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    多維視角巧切入 解三角形妙破解

    2020-09-10 11:56:45郭建能
    數(shù)理化解題研究·高中版 2020年12期
    關鍵詞:正弦定理平面幾何解三角形

    摘 要:解三角形問題主要借助平面幾何圖形,特別是三角形中的邊與角之間的關系,通過正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等加以合理轉化與應用,有時還綜合三角函數(shù)中的相關公式加以綜合與運算,從而達到破解相關的邊、角、比值、面積、參數(shù)等相應的問題.此類問題有助于學生知識體系的進一步融會貫通,數(shù)學解題能力與數(shù)學應用能力的全面提升,真正達到拓展思維,提升能力,培養(yǎng)素養(yǎng)的目的.

    關鍵詞:解三角形;正弦定理;余弦定理;平面幾何;變式;拓展

    中圖分類號:G632????? 文獻標識碼:A???? ?文章編號:1008-0333(2020)34-0037-02

    收稿日期:2020-09-05

    作者簡介:郭建能(1980.12-),女,江蘇省啟東人,本科,中學二級教師,從事高中數(shù)學教學研究.

    解三角形問題是每年高考中的基本考點之一,有時以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),有時以解答題的形式出現(xiàn),一般難度維持在中等檔次.解三角形問題主要借助平面幾何圖形,特別是三角形中的邊與角之間的關系,通過正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等加以合理轉化與應用,有時還綜合三角函數(shù)中的相關公式加以綜合與運算,從而達到破解相關的邊、角、比值、面積、參數(shù)等相應的問題.解三角形往往與三角函數(shù)、平面向量等相關知識加以綜合,一般運算量大、公式應用多.可以很好考查考生的運算求解能力,化歸與轉化思想等,關鍵要善于審題,合理轉化,采用有效的策略,優(yōu)化過程,提升效益.

    一、真題在線

    高考真題 (2019·北京卷文·15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-12.

    (1)求b,c的值;

    (2)求sin(B+C)的值.

    二、真題解析

    1.破解思維:解三角形思維

    方法1 (官方標答——正、余弦定理法)

    (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-2×3×c×(-12).

    因為b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×(-12).

    解得c=5,所以b=c+2=7.

    (2)由cosB=-12,得sinB=1-cos2B=32.

    由正弦定理,得sinA=absinB=3314.

    在△ABC中,B+C=π-A,所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA=3314.

    點評 解三角形問題,多為平面幾何圖形中邊和角的求值與轉化問題,這就需要根據(jù)正弦定理、余弦定理以及三角形中的相關公式(三角形的面積公式、三角形內角和公式等),結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系,從而達到解決問題的目的.其破解問題的基本步驟是:第一步:“定條件”,即確定平面幾何圖形,特別是三角形中的已知和所求,在平面幾何圖形中標出來,然后確定轉化的方向;第二步:“定工具”,即根據(jù)條件和所求,有效、合理選擇轉化的工具,實施邊與角之間的相互轉化與應用;第三步:“求結果”.

    2.破解思維:平面幾何思維

    方法2 (平面幾何法1)

    圖1

    如圖1所示,過點A作AD⊥BC,垂足為D.

    (1)設DB=m,由于cosB=-12,可得AB=c=2m,AD=3m.

    而b-c=2,則有b=c+2=2m+2,

    在Rt△ADC中,結合勾股定理有AD2+DC2=AC2,即(3m)2+(m+3)2=(2m+2)2,

    解得m=52,所以c=2m =5,b=c+2=7.

    (2)由cosB=-12,得sinB=1-cos2B=32.

    由正弦定理,得sinA=absinB=3314.

    在△ABC中,B+C=π-A,

    所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA=3314.

    方法3 (平面幾何法2)

    圖2如圖所示,過點C作CD⊥AB,垂足為D.

    (1)由于a=3,cosB=-12,可得BD=12a=32,CD=32a=332.

    而b-c=2,則有b=c+2.

    在Rt△ACD中,結合勾股定理有CD2+DA2=CA2,

    即(332)2+(32+c)2=(c+2)2,

    解得c=5,所以b=c+2=7.

    (2)在Rt△ACD中,sinA=CDDA=3327=3314.

    在△ABC中,B+C=π-A,所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA=3314.

    點評 解三角形問題本身就是在平面幾何中進行的一般化探究與總結,因而解三角形問題往往也可以回歸平面幾何,借助平面幾何的相關知識加以思維與破解.利用平面幾何知識破解復雜的解三角形問題時,關鍵是根據(jù)條件加以合理切割、補形等操作,將問題背景轉化到特殊的三角形模型中去——直角三角形、等腰三角形或等邊三角形等,進而結合特殊三角形中的相關定理與性質(特別是直角三角形,比如勾股定理等)來處理,往往可以更為直觀形象、簡單快捷地達到解決一些相關的解三角形問題.

    三、變式拓展

    變式 (2019·北京卷理·15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-12.

    (1)求b,c的值;

    (2)求sin(B-C)的值.

    解析 (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,

    得b2=32+c2-2×3×c×(-12).

    因為b=c+2,

    所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×(-12).

    解得c=5,所以b=c+2=7.

    (2)由cosB=-12,得sinB=1-cos2B=32.

    由正弦定理,得sinC=cbsinB=5314.

    在△ABC中,∠B為鈍角,所以∠C為銳角.

    所以cosC=1-sin2C=1114.

    所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=437.

    四、解后反思

    對于解三角形中的相關綜合問題,關鍵是有效發(fā)現(xiàn)三角形中的邊、角等要素之間的內在聯(lián)系與變化規(guī)律,利用解三角形中的相關知識(包括正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)以及三角函數(shù)中的相關公式等加以有效轉化,從而充分融合與交匯不同的知識點,構建起知識點的有效聯(lián)系與合理轉化,真正有助于學生知識體系的進一步融會貫通,數(shù)學解題能力與數(shù)學應用能力的全面提升,真正達到拓展思維,提升能力,培養(yǎng)素養(yǎng)的目的.

    參考文獻:

    [1]蔣凱,錢云祥.法隨心動 心由境生——由一道數(shù)學題的解法探究產生的若干思考[J].數(shù)學通報,2019(03):42-45.

    [責任編輯:李 璟]

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