用好數(shù)式通性，從“數(shù)”向“式”自然過渡

應佳成

摘? 要：“式”是“數(shù)”的拓展與一般化，作為運算對象，對“式”的學習是真正的代數(shù)學習. 在教學中如何引導學生實現(xiàn)從“數(shù)”到“式”的自然過渡？筆者認為需要用好“數(shù)”與“式”之間的具體與一般關系，用好研究方式與研究結構的一致性，即用好數(shù)式通性，幫助學生從“數(shù)”的學習順利過渡到“式”的學習. 對學生數(shù)式通性觀念的培養(yǎng)是一個逐步滲透、逐步遞進的過程. 文章從對“式”的認識、對運算律的遵循、對算理的理解和技能的落實、對代數(shù)體系的構建等不同發(fā)展階段闡述如何實現(xiàn)從“數(shù)”向“式”的自然過渡，并提出了后續(xù)思考.

關鍵詞：數(shù)式通性;遷移類比;運算能力

2020年10月20日，筆者有幸參加了由中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會、福建省教育學會數(shù)學教學委員會在福建建寧主辦的“中央蘇區(qū)、革命老區(qū)中學數(shù)學教師培訓”活動. 活動中，浙江省杭州市富陽區(qū)永興學校的毛大平老師（以下統(tǒng)稱“執(zhí)教教師”）開設了“整式”一課，以下是筆者從數(shù)式通性視角對式的教學展開的思考.

從本質上看，由于“式”是“數(shù)”的抽象，因此，在式的運算中，數(shù)的運算本質不變. 從數(shù)學的整體性來看，式的運算繼承了“數(shù)”的運算的法則和運算律，與數(shù)的運算保持一致. 從思想方法來看，“式”是代數(shù)教學的開端，由于“式”是“數(shù)”的一般化，與“數(shù)”相比，既有繼承也有發(fā)展，數(shù)式通性是在“式”的研究中具有統(tǒng)領地位的思想方法. 用好數(shù)式通性，從“數(shù)”向“式”自然過渡，讓學生能夠用看“數(shù)”的眼光看“式”、能夠像運算“數(shù)”一樣熟練地運算“式”，能夠從認知上將“數(shù)”與“式”進行統(tǒng)一，能夠建立初步的代數(shù)觀念. 那么，如何實現(xiàn)自然過渡？如何體現(xiàn)數(shù)式通性？筆者認為，作為一種重要的數(shù)學思想，對學生進行數(shù)式通性觀念的培養(yǎng)是一個逐步滲透、逐步遞進的過程，本文將就此展開具體闡述.

一、理解“式”，用看“數(shù)”的眼光看“式”

從發(fā)展的角度看，用字母表示數(shù)是式的發(fā)展基礎;從知識領域看，用字母表示數(shù)是數(shù)的進一步抽象，是更具有一般意義的數(shù). 在小學階段，學生已經(jīng)知道用字母可以表示數(shù)，學習過用字母表示運算律，因此，學生對用字母表示數(shù)的學習并不是零基礎的. 但這并不意味著學生有對“式”進行直接運算的能力，在對“式”進行運算之前，需要學生對“式”有充分的認識，從“數(shù)感”過渡到“式感”，對“式”有完備的認識，為運算打好基礎.

1. 理解字母的運算邏輯

2. 明確“式”的構成要素的含義

由于數(shù)有運算單位，自然需要確定式的運算單位. 單項式是式的運算的最小單位，對單項式的構成要素本質的認識決定了整式的運算水平. 數(shù)式通性是認識單項式構成要素的重要思想，從單項式的結構中可以明確看出構成要素. 例如，5a3b表明它的運算關系是[5 · a · a · a · b]，但是此結構與多個因數(shù)相乘不同，數(shù)是個別的，a3b代表的是類型，是運算結構，系數(shù)（5a3b中的5）、字母（5a3b中的a3，b）是單項式的構成要素，說明單項式是式的運算的最小單位. 在以上認知過程中，教師需要幫助學生理解字母可以表示數(shù)，字母也可以用符合條件的具體的數(shù)來替換，這與數(shù)字因數(shù)是有差異的. 基于對數(shù)字因數(shù)和字母因數(shù)的對比與分析，發(fā)現(xiàn)式與數(shù)之間有繼承、有差異. 式可以兼容數(shù)，是數(shù)的運算結構的一般化表示，從“數(shù)”過渡到“式”，明確“式”也是運算對象.

3. 用“式”抽象數(shù)量關系

隨著學生對“式”的認識水平的提升，需要進一步培養(yǎng)學生抽象數(shù)量關系，并用“式”表示這些關系的能力. 例如，用歸納法表示簡單的數(shù)列1，2，4，8，16，…，2n - 1的通項公式等. 在對這個問題的解決過程中，蘊含著“發(fā)現(xiàn)數(shù)的規(guī)律、用字母替換數(shù)、用式表示規(guī)律”等一系列思維過程，這都是從“數(shù)”向“式”過渡的良好載體.

