為學(xué)生的數(shù)學(xué)理解而教

毛大平 應(yīng)佳成

摘? 要：通過(guò)對(duì)正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行解析，提出研究的問(wèn)題，然后從“數(shù)”到“形”，研究正比例函數(shù)圖象，再借助圖象，研究正比例函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)建起數(shù)形結(jié)合的研究路徑，體現(xiàn)了為學(xué)生的數(shù)學(xué)理解而教.

關(guān)鍵詞：正比例函數(shù);數(shù)形結(jié)合;教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì).

2. 內(nèi)容解析

本節(jié)課選自北師大版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)（以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”）第四章第3節(jié)“一次函數(shù)的圖象”（第1課時(shí)）——正比例函數(shù)的圖象.

本節(jié)課主要從兩個(gè)方面對(duì)正比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究. 一方面，從“數(shù)”的角度進(jìn)行研究，借助正比例函數(shù)解析式[y=kx][k≠0，] 取一些特殊點(diǎn)，觀(guān)察當(dāng)自變量x的值增大時(shí)，函數(shù)值y是增大還是減小，然后進(jìn)一步觀(guān)察當(dāng)自變量x等距變化時(shí)函數(shù)值y的變化情況;另一方面，從“形”的角度進(jìn)行研究，用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖象，在得到“正比例函數(shù)的圖象是一條直線(xiàn)”后，根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”，得到簡(jiǎn)便畫(huà)法——兩點(diǎn)法. 自變量增大意味著圖象上動(dòng)點(diǎn)的位置是從左向右移動(dòng)，從函數(shù)值的增大（或減?。┛梢钥闯鰟?dòng)點(diǎn)是上升（或下降），這樣借助圖象可以直觀(guān)地認(rèn)識(shí)正比例函數(shù)的性質(zhì). 數(shù)形結(jié)合法是研究函數(shù)的性質(zhì)的基本方法.

正比例函數(shù)性質(zhì)的核心是其增減性與系數(shù)k的符號(hào)之間的關(guān)系.

正比例函數(shù)性質(zhì)的研究方法，不僅可以用在一次函數(shù)性質(zhì)的研究中，而且可以用在后續(xù)要學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究中，體現(xiàn)了函數(shù)學(xué)習(xí)方法的一致性.

綜上所述，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，通過(guò)畫(huà)圖、觀(guān)察，概括正比例函數(shù)的性質(zhì)（函數(shù)的增減性與系數(shù)[k]的符號(hào)之間的關(guān)系）.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

（1）會(huì)畫(huà)正比例函數(shù)的圖象.

（2）能根據(jù)正比例函數(shù)的圖象和表達(dá)式[y=kx]（k[≠]0），理解當(dāng)[k>0]或[k<0]時(shí)圖象的變化情況，從而理解正比例函數(shù)的增減性.

（3）在觀(guān)察正比例函數(shù)圖象，歸納正比例函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.

2. 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：面對(duì)一個(gè)陌生的初等函數(shù)，觀(guān)察和歸納是直觀(guān)認(rèn)識(shí)函數(shù)圖象性質(zhì)的基本方法. 在用描點(diǎn)法畫(huà)出正比例函數(shù)圖象后猜測(cè)并驗(yàn)證其圖象是一條直線(xiàn)，再根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”獲得正比例函數(shù)圖象的兩點(diǎn)畫(huà)圖法. 要求學(xué)生能熟練應(yīng)用“兩點(diǎn)法”畫(huà)出一個(gè)具體的正比例函數(shù)圖象.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：結(jié)合圖象理解當(dāng)[k>0]和[k<0]時(shí)正比例函數(shù)圖象的變化情況. 知道k的符號(hào)變化是影響正比例函數(shù)圖象走向，進(jìn)而造成增減性變化的唯一因素;能根據(jù)[k>0]和[k<0]分別畫(huà)出函數(shù)圖象并確定函數(shù)的增減性.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生感受“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，并在這種用圖象表示數(shù)學(xué)對(duì)象的過(guò)程中發(fā)展數(shù)學(xué)直觀(guān);發(fā)展數(shù)學(xué)感知能力，要求學(xué)生能通過(guò)直觀(guān)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)圖象的特征;發(fā)展數(shù)學(xué)表征能力，要求學(xué)生會(huì)用圖象描述變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用變量的變化規(guī)律解釋圖象特征;發(fā)展數(shù)學(xué)概括能力，要求學(xué)生能在教師的引導(dǎo)下概括出正比例函數(shù)的性質(zhì).

