淺談“十字交叉相乘法”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的巧用

羅玉萍

摘要：十字交叉相乘法是一種簡(jiǎn)單、通用、有效的運(yùn)算方法。運(yùn)用十字交叉相乘法可以幫助學(xué)生化難為易、提高運(yùn)算能力;它可以幫助學(xué)生快速準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。它既方便了教師教又方便了學(xué)生學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)上獲得成就感，激發(fā)學(xué)生興趣，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)成績(jī)。

關(guān)鍵詞：十字交叉;交叉相乘;簡(jiǎn)單;巧用;有效

正文：十字交叉相乘法是數(shù)學(xué)運(yùn)算和資料分析中經(jīng)常用到的一種重要的解題方法。它在初中數(shù)理化乃至高中數(shù)理化中都有比較廣泛的應(yīng)用，而在初中階段的數(shù)學(xué)教材上，關(guān)于分解因式的內(nèi)容篇幅較少，用十字相乘法進(jìn)行分解因式的內(nèi)容在現(xiàn)行的教材中已經(jīng)找不到。然而，讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用十字相乘法進(jìn)行因式分解，在多項(xiàng)式乘法中的巧用（僅限于兩項(xiàng)乘兩項(xiàng)），解二元一次方程時(shí)的巧用，用交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）求函數(shù)解析式時(shí)的巧用，解二次函數(shù)最大利潤(rùn)問(wèn)題時(shí)的巧用，既能開拓學(xué)生的思維，也能讓學(xué)生在解數(shù)學(xué)題時(shí)帶來(lái)便利。也同樣可以使許多數(shù)學(xué)問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，在方便教的同時(shí)又使學(xué)生易學(xué)易記。從而，讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)上的成就感，激發(fā)學(xué)生興趣、提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)成績(jī)。

一、“十字交叉相乘法”在多項(xiàng)式乘法中的巧用（僅限于兩項(xiàng)乘兩項(xiàng)）

當(dāng)進(jìn)行多項(xiàng)式乘法（兩項(xiàng)相乘）時(shí)，可以巧用十字交叉相乘法。使計(jì)算快速、簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確。

例：計(jì)算（x+5）（x+2）

分析：用十字交叉相乘法表示為

因?yàn)槭肿筮呄喑说脁2（即為二次項(xiàng)），十字右邊相乘得10（即為常數(shù)項(xiàng)），交叉相乘又相加得7x （即為一次項(xiàng)）。

所以原式= x2+7x+10

練習(xí)1：計(jì)算（a+3）（a-4）

分析：用十字交叉相乘法表示為

因?yàn)槭肿筮呄喑说胊2（即為二次項(xiàng)），十字右邊相乘得-12（即為常數(shù)項(xiàng)），交叉相乘又相加得-a（即為一次項(xiàng)）。

所以原式= a2-a-12

二、“十字交叉相乘法”在記憶平方差和完全平方公式中的巧用。

很多學(xué)生，特別是成績(jī)?cè)谥邢碌钠椒讲罟胶屯耆椒焦接洸焕?，或記不全或混淆，要進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)就可以用十字交叉相乘法進(jìn)行快速的推導(dǎo)。

例如：記憶平方差公式時(shí)（a+b）（a-b）

用十字交叉相乘法表示為

得到a2+ab-ab-b2

整理后得到：（a+b）（a-b）= a2 -b2即為平方差公式

記憶完全平方公式（a+b）2 ????????（a-b）2

整理得 a2+ab+ab+b2 ?????整理得a2-ab-ab+b2

=a2+2ab+b2 ?????????=a2-2ab+b2

這樣學(xué)生就輕松的把這三個(gè)公式記熟，記牢了。

三、“十字交叉相乘法”在解二元一次方程時(shí)的巧用

例如： 解方程 2 x2-x-6=0

分析： 用十字交叉相乘法表示方程左邊為

所以左邊分解因式得：（2x+3）（x-2）=0

解得 ?X1= ???x2=2

練習(xí)1：解方程 x2-5x+6=0

分析：用十字交叉相乘法表示方程左邊為

左邊分解因式得：（x-3）（x-2）=0 解得：X1=3 ??x2=2

四、“十字交叉相乘法”在解二次函數(shù)最大利潤(rùn)問(wèn)題時(shí)的巧用。

例題：為了落實(shí)國(guó)務(wù)院副總理李克強(qiáng)同志到恩施考察時(shí)的指示精神，最近，州委州政府又出臺(tái)了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加。某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為20元/千克。市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量w（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）有如下關(guān)系：w=-2x+80.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為y（元）。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。 （2）當(dāng)銷售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ （3）如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不得高于28元/千克，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？

解：（1）依據(jù)題意有y=w（x﹣20）=（x﹣20）（﹣2x+80）

因?yàn)椋▁-20）（-2x+80） 可以用十字交叉相乘法表示為

所以y=-2x2+120x-1600，自變量x的取值范圍是20≤x≤40。

（2）∵y=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，

∴當(dāng)x=30時(shí)，y有最大值200.

故當(dāng)銷售價(jià)定為30元/千克時(shí)，每天可獲最大銷售利潤(rùn)200元;

（3）當(dāng)y=150時(shí)，可得方程﹣2x2+120x﹣1600=150，

整理得x2﹣60x+875=0

因?yàn)榉匠痰淖筮厁2﹣60x+875用十字交叉相乘法表示為

所以有（x-25）（x-35）=0 解得 ?X1=25 ?x2=35

答：略。

以上是我多年來(lái)“十字交叉相乘法”在教學(xué)中的巧用，愿與各位朋友共同分享，希望能在教育教學(xué)中給得到一定的幫助。筆者認(rèn)為在不影響計(jì)算精度的前提下， 既能開拓學(xué)生的思維，又能迅速解決兩數(shù)相乘的復(fù)雜性問(wèn)題，還可以提高計(jì)算的效率，從而可以很大程度節(jié)約計(jì)算時(shí)間。使學(xué)生易學(xué)易記，讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)上的成就感，大大激發(fā)學(xué)生的興趣、提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)成績(jī)。

參考文獻(xiàn)：

[1]多年的教學(xué)筆記。

[2]初中七年級(jí)到九年級(jí)的6冊(cè)課本。