí)例出發(fā)，到抽象的函數(shù)描述，再到函數(shù)的特征被發(fā)現(xiàn)，以及數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用. 對應(yīng)著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理，豐富了數(shù)學(xué)概念的形成過程，也就獲得了核心素養(yǎng)培育的空間.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)概念;概念形成;核心素養(yǎng)

概念在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的地位是顯而易見的，其中最常見的認(rèn)識(shí)就是“概念是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)”. 但在實(shí)際教學(xué)中，很多時(shí)候正是因?yàn)檎J(rèn)為概念是基礎(chǔ)，反而對概念的教學(xué)有所輕視，再加上學(xué)習(xí)時(shí)間緊張，學(xué)生需要更多的時(shí)間在習(xí)題的解答過程中形成應(yīng)試能力. 應(yīng)當(dāng)說，在核心素養(yǎng)的視角下，這樣的認(rèn)識(shí)是有所偏頗的，是需要撥亂反正的. 具體的做法，就應(yīng)當(dāng)是讓數(shù)學(xué)概念的形成過程變得更加豐富，這樣不僅能夠開辟核心素養(yǎng)的培育途徑，對于學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)概念進(jìn)而提升解題能力，實(shí)際上也是有幫助的. 基于這樣的思路，筆者對高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程豐富及其相應(yīng)的核心素養(yǎng)培育進(jìn)行了初步研究，現(xiàn)將自己的研究心得總結(jié)出來，以與專家同行切磋.

高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)需要重視其形成過程

概念是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的細(xì)胞，理解概念是一切數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，概念不清就無法進(jìn)一步開展其他數(shù)學(xué)活動(dòng)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確要求學(xué)生熟悉基本的數(shù)學(xué)概念，了解它們產(chǎn)生的背景，應(yīng)用其在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想和方法. 而從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度來看，沒有一個(gè)數(shù)學(xué)概念是隨隨便便被定義的，數(shù)學(xué)總是基于對實(shí)際事物描述的需要，或者基于數(shù)學(xué)邏輯發(fā)展的需要而衍生出數(shù)學(xué)概念. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)，雖然說沒有必要讓數(shù)學(xué)重演，但是在某一個(gè)具體的過程中，讓概念逐步生成，卻應(yīng)當(dāng)是一條重要的教學(xué)思路.

例如，奇函數(shù)和偶函數(shù)是函數(shù)概念建立起來以后的另外兩個(gè)重要概念，從教學(xué)實(shí)踐的角度來看，絕大多數(shù)學(xué)生在理解這兩個(gè)概念的時(shí)候，都沒有太大的認(rèn)知困難. 面對這一現(xiàn)實(shí)教師的教學(xué)取向是什么呢？是因?yàn)橹R(shí)不具有難度而忽視其教學(xué)過程，還是正好借這個(gè)機(jī)會(huì)來自主發(fā)現(xiàn)并建立數(shù)學(xué)概念呢？從核心素養(yǎng)培育的角度出發(fā)，筆者選擇了后者. 具體的教學(xué)思路是：給學(xué)生舉出一些例子，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)有一些函數(shù)的圖像是對稱的，而且有的是關(guān)于x軸對稱的，有的是關(guān)于y軸對稱的. 一個(gè)自然而然的問題就是：對稱意味著函數(shù)的什么特點(diǎn)？在對這個(gè)特點(diǎn)進(jìn)行探究的過程中，學(xué)生就能夠得出f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）的結(jié)論. 而在得出這個(gè)結(jié)論之后，就需要用數(shù)學(xué)語言來描述這個(gè)結(jié)論，于是奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念也就出現(xiàn)了.

這樣一個(gè)概念生成的過程中，從形象的實(shí)例出發(fā)，到抽象的函數(shù)描述，再到函數(shù)的特征被發(fā)現(xiàn)，以及數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用. 對應(yīng)著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理，而當(dāng)奇函數(shù)和偶函數(shù)這兩個(gè)概念被明確時(shí)，實(shí)際上也就相當(dāng)于建立起了新的函數(shù)模型. 所以豐富了數(shù)學(xué)概念的形成過程，也就獲得了核心素養(yǎng)培育的空間.

基于數(shù)學(xué)概念形成過程的核心素養(yǎng)培育

關(guān)注數(shù)學(xué)概念的形成過程，主要是指站在學(xué)生認(rèn)知的角度去看一個(gè)數(shù)學(xué)概念的形成，在學(xué)生的大腦中會(huì)經(jīng)過一個(gè)什么樣的過程，這個(gè)過程與數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)的培訓(xùn)又存在著什么樣的聯(lián)系？只要明確了這一點(diǎn)，數(shù)學(xué)概念的形成過程就可以為核心素養(yǎng)的培育奠定基礎(chǔ). 有同行在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，教師可以設(shè)計(jì)“問題串”來促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的有效生成，數(shù)學(xué)問題通過“問題串”的形式來對某種數(shù)學(xué)概念進(jìn)行表達(dá)，有助于揭露數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).