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

通過(guò)學(xué)習(xí)正比例函數(shù)，體會(huì)正比例函數(shù)圖象的位置和增減性受系數(shù)[k]的影響. 在具體的學(xué)習(xí)過(guò)程中，如果學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷畫(huà)圖、觀(guān)察、概括的過(guò)程，可能只是記住結(jié)論. 學(xué)生在探究性質(zhì)時(shí)，會(huì)跟著教師畫(huà)圖、觀(guān)察、概括，但在理解、記憶和應(yīng)用性質(zhì)時(shí)，往往又拋開(kāi)了圖象. 學(xué)生在觀(guān)察圖象時(shí)，并沒(méi)有把圖象特征通過(guò)坐標(biāo)的意義轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)，只是停留在語(yǔ)義記憶層次上.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：以坐標(biāo)為中介，把函數(shù)圖象特征解釋成變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系和變化規(guī)律.

四、教學(xué)支持條件分析

觀(guān)察直線(xiàn)[y=kx k≠0]中[y]隨[x]的變化情況及[k]的符號(hào)變化導(dǎo)致函數(shù)增減性的變化時(shí)，在學(xué)生獨(dú)立畫(huà)圖象、觀(guān)察圖象的基礎(chǔ)上，教師用幾何畫(huà)板軟件充分展示其運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，以便于學(xué)生理解和記憶.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)回顧，引出問(wèn)題.

問(wèn)題1：我們研究一個(gè)函數(shù)，主要研究什么？

回顧函數(shù)的定義：一般地，如果在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量[x]和[y]，并且對(duì)于變量[x]的每一個(gè)值，變量[y]都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們稱(chēng)[y]是[x]的函數(shù)，其中[x]是自變量.

根據(jù)函數(shù)的定義，我們知道函數(shù)主要研究的是“在一個(gè)變化過(guò)程中，當(dāng)[x]變化時(shí)，[y]是怎樣變化的？”

【設(shè)計(jì)意圖】在本章第1節(jié)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，研究對(duì)象已經(jīng)確定. 通過(guò)復(fù)習(xí)回顧函數(shù)概念，引出本節(jié)課要研究的問(wèn)題.

環(huán)節(jié)2：從“數(shù)”到“形”，研究正比例函數(shù)圖象.

問(wèn)題2：我們先來(lái)研究一個(gè)較為簡(jiǎn)單的正比例函數(shù)[y=2x.] 當(dāng)[x]變化時(shí)，[y]是怎么變化的？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)[y]隨[x]的增大而增大.

問(wèn)題3：對(duì)于[y=-3x，] [y]隨[x]的變化而怎么變化？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)[y]隨[x]的增大而減小.

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)習(xí)正比例函數(shù)的圖象之前，學(xué)生已經(jīng)了解正比例函數(shù)的解析式. 此環(huán)節(jié)借助正比例函數(shù)的解析式，從“數(shù)”的角度研究具體的正比例函數(shù)中[y]隨[x]的變化情況.

問(wèn)題4：當(dāng)[x]怎樣取值，能更好地研究[y]的變化？

教師先讓學(xué)生計(jì)算表1和表2中的y值.

追問(wèn)：以上表格中，[x]是按從小到大的順序取值的，選取的每?jī)蓚€(gè)相鄰自變量的增加量并沒(méi)有規(guī)律，對(duì)應(yīng)的[y]值也沒(méi)有規(guī)律. 那么[x]怎樣取值，能更好地研究[y]的變化？

學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)將[x]取-2，-1，0，1，2時(shí)，[x]值等距增長(zhǎng)，[y]的變化規(guī)律如表3所示.

分析發(fā)現(xiàn)：在正比例函數(shù)中，當(dāng)x的值等距變化時(shí)，y的值也等距變化.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)自變量[x]按從小到大的順序取值，歸納出對(duì)于具體的正比例函數(shù)，當(dāng)自變量x等距變化時(shí)，函數(shù)值y也等距變化.

問(wèn)題5：怎樣利用圖象研究以上函數(shù)？

圖1是教材第四章第1節(jié)“函數(shù)”中給出的摩天輪上一點(diǎn)的高度h（m）與旋轉(zhuǎn)時(shí)間t（min）之間的關(guān)系. 由此可以看出，圖象是由點(diǎn)構(gòu)成的，每個(gè)自變量的值是點(diǎn)的橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值是點(diǎn)的縱坐標(biāo). 從而引出函數(shù)圖象的概念，即把一個(gè)函數(shù)自變量的每一個(gè)值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象.

問(wèn)題6：如何畫(huà)出正比例函數(shù)[y=2x]的圖象？

學(xué)生將表3中列舉的5組特殊值，轉(zhuǎn)化成5個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)[-2，-4，] [-1，-2，] [0，0，] [1，2，] [2，4，] 描出5個(gè)點(diǎn)，觀(guān)察并猜測(cè)[y=2x]的圖象是一條直線(xiàn).

