真實(shí)問題情境：連接現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界

摘要：真實(shí)問題情境是來自現(xiàn)實(shí)世界并蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)信息的綜合問題情境。真實(shí)問題情境的實(shí)踐模型包括潛入情境、超越情境、回歸情境。在教學(xué)中，要通過創(chuàng)設(shè)真實(shí)問題情境，引領(lǐng)兒童從現(xiàn)實(shí)世界走進(jìn)數(shù)學(xué)世界，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”，深化數(shù)學(xué)理解，積累數(shù)學(xué)化經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)問題解決，進(jìn)而用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)思維分析和解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題。

關(guān)鍵詞：真實(shí)問題情境;現(xiàn)實(shí)世界;數(shù)學(xué)世界;小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2020）07B-0067-04

盡管數(shù)學(xué)哲學(xué)界關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象問題爭(zhēng)論不休，但恩格斯所提出的“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，所以是非?，F(xiàn)實(shí)的材料”仍然是經(jīng)典見解。數(shù)學(xué)是反映現(xiàn)實(shí)世界的，然而數(shù)學(xué)必須完全舍棄現(xiàn)實(shí)世界的具體內(nèi)容和質(zhì)的特征，以純粹形態(tài)的量的關(guān)系和形式作為自己的對(duì)象，體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)性與抽象性高度統(tǒng)一。兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)經(jīng)歷從具象到抽象、從經(jīng)驗(yàn)到理性的過程，實(shí)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)性與抽象性的高度統(tǒng)一。真實(shí)問題情境是來自現(xiàn)實(shí)世界并蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)信息的綜合問題情境，它能夠引領(lǐng)兒童從現(xiàn)實(shí)世界走進(jìn)數(shù)學(xué)世界，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”，深化數(shù)學(xué)理解，積累數(shù)學(xué)化經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)問題解決，進(jìn)而用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)思維分析和解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題。

一、真實(shí)問題情境的再理解

當(dāng)前，我國的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)情境的理解和實(shí)踐存在.定偏差：有的情境中不包含數(shù)學(xué)問題，只為引起學(xué)生注意而出現(xiàn)在導(dǎo)人部分;有的情境采用稚化教學(xué)，大量使用迎合兒童的熱門卡通形象，與現(xiàn)實(shí)世界毫無關(guān)聯(lián);有的情境單純?yōu)榱丝疾閷W(xué)生計(jì)算能力，出現(xiàn)了與實(shí)際情況嚴(yán)重不符的數(shù)據(jù)……這些情境的應(yīng)用是低效的，甚至無效的，導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績很好的學(xué)生也未必能解答簡單的現(xiàn)實(shí)問題。因此，我們應(yīng)該對(duì)真實(shí)問題情境進(jìn)行再理解。

1.以辯證視角看待情境的真實(shí)性

情境的真實(shí)性和熟悉度對(duì)學(xué)生開展數(shù)學(xué)研究有一定的幫助。真實(shí)問題情境會(huì)給學(xué)生帶來挑戰(zhàn)，就像他們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界中遇到挑戰(zhàn)一樣。然而，這些情境不一定是真實(shí)的，也可能是根據(jù)教學(xué)需要而設(shè)定的。一般說來，數(shù)學(xué)教學(xué)中的真實(shí)問題情境具有以下特征：一是情境要有發(fā)生的可能性;二是提出的問題應(yīng)該與校內(nèi)外的情境相一致;三是解決方案的目的就像實(shí)際情境中一樣明確;四是應(yīng)用的語言（如術(shù)語、句子結(jié)構(gòu)等）要與實(shí)際情境相匹配。真實(shí)的問題情境中，問題的信息和數(shù)據(jù)應(yīng)該是在實(shí)際情況中可能出現(xiàn)的，學(xué)生能夠使用在現(xiàn)實(shí)生活中可得到的方法解決問題，并以現(xiàn)實(shí)世界的標(biāo)準(zhǔn)來判斷解決方案的有效性，而執(zhí)行任務(wù)的環(huán)境應(yīng)該模仿真實(shí)情況[1]。

2.以問題引領(lǐng)增強(qiáng)情境的關(guān)聯(lián)性

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P.R. Halmos）曾說過，“問題是數(shù)學(xué)的心臟”。在創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境的數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題是連接現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)世界的紐帶。真實(shí)問題情境信息豐富，有助于形成具有思維含量的真問題，有助于形成具有關(guān)聯(lián)性的問題鏈，也有助于學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。