其實(shí)“問題串”是一個(gè)非常好的教學(xué)思路，尤其是在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，“問題串”意味著不斷地向?qū)W生提出問題，意味著學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)之下不斷地步入有深度的思維，而只要思維被打開，核心素養(yǎng)的培育幾乎就是自然而然的事情.

在上面所舉的奇函數(shù)與偶函數(shù)的概念教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)的問題環(huán)節(jié)分別是：創(chuàng)設(shè)了對稱的教學(xué)情境之后，提出的問題是“函數(shù)的圖像有對稱性嗎？”這個(gè)問題必然會(huì)讓學(xué)生去調(diào)動(dòng)自己大腦中的函數(shù)圖像，這些圖像有的是具有對稱性的，有的是不具有對稱性的. 由于問題的提出，學(xué)生必然會(huì)將其中具有對稱性的圖像提取出來，以供下一步使用. 隨后提出的問題是“圖像關(guān)于x軸或y軸對稱的函數(shù)，有什么特征？”這一步實(shí)際上是將學(xué)生的形象思維引向抽象思維，具體的就是根據(jù)函數(shù)的基本解析式，去判斷f（-x）和f（x）的關(guān)系，只要引導(dǎo)到位，絕大多數(shù)學(xué)生都能夠自主探究得出. 再然后提出的問題是“如何用數(shù)學(xué)語言來描述這個(gè)特征？”這個(gè)問題的作用在于，將學(xué)生大腦當(dāng)中形成的比較初步甚至是粗糙的認(rèn)識(shí)，通過數(shù)學(xué)語言的加工，變得更加清晰和簡潔.

某種程度上講，這也是最為關(guān)鍵的一個(gè)環(huán)節(jié)，因?yàn)閷W(xué)生一旦開始運(yùn)用數(shù)學(xué)語言來描述自己的發(fā)現(xiàn)，就意味著已經(jīng)開始了準(zhǔn)確高效的數(shù)學(xué)思維，得到的也是比較精確的數(shù)學(xué)概念. 在奇函數(shù)與偶函數(shù)的概念得出過程中，好多學(xué)生剛開始的認(rèn)識(shí)都是“只要滿足f（-x）=f（x），那就是偶函數(shù)”. 這種理解忽視了函數(shù)所必要的定義域，也缺乏必要的關(guān)鍵詞的潤澤，因此教師可以引導(dǎo)，讓學(xué)生形成更為準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，即“如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)有任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)”. 在得到這個(gè)認(rèn)識(shí)以后，只要讓學(xué)生將自己的描述與這個(gè)描述進(jìn)行比較，學(xué)生自然就能認(rèn)識(shí)到后者更為完美.

伴隨著這樣的概念發(fā)生過程，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的相關(guān)要素可以得到滿足，而學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)語言的價(jià)值與魅力，實(shí)際上也可以理解為核心素養(yǎng)中的必備品格.

讓核心素養(yǎng)與概念的形成過程相得益彰

毫無疑問，核心素養(yǎng)是一個(gè)新的概念，雖然目前關(guān)于核心素養(yǎng)的文章并不少見，但是具體有效的核心素養(yǎng)落地途徑，對于絕大多數(shù)高中數(shù)學(xué)教師而言，仍然是一個(gè)挑戰(zhàn). 本文所描述的是筆者的一些思考與實(shí)踐，從已經(jīng)取得的收獲來看，關(guān)注高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最基本的概念教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷概念生成的過程，可以有效地將核心素養(yǎng)的培育納入這個(gè)過程中.

客觀地講，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念的形成往往經(jīng)歷從直觀感知到自然語言描述進(jìn)而上升到數(shù)學(xué)語言的精確刻畫的過程. 因此，立足概念教學(xué)是培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效抓手. 既然如此，那在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，就要充分發(fā)揮概念的教學(xué)價(jià)值，要讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整豐富的概念形成過程. 在這個(gè)過程中，教師結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行滲透，那么概念的形成過程與核心素養(yǎng)的培育，就是一個(gè)相得益彰的過程.

總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，不能因?yàn)楦拍钍腔A(chǔ)就壓縮教學(xué)過程，須知最簡單的概念教學(xué)中也蘊(yùn)含著豐富的核心素養(yǎng)培育的機(jī)會(huì). 抓住這些機(jī)會(huì)，新生事物才能夠在傳統(tǒng)的教學(xué)思路里生根發(fā)芽.