淺談高中數(shù)學(xué)解題中的幾類“陷阱問(wèn)題”

摘 要：隨著教育的不斷深入，我國(guó)數(shù)學(xué)高考的命題也開(kāi)始朝著綜合能力考查的趨勢(shì)前進(jìn).但在這種綜合型的命題里，往往會(huì)出現(xiàn)一些帶有“陷阱”的試題，若不能夠幫助學(xué)生把握好這幾類題型，就容易讓學(xué)生被試題中的“陷阱”所迷惑，導(dǎo)致無(wú)法快速進(jìn)行解析.就此，本文重點(diǎn)分析了高中數(shù)學(xué)解題中幾類的“陷阱問(wèn)題”，從而幫助學(xué)生能夠通過(guò)形成聯(lián)想記憶來(lái)對(duì)這類題型進(jìn)行快速解答，提高自身的學(xué)習(xí)效率.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解題;陷阱問(wèn)題

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2020）34-0019-03

收稿日期：2020-09-05

作者簡(jiǎn)介：邱智偉（1989.2-），男，福建省莆田人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、綜合利用基礎(chǔ)知識(shí)，解決“模型”型陷阱問(wèn)題

扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對(duì)于高中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)有著重要的意義，甚至許多數(shù)學(xué)題目都以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行對(duì)應(yīng)的設(shè)題，其中就包括“模型”型陷阱.所謂的“模型”型陷阱就將兩個(gè)相似的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)模型放在同一道題目中進(jìn)行運(yùn)用，從而考查學(xué)生的綜合分析能力.但事實(shí)上，這種陷阱容易讓學(xué)生在分析此類問(wèn)題的過(guò)程中，受到原先知識(shí)的阻礙，從而影響自身對(duì)問(wèn)題的判斷.尤其針對(duì)一些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這種題型是最容易造成知識(shí)點(diǎn)混淆.

例題1 如圖，點(diǎn)P是單位圓上的一個(gè)頂點(diǎn)，它從初始位置P0開(kāi)始沿著單位圓按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)角α（0<α<π2）到達(dá)點(diǎn)P1，然后沿著單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)π3到達(dá)點(diǎn)P2，若點(diǎn)p2的橫坐標(biāo)為-45，則cosα的值等于.圖1

解析 ∵cos（α+π3）=-54，

∴sin（α+π3）=35.

∴cosα=cos[（α+π3）-π3]

=12cos（α+π3）+32sin（α+π3）

=12×（-45）+32×53=33-410.

思路解讀 這道例題主要考查的是三角函數(shù)的定義以及兩角和與差公式的理解，但許多學(xué)生在做關(guān)于這類題型時(shí)，往往會(huì)忽略角度所在的象限，從而導(dǎo)致無(wú)法正確轉(zhuǎn)換數(shù)值，最終得出錯(cuò)誤的結(jié)果.所以，關(guān)于這類“模型”型陷阱的問(wèn)題，大多都是考查學(xué)生對(duì)綜合知識(shí)的運(yùn)用，能否有效的理解基本的數(shù)學(xué)定義和概念.因此，在實(shí)際解決這類題型時(shí)，首先就要能夠關(guān)注知識(shí)點(diǎn)之間的串聯(lián).其次，要能夠仔細(xì)觀察題目條件與模型之間的關(guān)系.最后，能夠根據(jù)現(xiàn)有的條件準(zhǔn)確運(yùn)用學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)定理來(lái)解決對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)題，從而提高問(wèn)題解決的效率.

二、發(fā)散學(xué)生數(shù)學(xué)思維，解決“方法”型陷阱問(wèn)題

部分學(xué)生在解題的過(guò)程中，往往會(huì)受到傳統(tǒng)解題思路的限制，導(dǎo)致在實(shí)際解題的過(guò)程中無(wú)法找尋新的解題思路.而這種“方法”型陷阱就是針對(duì)這類學(xué)生進(jìn)行設(shè)置的，一旦學(xué)生在解題思路上出現(xiàn)局限性，就會(huì)出現(xiàn)看似合理運(yùn)用方法解題，卻依舊出現(xiàn)錯(cuò)誤的情況.所以，解決這類題型，首先就是要能夠使學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}思維.

例題2 設(shè)有四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其乘積為16，中間兩項(xiàng)的和為5，試求公比q的值.