數(shù)學(xué)問題來源于人類的生產(chǎn)生活實(shí)踐、自然科學(xué)研究和數(shù)學(xué)體系內(nèi)部。針對(duì)教學(xué)任務(wù)，教師應(yīng)綜合考慮生活現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，選擇適宜的、包含數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)實(shí)情境，除了學(xué)生個(gè)人情境、學(xué)校生活情境以外，也可以選用公共生活情境、職業(yè)情境、科學(xué)情境等，適當(dāng)拓寬學(xué)生的學(xué)習(xí)半徑。這樣不僅能充分發(fā)揮情境對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的支持作用，也能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以為解決現(xiàn)實(shí)問題服務(wù)。好的數(shù)學(xué)問題能激發(fā)學(xué)生解決問題的積極性、主動(dòng)性，一般包括以下特征：切中主題，清晰明確，難度適當(dāng)，新穎獨(dú)特，啟發(fā)性強(qiáng)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，等等。

二、真實(shí)問題情境的實(shí)踐模型

真實(shí)問題情境如何連接現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界？PISA測(cè)試框架中的數(shù)學(xué)化（建模）周期[2]（如圖1）形象地做出了說明。這一建模過程可簡略分為潛人情境、超越情境和回歸情境三個(gè)環(huán)節(jié)。

1.潛入情境

教師創(chuàng)設(shè)真實(shí)問題情境，學(xué)生通過文本或圖表的閱讀，提取與問題相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)信息，通過抽象、表征，逐步削減對(duì)現(xiàn)實(shí)的依賴，整合信息并用數(shù)學(xué)符號(hào)語言重新組織問題。通過這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生從現(xiàn)實(shí)世界“潛人”數(shù)學(xué)世界，將現(xiàn)實(shí)世界的話語轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)世界的話語。

2.超越情境

情境中的問題已轉(zhuǎn)化為一個(gè)由抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象組成的，能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的問題。學(xué)生已完全超越現(xiàn)實(shí)情境而進(jìn)入數(shù)學(xué)世界內(nèi)部，可以利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題，或提出有意義的假設(shè)，嘗試運(yùn)用創(chuàng)造性的方法解決數(shù)學(xué)問題。

3.回歸情境

將所得的數(shù)學(xué)答案放回現(xiàn)實(shí)情境之中，結(jié)合實(shí)際情況判斷答案是否符合實(shí)際或令人滿意，反思是否還存在其他可能。

這個(gè)建模周期描繪了一個(gè)利用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)世界問題的理想的、簡化的模型。在實(shí)際運(yùn)用中，學(xué)生可能會(huì)在不同環(huán)節(jié)中來回移動(dòng)，而不是按照建模周期單向發(fā)展。

三、真實(shí)問題情境的教學(xué)策略

情境的設(shè)置“對(duì)于引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究起著思維定向、激發(fā)動(dòng)機(jī)的作用”[3]。有關(guān)數(shù)學(xué)問題解決的研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)問題情境會(huì)影響學(xué)生的解題表現(xiàn)[4]。學(xué)生對(duì)可持續(xù)性問題或與生活有直接聯(lián)系的現(xiàn)實(shí)情境更感興趣，小數(shù)教育名家的經(jīng)典課堂中有很多運(yùn)用真實(shí)問題情境的精彩案例，通過他們的教學(xué)，我們能探尋出運(yùn)用真實(shí)問題情境開展數(shù)學(xué)教學(xué)的基本策略。

1.經(jīng)歷“再創(chuàng)造”過程，深化數(shù)學(xué)理解

弗賴登塔爾反復(fù)強(qiáng)調(diào)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)傳授的是現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，是反教學(xué)法的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種“再創(chuàng)造”的工作。真實(shí)問題情境能夠激活學(xué)生已有的知識(shí)，暴露學(xué)生真實(shí)的思維水平，為教師提供了解學(xué)生思維的機(jī)會(huì)，使教師能有針對(duì)性地開展教學(xué)。

