函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用

戴耀藝

摘 要：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，既有自己本身的特性，也具有函數(shù)的性質(zhì)，因此在教學(xué)和解題過程中充分挖掘數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，借助函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)列問題，感悟函數(shù)思想在解決數(shù)列問題中的作用。

關(guān)鍵詞：函數(shù);函數(shù)思想;數(shù)列

數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合是高考的熱點，有時也是難點。函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的數(shù)學(xué)思想之一。所謂函數(shù)思想，就是用運(yùn)動變化的觀點，分析和研究實際問題或數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，通過函數(shù)的形式，把這種數(shù)量關(guān)系表示出來并加以研究（一般借助函數(shù)的性質(zhì)、圖象等），從而更快更好地解決問題。從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。從這個意義上看，它豐富了學(xué)生所學(xué)的函數(shù)概念范圍，有些數(shù)列的問題可用函數(shù)思想來解決。引導(dǎo)學(xué)生以函數(shù)的概念、圖像、相關(guān)性質(zhì)為紐帶，構(gòu)建函數(shù)與數(shù)列的橋梁，揭示兩者間的內(nèi)在聯(lián)系，能有效的解決數(shù)列問題。

圖象是函數(shù)特征的直觀呈現(xiàn)，借助函數(shù)圖象來解決數(shù)學(xué)問題（以形助數(shù)）是我們在解題中經(jīng)常采用的手段，也就是所謂的數(shù)形結(jié)合。這里將等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式看做關(guān)于n的函數(shù)，利用函數(shù)對應(yīng)的圖象關(guān)系來解決問題，簡化了運(yùn)算。

沒有給出數(shù)列的具體類型，可以通過數(shù)列的遞推關(guān)系，寫出數(shù)列的前幾項，用不完全歸納法找到數(shù)列的規(guī)律，從而解決問題。但是需要由較強(qiáng)的推理歸納能力。所以僅僅利用數(shù)列的知識不容易解決，而如果我們從函數(shù)視角去考慮，借助函數(shù)的周期性，對數(shù)列會有一個新的更清晰認(rèn)識。

數(shù)列的遞推關(guān)系，也蘊(yùn)含著函數(shù)本質(zhì)。本題是轉(zhuǎn)化為函數(shù)表示，變量是正整數(shù)集，比一般的實數(shù)集更簡單。因此找到函數(shù)的周期性，在大大簡化了解題過程的同時，很好地培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力。

例3、判斷數(shù)列的單調(diào)性。

點撥：構(gòu)造，顯然，顯然在是增函數(shù)，所以數(shù)列是遞增函數(shù)。

這里將通項公式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形式，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性來確定數(shù)列的單調(diào)性，符合數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的這一規(guī)定，在這里是一種演繹推理。函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性既有聯(lián)系又有區(qū)別，也就是說如果數(shù)列所對應(yīng)的函數(shù)單調(diào)則該數(shù)列一定單調(diào)，但反之如果數(shù)列單調(diào)，所對應(yīng)的函數(shù)不一定單調(diào)，關(guān)鍵的原因在于數(shù)列是一個定義域在正整數(shù)集N+（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的特殊函數(shù)，是一個離散的函數(shù)，在圖像上表示的一些離散的點。

在教學(xué)過程中提倡學(xué)生學(xué)會積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方法。學(xué)會構(gòu)建函數(shù)，使用數(shù)學(xué)的函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題是一個重點，也是一個難點，體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的體驗、思考與參與，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。在構(gòu)建函數(shù)之后，往往需要利用函數(shù)的概念和性質(zhì)來解決問題，而函數(shù)的基本性質(zhì)包括了奇偶性、單調(diào)性、周期性，最值性零點等等，畫出函數(shù)圖像采用數(shù)學(xué)結(jié)合的方法解決問題。因此在數(shù)列教學(xué)過程中滲透函數(shù)思想，要結(jié)合已知特征進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，這樣不僅可以進(jìn)一步鞏固之前學(xué)習(xí)過的函數(shù)知識，融會貫通，而且可以進(jìn)一步拓寬學(xué)生解決數(shù)列問題的視野。

法二、直接考慮數(shù)列本身的結(jié)構(gòu)特征。構(gòu)造二次函數(shù)，把看成函數(shù)，它的定義域是，作為遞增數(shù)列，對應(yīng)的函數(shù)必然為遞增函數(shù)，而且單調(diào)增區(qū)間為，此時拋物線的對稱軸為，因為函數(shù)f（x）為離散函數(shù)，要函數(shù)單調(diào)遞增，只需考慮動軸與已知區(qū)間的位置。從對應(yīng)圖像上看，對稱軸在的左側(cè)可以（如圖），作為孤立的點，此時B點比A點高。于是，得λ>-3。

這幾個例題的分析與解析，可以看出數(shù)列作為離散函數(shù)的典型，在高中數(shù)學(xué)中具有重要位置。借助函數(shù)來解決數(shù)列的最值問題，恒成立問題等，由于方法多、技巧性強(qiáng)，難度比較大。因此在數(shù)列的具體教學(xué)過程中，要重視函數(shù)思想的滲透，將函數(shù)的概念、圖象、函數(shù)性質(zhì)等融入數(shù)列的教學(xué)過程中，在數(shù)列知識與函數(shù)知識的交匯融合中，使學(xué)生的知識脈絡(luò)不斷優(yōu)化與完善，進(jìn)一步鞏固函數(shù)知識和數(shù)列知識，同時也能使學(xué)生的思維能力得以發(fā)展與提高。在教學(xué)過程中，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫?，讓學(xué)生在情境中體會知識的形成過程，在感悟的過程中深刻領(lǐng)會當(dāng)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，深刻理解用函數(shù)思想解決數(shù)列問題的本質(zhì)。如果學(xué)生理解并掌握之后，往往能誘發(fā)知識的遷移，使學(xué)生產(chǎn)生舉一反三、融會貫通的解決各種數(shù)列問題，提升學(xué)生的邏輯運(yùn)算和推理能力，從而迅速有效的解決問題。