教師在幾何畫(huà)板軟件上追蹤點(diǎn)[Px，2x，] 畫(huà)出更多的點(diǎn)，猜想滿(mǎn)足[y=2x]的點(diǎn)在一條直線(xiàn)上. 將這條直線(xiàn)畫(huà)出來(lái)后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)直上線(xiàn)任意一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都滿(mǎn)足解析式，進(jìn)一步驗(yàn)證了[y=2x]的圖象是一條直線(xiàn).

問(wèn)題7：如何推理證明[y=2x]的圖象是一條直線(xiàn)？

接著取更多的單位增長(zhǎng)量，可以得到所有單位增長(zhǎng)的點(diǎn)都共線(xiàn)，從而證明所有的點(diǎn)都是共線(xiàn)的.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題6和問(wèn)題7引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對(duì)正比例函數(shù)圖象觀(guān)察、猜想、驗(yàn)證、證明的完整探究體驗(yàn)過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)“正比例函數(shù)的圖象是一條直線(xiàn)”的深刻理解，為后面研究正比例函數(shù)的性質(zhì)做好鋪墊.

師生總結(jié)運(yùn)用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象的步驟：列表、描點(diǎn)、連線(xiàn).

練習(xí)1：用描點(diǎn)法畫(huà)出正比例函數(shù)[y=-3x]的圖象.

你說(shuō)我畫(huà)：學(xué)生說(shuō)出一個(gè)正比例函數(shù)，教師在幾何畫(huà)板軟件上畫(huà)圖.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)1鞏固用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象的步驟，在“你說(shuō)我畫(huà)”的活動(dòng)中，讓學(xué)生進(jìn)一步直觀(guān)感受“任意正比例函數(shù)的圖象都是一條直線(xiàn)”.

問(wèn)題8：你能找到畫(huà)正比例函數(shù)圖象的簡(jiǎn)便方法嗎？

師生總結(jié)：只需要兩個(gè)點(diǎn)就可以畫(huà)出正比例函數(shù)的圖象，簡(jiǎn)稱(chēng)“兩點(diǎn)法”.

練習(xí)2：用“兩點(diǎn)法”在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)[y=x，y=4x]和[y=-12x]的圖象.

【設(shè)計(jì)意圖】在得到“正比例函數(shù)的圖象是一條直線(xiàn)”的結(jié)論后，可以繼續(xù)得到畫(huà)正比例函數(shù)圖象的簡(jiǎn)便方法——兩點(diǎn)法. 在學(xué)生利用“兩點(diǎn)法”畫(huà)出多個(gè)正比例函數(shù)圖象過(guò)程中，積累和提煉出常用的“兩點(diǎn)”.

環(huán)節(jié)3：借助圖象，研究正比例函數(shù)的性質(zhì).

問(wèn)題9：如圖3，觀(guān)察函數(shù)[y=2x，] [y=-3x，] [y=x，] [y=4x]和[y=-12x]的圖象，根據(jù)相應(yīng)圖象上的點(diǎn)從左到右的變化趨勢(shì)，將函數(shù)分類(lèi)，你認(rèn)為可以怎樣分？理由是什么？

按[k>0]和[k<0]分成兩類(lèi). 當(dāng)[k>0]時(shí)，圖象從左到右逐漸上升，經(jīng)過(guò)第一、三象限;當(dāng)[k<0]時(shí)，圖象從左到右逐漸下降，經(jīng)過(guò)第二、四象限. 也就是說(shuō)，當(dāng)[k>0]時(shí)，[y]隨[x]的增大而增大;當(dāng)[k<0]時(shí)，[y]隨[x]的增大而減小. 教師利用幾何畫(huà)板軟件進(jìn)行驗(yàn)證，如圖4和圖5所示.

追問(wèn)：對(duì)于正比例函數(shù)[y=2x]和[y=4x]，隨著x值的增大，[y]的值都增大了，哪一個(gè)增加得更快？你能解釋其中的道理嗎？對(duì)于正比例函數(shù)[y=-12x]和[y=][-4x]呢？

在幾何畫(huà)板軟件上觀(guān)察圖4和圖5的變化過(guò)程，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)[k>0]時(shí)，[k]的值越大，直線(xiàn)越陡;當(dāng)[k<0]時(shí)，[k]的值越小，直線(xiàn)越陡. 因此，歸納出正比例函數(shù)的函數(shù)值增減速度與[k]的絕對(duì)值有關(guān)：[k]的絕對(duì)值越大，[y]的變化速度越快;[k]的絕對(duì)值越小，[y]的變化速度越慢.

【設(shè)計(jì)意圖】以上“利用數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)正比例函數(shù)圖象性質(zhì)”的方法也為后續(xù)研究反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)提供了可操作的思路.

環(huán)節(jié)4：初步應(yīng)用，鞏固知識(shí).