徐斌老師在教學(xué)“平均數(shù)”時(shí)創(chuàng)設(shè)了“套圈游戲”的真實(shí)情境，讓所有學(xué)生當(dāng)男女生比賽的“裁判”，課堂氣氛熱烈，學(xué)生沉浸其中。從第一輪男女生人數(shù)相等只需比較總數(shù)，到第二輪男女生人數(shù)不等不能輕易判斷……比賽進(jìn)行到第四輪時(shí)學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突——既不能比總成績也不能比最高分，此時(shí)學(xué)生感受到需要一個(gè)新的量來進(jìn)行合理的比較。由于這個(gè)情境來源于現(xiàn)實(shí)世界，學(xué)生都有相同的比賽經(jīng)驗(yàn)，因而激活了他們“再創(chuàng)造”的靈感。這時(shí)有學(xué)生提出，要把兩隊(duì)成績平均一下，再比較平均數(shù)。徐老師立刻追問：平均數(shù)是一個(gè)什么數(shù)呢？學(xué)生各抒己見：差不多的一個(gè)數(shù);在中間位置的數(shù);比最多的要少一點(diǎn)，比最少的要多一點(diǎn)……學(xué)生用自己的語言表達(dá)出了平均數(shù)所具有的“集中趨勢(shì)”的深刻內(nèi)涵。憑借真實(shí)問題情境，徐老師潤物無聲，教學(xué)無痕，“學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，用自己的思維方式，建構(gòu)起自己的‘?dāng)?shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”[5]。

2.積累數(shù)學(xué)化經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)問題解決

真實(shí)問題情境不僅能幫助學(xué)生深度建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，更能讓學(xué)生有機(jī)會(huì)親歷數(shù)學(xué)化過程，把現(xiàn)實(shí)世界中的問題轉(zhuǎn)換成能夠運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)概念與方法解決的數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題，然后通過求解數(shù)學(xué)問題來解決現(xiàn)實(shí)世界的問題。

張齊華老師在教學(xué)“舊小區(qū)里的電梯安裝”時(shí)引導(dǎo)學(xué)生提出了如何分?jǐn)傠娞莅惭b費(fèi)的問題，這是一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題。通過討論，排除無關(guān)的陳述性信息，梳理出安裝費(fèi)36萬元、共有7層14戶人家等有效的數(shù)學(xué)信息。此時(shí)，現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為了“將36分為14個(gè)數(shù)的和”或“將18分為7個(gè)數(shù)的和”這樣的數(shù)學(xué)問題。學(xué)生通過小組討論，分別提出以等差數(shù)列的金額進(jìn)行分?jǐn)偤桶幢壤M(jìn)行分?jǐn)偟确桨浮＿@些方案是學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)規(guī)則得出的，對(duì)于數(shù)學(xué)問題來說是正確的，但對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界來說未必如此，還需考慮各種相關(guān)因素加以驗(yàn)證并權(quán)衡[6]。數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是問題解決，這一課例的研究過程與數(shù)學(xué)化建模相符。當(dāng)學(xué)生面對(duì)現(xiàn)實(shí)世界時(shí)，必須能夠從實(shí)際問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)要素，通過文字、圖形與符號(hào)的相互轉(zhuǎn)換，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和模型解釋，否則縱使學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)得再好，其數(shù)學(xué)能力也將無從展現(xiàn)。

3.嘗試多樣化情境，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)所應(yīng)達(dá)成的綜合性能力，它具有綜合性、階段性和持久性的特征[7]。在數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)真實(shí)問題情境有利于發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、模型思想與應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)[8]。在深入剖析內(nèi)容本質(zhì)和了解學(xué)生前概念的基礎(chǔ)上，如果能夠多樣化地選取不同的真實(shí)問題情境類型，能使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)更為全面而豐厚。具體策略包括：（1）創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的真實(shí)情境。例如，在教學(xué)“長方體和正方體的認(rèn)識(shí)”時(shí)，為學(xué)生提供12根巧厘米、8根10厘米、4根8厘米的小棒，在真實(shí)的實(shí)驗(yàn)情境中研究“能搭出幾種不同的長方體”這個(gè)問題。（2）創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)史中的真實(shí)情境。例如，在教學(xué)“用字母表示數(shù)”時(shí)，引入畢達(dá)哥拉斯研究多邊形數(shù)的真實(shí)故事，通過點(diǎn)子圖認(rèn)識(shí)平方數(shù)并進(jìn)行拓展。（3）創(chuàng)設(shè)學(xué)?；顒?dòng)的真實(shí)情境。例如，在教學(xué)“復(fù)式統(tǒng)計(jì)表”時(shí)，以學(xué)校開展的垃圾分類綠色助學(xué)活動(dòng)為背景，讓學(xué)生收集可回收物，經(jīng)歷真實(shí)的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)。（4）鼓勵(lì)學(xué)生自己提出含有現(xiàn)實(shí)情境的數(shù)學(xué)問題。在這個(gè)過程中，一方面，問題提出者需要對(duì)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)意義的建構(gòu)。另一方面，他們需要對(duì)實(shí)際情境有合理的考量：一個(gè)量發(fā)生了怎樣的變化？如何與其他的量發(fā)生數(shù)學(xué)意義上的相互關(guān)系？這種數(shù)學(xué)意義與實(shí)際情境的雙向建構(gòu)，誰能說不是一種創(chuàng)造呢？[9]