誤解 設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為aq3，aq，aq，aq3則aq3×qa×aq×aq3=16，a4=16.

又中間兩個(gè)數(shù)為2q，2q，

知2q+2q=5，則2q2-5q+2=0，

∴q1=12，q2=2.

當(dāng)q=12時(shí)，四個(gè)數(shù)為16，4，1，14，公比為14;

當(dāng)q=2時(shí)，四個(gè)數(shù)為14，1，4，16，公比為4.

思路解讀 ：該題是一道“方法”型陷阱的問(wèn)題，主要考查學(xué)生對(duì)方法使用的能力.但許多學(xué)生在做這道題時(shí)，往往受到思維定勢(shì)的影響，把處理等差數(shù)列問(wèn)題的方法錯(cuò)誤的遷移到等比數(shù)列中來(lái)，

以上解法受四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)成a-3d，a-d，a+d，a+3d的影響，將成等比數(shù)列的四個(gè)數(shù)設(shè)成aq3，aq，aq，aq3，而這樣的四項(xiàng)只能是同號(hào)的，實(shí)際上成等比數(shù)列的四個(gè)數(shù)不一定是同號(hào)的.

正解 設(shè)這四個(gè)數(shù)是a，aq，aq2，aq3，

由乘積條件有a4a6=16，得a2q3=±4.

由和的條件有aq+aq2=5.

故得方程組

（1）aq+aq2=5，（aq）（aq2）=4

或（2）aq+aq2=5，（aq）（aq2）=-4.

解方程組（1），答案同原解.

解方程組（2），得

a=（5+41）22（5-41）q=5-415+41，

或a=（5-41）22（5+41）2，

q=5+415-41.

（5+41）22（5-41），5+412，

5-412，

（5-41）22（5+41）;

或（5-41）22（5+41），5-412，5+412，（5+41）22（5-41）.

綜上，本題正確答案：q的值為14或4或5-415+41或

5+415-41.

三、加強(qiáng)學(xué)生讀題能力，解決“條件”型陷阱問(wèn)題

讀題能力對(duì)于高中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)尤其重要，許多高考題目都喜歡考查學(xué)生的審題，只有學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行認(rèn)真的閱讀、仔細(xì)審題，才能夠逐步發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的隱藏信息，進(jìn)而做到快速準(zhǔn)確地解題.不僅如此，這類“條件”型的陷阱也是日常數(shù)學(xué)考試中經(jīng)常出現(xiàn)的一種類型，其原理就是通過(guò)隱藏一些數(shù)學(xué)條件來(lái)考查學(xué)生的讀題能力.甚至有些數(shù)學(xué)題會(huì)故意給出一些多余的條件和迷惑性的條件來(lái)進(jìn)行干擾，設(shè)置不同的陷阱，若學(xué)生不能夠有效把握準(zhǔn)確的讀題能力，就會(huì)導(dǎo)致在解題中出現(xiàn)錯(cuò)誤的思維.

例題3 已知△ABC，點(diǎn)G為重心，過(guò)點(diǎn)G作任意一條直線分別交邊AB、AC于E、F，設(shè)AE=xAB，AF=yAC，求證：1x+1y=3.

解析 這道題中的x、y為AB、AC上向量的比例系數(shù)，因而，首先需要讓兩邊上能夠建立向量的直接關(guān)系，在變化的過(guò)程中，E、G、F三點(diǎn)共線是不變的，并且AE、AG、AF滿足共線定理的內(nèi)容，從而設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則

∵AD=12AB+12AC，AG=23AD，

則32AG=12AB+12AC，代入AE=xAB，AF=yAC，

∴AG=AE3x+AF3y.

又∵E、G、F三點(diǎn)共線，∴13x+13y=1.

思路解讀 這道題是以三點(diǎn)共線為軸的一道問(wèn)題，其設(shè)置對(duì)學(xué)生思路啟發(fā)最重要的就是要能夠注意到E、G、F三點(diǎn)共線，而在該題中將這一個(gè)條件設(shè)置得極為隱蔽，學(xué)生在讀題時(shí)就很容易忽略這個(gè)觀點(diǎn)和條件，最終導(dǎo)致這道題目解題失敗.所以對(duì)于這類題型，首先教師要能夠引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，理清不同類型中的題目特點(diǎn).接著要能夠緊扣三點(diǎn)共線定理的關(guān)系，發(fā)覺(jué)題目中隱含的條件，來(lái)進(jìn)一步解題.最后，要保證解題思路通暢，面臨“條件”性陷阱問(wèn)題，認(rèn)真審題和讀題是尤其關(guān)鍵的.