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)以上練習(xí)考查學(xué)生對(duì)正比例函數(shù)性質(zhì)的掌握情況.

環(huán)節(jié)5：課堂小結(jié)，呈現(xiàn)研究路徑.

師生總結(jié)本節(jié)課的研究框架圖，如圖7所示.

【設(shè)計(jì)意圖】呈現(xiàn)整節(jié)課對(duì)正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究路徑，為后續(xù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)及其他函數(shù)的圖象和性質(zhì)提供借鑒.

環(huán)節(jié)6：目標(biāo)檢測(cè)，評(píng)價(jià)課堂效果.

（1）對(duì)于正比例函數(shù)[y=3x，] 當(dāng)自變量x的值增加1時(shí)，y的值增加? ? ? .

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)“正比例函數(shù)中，x的值等距增長(zhǎng)時(shí)，y的值等距增長(zhǎng)或減小”的規(guī)律的掌握情況.

（2）用“兩點(diǎn)法”畫(huà)出正比例函數(shù)[y=32x]的圖象.

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生用“兩點(diǎn)法”畫(huà)正比例函數(shù)圖象的能力.

（3）若正比例函數(shù)[y=mx]（m是常數(shù)，[m≠0]）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)[Am，4，] 且y的值隨x值的增大而減小，則m的值等于（? ? ）.

（A）2? ? （B）-2? ? （C）4? ? （D）-4

（4）已知點(diǎn)[Ax1，y1，Bx2，y2]都在正比例函數(shù)[y=kx]的圖象上，若[k<0，] 且[x1]<[x2，] 則[y1]? ? [y2].（填“[>]”“[<]”或“[=]”）

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)正比例函數(shù)性質(zhì)的掌握情況.

六、教學(xué)反思

一次函數(shù)是學(xué)生在初中階段研究的第一類(lèi)函數(shù)，研究經(jīng)驗(yàn)的積累和總結(jié)非常重要. 將合理有效的研究方式遷移到其他函數(shù)的學(xué)習(xí)中是一種重要的能力，這種能力的形成體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面.

1. 構(gòu)建函數(shù)的研究思路

面對(duì)一個(gè)新的函數(shù)，對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行研究是把握函數(shù)本質(zhì)的關(guān)鍵，函數(shù)圖象則是探索和發(fā)現(xiàn)性質(zhì)的工具和手段. 從圖象的特征出發(fā)探索得到函數(shù)的性質(zhì)，體會(huì)正比例函數(shù)的變化規(guī)律. 例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)正比例函數(shù)中圖象上的點(diǎn)從左到右的變化趨勢(shì)，能夠發(fā)現(xiàn)圖象的增減性;根據(jù)變化趨勢(shì)相同時(shí)，圖象的陡和緩對(duì)函數(shù)值變化速度的影響，發(fā)現(xiàn)[k]對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響，等等. 究其本質(zhì)，是對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，以及性質(zhì)與解析式中系數(shù)的關(guān)系的研究. 盡管函數(shù)不同，但是思考方式都是類(lèi)似的，主動(dòng)用這樣的思路去研究一個(gè)新的對(duì)象是一種重要的能力.

2. 在“數(shù)”和“形”之間轉(zhuǎn)換

數(shù)形結(jié)合思想是重要的函數(shù)研究思想. 在畫(huà)函數(shù)圖象的過(guò)程中要注意分析解析式. 例如，本節(jié)課中，學(xué)生通過(guò)計(jì)算觀(guān)察解析式[y=2x]和[y=-3x]中y隨x的變化情況，從而對(duì)函數(shù)圖象有大致的判斷. 而在觀(guān)察函數(shù)圖象、歸納函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程中，要重視對(duì)函數(shù)特征的代數(shù)表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)x變化時(shí)y的變化特征，發(fā)現(xiàn)“當(dāng)x等距增長(zhǎng)時(shí)，y也等距增長(zhǎng)（減?。? 再?gòu)摹靶巍钡慕嵌妊芯?，運(yùn)用描點(diǎn)法發(fā)現(xiàn)“正比例函數(shù)的圖象是一條直線(xiàn)”，提出畫(huà)正比例函數(shù)圖象的簡(jiǎn)便方法——兩點(diǎn)法. 以上操作是在“數(shù)”和“形”之間的自如轉(zhuǎn)換，同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)從具體到抽象、從特殊到一般的思想.

3. 嘗試對(duì)一個(gè)新的研究對(duì)象展開(kāi)研究

在研究一次函數(shù)之后，教師應(yīng)該及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生遷移研究經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生設(shè)計(jì)合適的學(xué)習(xí)材料，回顧、總結(jié)、提煉研究方法，為后續(xù)反比例函數(shù)和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力切實(shí)得到提升.

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