二、遵循運算律，像算“數(shù)”一樣去算“式”

整式的運算建立在數(shù)的運算基礎之上，數(shù)的運算是式的運算的特殊情形. 但是初學階段的學生缺少這樣的整體視角，因而用好數(shù)式通性，幫助學生自然地實現(xiàn)從數(shù)的運算遷移到式的運算是學好式的運算的關鍵.

1. 用字母替換數(shù)，明確“式”可以算

整式的加減是融合數(shù)與式的學習、培育數(shù)式通性思想的最佳載體. 整式的加減運算的關鍵是合并同類項，在學習過程中要為學生設計合理的遷移機會，抓好思維發(fā)展的細微環(huán)節(jié). 學生已經(jīng)知道“式”是“數(shù)”的進一步抽象及推廣，是運算對象，那么自然就會產(chǎn)生一個問題：“式”不等同于“數(shù)”，那么整式到底能不能相加減呢？因此，在整式的加減的教學時，要充分注意“式”與“數(shù)”的聯(lián)系，類比數(shù)的運算探求整式加減運算的法則和規(guī)律. 例如，可以通過設計具有分配律結構特征的數(shù)的運算進行遷移. 第一步，先來計算如下三個算式：[22×5+78×5;] [22×52+78×52;] [22×5×6+78×5×6，] 顯然，以上的運算利用分配律是非常容易完成的;第二步，將上述算式中的“5”和“6”換成其他的任意數(shù)，利用分配律依然可以順利計算出結果，并且發(fā)現(xiàn)能夠替換“5”和“6”的數(shù)有無數(shù)組;第三步，聯(lián)想到用更具有一般性的字母表示數(shù)，將上述問題中的“5”換成“a”，“6”換成“b”，就此遷移完成[22a+78a，22a2+78a2，] [22ab+78ab]的運算.

在對“式”進行運算的初始階段，要考慮到學生的學習是新舊知識相互影響與整合的過程，處理好從“數(shù)”到“式”的過渡，借助“字母表示數(shù)的意義”用字母替換數(shù)字，明確這樣的“式”可以運算是非常重要的. 章建躍博士曾經(jīng)做出闡述：從數(shù)字到字母，用字母表示數(shù)，其意義是使數(shù)學表達趨于抽象性、普遍性，對字母進行運算、推理所獲得的結果是普遍成立的.

2. 分析運算律，明確“式”如何算

在前文闡述“式”能不能運算的過程中，已經(jīng)交織著分配律的使用，事實上，“能不能算”與“怎樣算”是相互交織的同一個問題. 在計算[22a+78a，] [22a2+][78a2，] [22ab+78ab]的過程中，離不開運算律，只有使用分配律，才能通過改變運算順序將兩個同類單項式合并，完成從“數(shù)”到“式”的學習遷移. 因此，教師要引導學生重點思考運算的依據(jù)，并利用依據(jù)對“式”進行運算，進一步歸納總結出合并同類項法則. 從數(shù)的運算到式的運算，運算法則和運算律的繼承是運算得以實施的核心. 幫助學生類比遷移數(shù)的運算結構構建式的運算結構，是發(fā)展學生代數(shù)認知體系的關鍵環(huán)節(jié).

在多項式加減運算學習之初，會有部分學生對于[2x2-5x-24x-3x2-2]這樣的計算題不能理解，導致運算錯誤率較高. 究其原因，還是學生對新法則本質的不理解造成的，抓不住根本的運算規(guī)律導致已有基礎和目標之間形成了差距，影響學習進程. 針對這樣的問題，教師在教學中使用運算法則的同時要強調(diào)分配律所起的作用，并且不斷強調(diào)算理，在每個步驟之后都強調(diào)運算本質，幫助學生將新法則化歸為已有知識經(jīng)驗，在理解的基礎上再進行運算，就可以有效解決問題.

再如，在整式的乘法中，多項式的乘法要利用分配律轉化為單項式的乘法，而單項式的乘法又要利用交換律和結合律轉化為冪的運算，各種式（整式、分式、二次根式）的運算都是在用運算律進行等價轉換. 講清楚這樣的本質對于提升學生的數(shù)學整體觀念非常重要.

三、“數(shù)”“式”統(tǒng)一，建立初步的代數(shù)觀念

代數(shù)的基本精神就是靈活運用運算律去謀求問題的統(tǒng)一解法. 例如，有理數(shù)運算的關鍵在于弄懂算理，理解數(shù)的運算過程的實質;多項式的運算性質是數(shù)式通性最為直接的發(fā)展. 抓住數(shù)式通性也就抓住了從算術到代數(shù)過渡的樞紐.

我們知道，有理數(shù)運算是整個代數(shù)運算的基礎，對有理數(shù)的研究過程（數(shù)?運算和逆運算?運算律?大小關系）提供了研究一個代數(shù)對象的基本思路. 因此，有理數(shù)的研究具有基礎地位和作用. 基于對有理數(shù)運算基礎地位的認識，教師需要邊學習邊構建研究框架，目的不僅僅是使學生學好有理數(shù)運算，更重要的是通過研究框架的構建，將代數(shù)知識條理化、系統(tǒng)化，為式的運算構建基礎. 有理數(shù)的運算結構如圖1所示.