4.開發(fā)拓展性課程，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)

拓展性課程是以培育學(xué)生的主體意識(shí)、完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、提高學(xué)生自我規(guī)劃和自主選擇能力為宗旨，著眼于培養(yǎng)、激發(fā)和發(fā)展學(xué)生的興趣愛好，開發(fā)學(xué)生的潛能，促進(jìn)學(xué)生自主創(chuàng)新和研究實(shí)踐能力的開放性課程[10]。拓展性課程類型多樣、內(nèi)容豐富，具有情境化、活動(dòng)化、具身性、多元化等特征。

錢守旺老師在繪本《地球日，萬歲》的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生通過繪本閱讀掌握大數(shù)的讀寫方法和數(shù)位、計(jì)數(shù)單位等相關(guān)知識(shí)。通過對(duì)學(xué)生一周內(nèi)喝飲料情況的調(diào)查統(tǒng)計(jì)，推算北京市小學(xué)生一年喝飲料的數(shù)量，幫助學(xué)生建立大數(shù)的數(shù)感，培養(yǎng)環(huán)保意識(shí)[11]。再如，不少學(xué)校開展了類似“游園課程”的數(shù)學(xué)拓展性活動(dòng)課程，以現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材“實(shí)境化”的整合和拓展為內(nèi)容，以游園式體驗(yàn)活動(dòng)的方式，通過游戲化實(shí)施突出數(shù)學(xué)活動(dòng)的真實(shí)性體驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生豐富和積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。如：“走迷宮”“跳跳棋”讓學(xué)生認(rèn)識(shí)位置與方向，“踢球”“傳接球”讓學(xué)生理解基數(shù)與序數(shù)的意義，“報(bào)數(shù)排隊(duì)”“找朋友”讓學(xué)生認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)，等等[12]。

5.提供真實(shí)性問題，優(yōu)化數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)

史寧中教授指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，是要讓學(xué)習(xí)者會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語言就是模型?！盵13]純數(shù)學(xué)情境的問題和數(shù)學(xué)化的現(xiàn)實(shí)情境問題是無法較好地檢測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平的。在大力倡導(dǎo)核心素養(yǎng)的今天，學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的檢測(cè)、能力水平的測(cè)評(píng)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的評(píng)價(jià)應(yīng)更多地選用真實(shí)問題情境，使學(xué)生獨(dú)立嘗試從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型尋求結(jié)果、解決問題的過程[14]。試以以下這道題目的解答為例：

2017年12月29日，汽油價(jià)格年內(nèi)第十一次上調(diào)。北京市92號(hào)汽油價(jià)格調(diào)至6.84元/升，按一般家用汽車油箱50升容量估測(cè)，加滿一箱92號(hào)汽油比上調(diào)前多花約2.5元，則油價(jià)上調(diào)前為：

A.6.89元/升B.6.79元/升

C.7.34元/升D.6.34元/升

本題來源于生活實(shí)際，學(xué)生需要有一定的生活常識(shí)，比如“油價(jià)上調(diào)”“油箱容量”等，然后才能在數(shù)學(xué)閱讀的基礎(chǔ)上梳理出數(shù)學(xué)信息及其數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)情境的實(shí)際意義建立求解模型。這與通常所見的模式化習(xí)題相比，具有更大的挑戰(zhàn)性，也更能測(cè)評(píng)學(xué)生是否真正掌握解決實(shí)際問題的能力。

數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活又超越生活，學(xué)生未來日常生活中遇到的數(shù)學(xué)問題，幾乎都是非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中運(yùn)用真實(shí)問題情境連接現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)世界，能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，使學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷問題解決的全過程，提高問題解決能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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責(zé)任編輯：楊孝如

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)自籌課題“基于發(fā)展關(guān)鍵能力的小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容教學(xué)設(shè)計(jì)研究”（B-b/2018102/07）的研究成果。

收稿日期：2020-04-13

作者簡介：仲秋月，蘇州工業(yè)園區(qū)東延路實(shí)驗(yàn)學(xué)校（江蘇蘇州，215123）科研處主任，教育碩士，蘇州市學(xué)科帶頭人，高級(jí)教師，蘇州市小學(xué)數(shù)學(xué)兼職教研員。