四、理清數(shù)學(xué)概念知識(shí)，解決“知識(shí)”型陷阱問(wèn)題

這種“知識(shí)”型陷阱問(wèn)題也是常見(jiàn)的一類題型，而設(shè)置這種題型的目的就是為了能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念的學(xué)習(xí)和掌握.高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)繁多，且許多內(nèi)容更加的抽象難懂.若學(xué)生無(wú)法理清每個(gè)單元中不同的概念知識(shí)，對(duì)基礎(chǔ)概念掌握不夠透徹，在面對(duì)這種“知識(shí)”型陷阱時(shí)，就容易被其中的條件所混淆，會(huì)出現(xiàn)定理適用范圍的錯(cuò)誤，數(shù)學(xué)公式應(yīng)用的錯(cuò)誤等.

例題4 判斷f（x）=1+sinx-cosx1+sinx+cosx的奇偶性.

解析 這道題目首先由1+sinx+cosx≠0，可以得出f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠2kπ-π2且x≠2kπ-π（k∈Z）}.因?yàn)樗皇顷P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，所以f（x）就為非奇非偶函數(shù).

思路解讀 關(guān)于這類題型，首先要能夠理清關(guān)于定

義域的要求.一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)的必要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱這說(shuō)明該函數(shù)為非奇非偶函數(shù).但部分學(xué)生在做這類題型時(shí)，經(jīng)常由于概念沒(méi)有掌握清楚且不考慮定義域就會(huì)形成錯(cuò)誤的解答，如f（x）=2sinx2cosx2+2sin2x22sinx2cosx2+2cos2x2=tanx2，這道題中的原函數(shù)與tanx2不是同一函數(shù)，因而這種解題思路就是錯(cuò)誤的.因此，這類“知識(shí)”型陷阱的問(wèn)題就是考查學(xué)生的概念知識(shí)掌握情況，只有學(xué)生擁有完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系才能夠保障學(xué)生在解題的過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

五、培養(yǎng)全面解題思路，解決“圖解”型陷阱問(wèn)題

在日常的解題過(guò)程中，常常會(huì)出現(xiàn)各種各樣的圖形題.而設(shè)置這類題型的目的就是為了能夠考查學(xué)生的作圖能力和綜合解題能力.但許多學(xué)生往往因?yàn)樽鲌D的不規(guī)范或不精確，導(dǎo)致產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果.甚至部分學(xué)生由于考慮不周全，而忽略了其他的答案，所以全面解題思路的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是尤其重要的.例題5 直二面角α-l-β的棱l上有一點(diǎn)A，在平面α、β內(nèi)各有一條射線AB、AC與l成45°角，ABα，ACβ，則∠ABC=.

解析 由圖2可知，AB、AC和l成45°，且ABα，ACβ，因而有兩種情況.

根據(jù)上圖，可求得cos∠BAC=12，所以∠BAC=60°.又根據(jù)下圖，由cos∠BAC=cos135°cos45°得cos∠BAC=-12，所以∠BAC=120°.

綜上所述，∠BAC=60°或120°.

思路解讀 該題是一道圖形題，這種圖形題常常以“形”助“數(shù)”，但許多學(xué)生在做這類題型時(shí)，往往只考慮了一種情況，而忽略了另外一種情況，這就是“圖解”型陷阱設(shè)計(jì)的所在，因而想要避免掉進(jìn)陷阱里，就要能夠做到使用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)解決問(wèn)題，能夠始終全面考慮“數(shù)”，且基于數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)“形”簡(jiǎn)潔精確.

總之，隨著素質(zhì)教育的不斷深入，高中數(shù)學(xué)的考試題目也越來(lái)越往學(xué)生綜合能力的方向發(fā)展，這種發(fā)展的結(jié)果也必然會(huì)出現(xiàn)各種陷阱型的題目.因而，這就要求教師要能夠把握不同類型的“陷阱問(wèn)題”，把握好學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力，防止學(xué)生在解題過(guò)程中，將錯(cuò)誤的條件作為正確條件進(jìn)行解題，從而降低學(xué)生解題的準(zhǔn)確率.

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[責(zé)任編輯：李 璟]