站在整體視角看式的學習，“式”與“數(shù)”在研究結構上是一致的. 從“數(shù)”拓展到“式”，盡管運算對象發(fā)生了變化，但是研究結構并沒有發(fā)生實質性的變化. 概念和運算是兩個主要研究的板塊，加、減、乘、除是基本運算，利用相反數(shù)將減法統(tǒng)一成加法，利用倒數(shù)將除法統(tǒng)一成乘法，其根本都是運用了逆運算，這與數(shù)的研究也是一致的.“式”的研究結構如圖2所示.

從數(shù)式通性的角度看，從數(shù)的運算擴展到“式”的運算，之所以研究結構沒有發(fā)生根本變化，因為“式”與“數(shù)”的研究結構是高度抽象后的統(tǒng)一.《普林斯頓數(shù)學指南》一書中也指出，從長期看來，數(shù)學家慢慢放松“數(shù)”或“量”這些模糊的概念，而緊緊抓住代數(shù)結構這個比較形式的概念，到頭來，每個數(shù)系無非就是可以在其上運行的實體的集合. 基于以上對比，將數(shù)與式的研究結構統(tǒng)一，如圖3所示.

四、用好數(shù)式通性，發(fā)展學生的能力

1. 發(fā)展學生的運算能力

數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段，運算的過程是演繹推理的過程. 式的運算能力是初中階段需要發(fā)展的重要運算能力，培養(yǎng)式的運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理、簡潔的運算途徑解決問題. 與數(shù)的運算一致，式的運算技能的落實需要在闡明原理的基礎上規(guī)范思考、形成解決問題的基本步驟. 從能力培養(yǎng)層面看，步驟化操作中蘊含著運算技能的培養(yǎng)：運算對象的認識（如明確觀察式子，劃出同類項等）—運算方法的認識（如用運算律進行項的交換、結合等）—按步驟進行操作（得到運算結果）—形成自動化（思維和能力的提升）. 這樣，學生面對一串算式，就能夠明確每一步需要做什么，流暢的運算是對概念的進一步鞏固，是對基礎知識和基本技能的落實，是對思維的邏輯性的有益訓練，使解決問題的過程更加有序. 從更高層次看，這是數(shù)式通性的更高水平的體現(xiàn). 項武義先生在《基礎代數(shù)學》中指出，在各種各樣的代數(shù)問題中，我們總是運用各種代數(shù)運算（如加法、乘法等）來分析量與量之間的關系，系統(tǒng)、有效地分析代數(shù)問題中的量. 由于我們常用的數(shù)系運算律對于所有數(shù)字皆普遍成立，所以其做法都可以廣泛地應用到任何一個只需用到那些數(shù)系運算律的代數(shù)系統(tǒng)（即可以假設所處理的符號滿足數(shù)系通性）. 初中所學的多項式代數(shù)就是上述做法的一個典型例子.

2. 培養(yǎng)學生的遷移能力

整式的運算能力只是式的運算的起點，學生在整式學習中所獲得的用數(shù)式通性研究問題的經(jīng)驗的遷移是更為重要的能力. 例如，在后續(xù)分式的學習中，數(shù)式通性同樣發(fā)揮著重要作用. 分數(shù)與分式是具體與抽象、特殊與一般的關系，分式的概念、基本性質、約分與通分、四則運算法則，是從分數(shù)的概念、基本性質、約分與通分、四則運算法則中經(jīng)過再抽象而產(chǎn)生的，根據(jù)這種關系，兩者具有一致性，也可以說是數(shù)式通性. 因此，就可以確定分式單元從研究框架到具體研究過程，都是高度類比分數(shù)的研究完成的. 數(shù)式通性依然是自然、合情、合理地實現(xiàn)從分數(shù)向分式過渡的方法，整式的研究為其提供可借鑒、可類比的重要經(jīng)驗.

基于已有的認知經(jīng)驗去認識新的研究對象，學生的認知不會產(chǎn)生斷層. 從心理學角度看，數(shù)式通性實質上是數(shù)的運算遷移或順應，這種遷移既包括研究框架的遷移，也包括運算法則和運算律的繼承. 現(xiàn)代心理學關于遷移現(xiàn)象的研究表明，如果學生在學習時，對學過的知識、技能和要領掌握得牢固，且又善于分析思辨，那么所學的知識、技能和概念會對另一種知識、技能、概念產(chǎn)生有益的影響和推動，這是學習的正遷移. 在教學中，有效利用正遷移的規(guī)律，有利于學生舉一反三、觸類旁通，發(fā)現(xiàn)“式”的研究方法.

3. 培養(yǎng)學生思考問題的方式

從更高的視角看，人的學習能力是不斷發(fā)展完善的，用好數(shù)式通性統(tǒng)一代數(shù)問題的解決方式的過程，也是一種經(jīng)驗的積累，有助于學生形成數(shù)學方法與思想，學會有邏輯地思考問題，把握事物之間的關聯(lián)和發(fā)展脈絡，形成合乎邏輯的思維品質和理性精神，從而為其他知識領域的學習提供經(jīng)驗，真正提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

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