包含Smarandache LCM函數(shù)及其對(duì)偶函數(shù)的混合均值

高倩，高麗，梁曉艷

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 延安 716000)

0 引言

羅馬尼亞著名的數(shù)論專家F.Smarandache在文獻(xiàn)[1]中提出的F.Smarandache LCM函數(shù)sl(n)被定義為對(duì)于任意的正整數(shù)n,sl(n)=min{k,n|[1,2,…,k]},如sl(1)=1,sl(2)=2,sl(3)=3,….由sl(n)的定義易得,若n=p1α1p2α2…prαr是n的標(biāo)準(zhǔn)分解式,則sl(n)=Max{p1α1,p2α2,…,prαr},而其對(duì)偶函數(shù)sl*(n)=Max{k,[1,2,…,k]|n}，且當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),sl*(n)=1;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),sl*(n)≥2. Smarandache LCM函數(shù)sl(n)及其對(duì)偶函數(shù)sl*(n)均是數(shù)論中極為重要的函數(shù),關(guān)于二者與其他數(shù)論函數(shù)混合均值問題的研究,仍是數(shù)論中極具意義的課題.

此課題受到了許多學(xué)者的關(guān)注，也得到了一系列較好的結(jié)果.如文獻(xiàn)[2]中證明了,若n是素?cái)?shù),則sl(n)=s(n),并提出

s(n)≠n?

(1)

本研究受到上述文獻(xiàn)的啟發(fā),應(yīng)用初等及解析的方法,通過分區(qū)間討論的方式研究Smarandache LCM函數(shù)sl(n)及其對(duì)偶函數(shù)sl*(n),與數(shù)論函數(shù)w(n)的復(fù)合函數(shù)均值性質(zhì),并得到了一個(gè)有趣的漸近公式.

1 相關(guān)引理及證明

引理3[11]對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x>1,p為素?cái)?shù)有

2 定理的證明

(2)

(3)

討論集合B的情況,由sl(n)的及集合B的定義知,對(duì)于任意的m∈B,P(m)=2,標(biāo)準(zhǔn)素因數(shù)分解為m=p1α1p2α2,且p1α1

(4)

討論集合C的情況,由由sl(n)的及集合C的定義知, 對(duì)于任意的m∈C,P(m)=3,m的標(biāo)準(zhǔn)素因數(shù)分解為m=p1α1p2α2p3α3,且p1α1

(5)

(6)

由集合A,B,C的定義,并結(jié)合(3)～(6)式可得

即該定理得證.

3 結(jié)論

本文中研究了sl(n),sl*(n)與w(n)的復(fù)合均值,并給出了一個(gè)有趣的漸近公式,從而豐富了數(shù)論函數(shù)均值有關(guān)問題的研究.