平衡觀下問(wèn)題導(dǎo)向的數(shù)學(xué)概念課

摘要： 學(xué)生在學(xué)習(xí)新概念時(shí)會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知沖突，通過(guò)同化和順應(yīng)可尋求沖突的解決，達(dá)到平衡狀態(tài).問(wèn)題能提供引發(fā)認(rèn)知沖突的環(huán)境，問(wèn)題導(dǎo)向讓學(xué)生在互動(dòng)中尋求平衡，促進(jìn)概念的學(xué)習(xí)、建構(gòu)與掌握.

關(guān)鍵詞： 平衡觀;概念課;問(wèn)題導(dǎo)向;反思

概念學(xué)習(xí)是知識(shí)學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn)[1：227]，搞好概念教學(xué)是傳授知識(shí)的首要條件，對(duì)于學(xué)生知識(shí)的掌握、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善、思維能力的培養(yǎng)和認(rèn)知發(fā)展都具有重要意義.現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論圍繞著數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究在心理發(fā)展規(guī)律、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、能力培養(yǎng)、教學(xué)方法等方面已取得許多成果[2].在目前概念教學(xué)的同化模式基礎(chǔ)上，本文試引入順應(yīng)，在問(wèn)題導(dǎo)向下實(shí)現(xiàn)同化和順應(yīng)的融合、平衡，尋求數(shù)學(xué)概念教學(xué)的突破.

1?數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映.它是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，是判斷和推理的起點(diǎn).數(shù)學(xué)概念課的基本要求是“理解、掌握、運(yùn)用”.在對(duì)概念本質(zhì)和概念獲得的認(rèn)識(shí)，以及實(shí)證研究的基礎(chǔ)上，發(fā)展出了概念形成模式、概念同化模式、問(wèn)題引申模式、坦尼森模式等概念教學(xué)模式[1：238-246].其中概念同化模式以其簡(jiǎn)潔、有效的優(yōu)點(diǎn)成為學(xué)生概念教學(xué)的最基本模式[3，4].

概念教學(xué)的上述模式各有優(yōu)點(diǎn)，但也都存在明顯的缺點(diǎn).僅以概念同化模式為例，其缺點(diǎn)歸納起來(lái)有如下幾點(diǎn)：

首先，概念同化模式遵循“先行組織者→定義概念→強(qiáng)化概念→概念應(yīng)用→形成概念域（系）”操作路線，建立在皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論和奧蘇貝爾的認(rèn)知同化學(xué)習(xí)理論之上.皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論總體上屬于結(jié)構(gòu)主義的，認(rèn)為發(fā)展是以一種固定不變的模式進(jìn)行的，對(duì)于行為的重視相對(duì)較少.而且，皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者個(gè)人的作用而輕視環(huán)境的影響[5].而奧蘇貝爾的認(rèn)知同化學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)是圖式理論和有意義接受學(xué)習(xí)，沒(méi)有關(guān)注學(xué)生何時(shí)運(yùn)用其知識(shí)，因而這種學(xué)習(xí)下的知識(shí)是靜態(tài)的、孤立的.認(rèn)知同化學(xué)習(xí)理論早已不被認(rèn)為是前沿的[6：97-124].

其次，概念同化模式重概念的邏輯結(jié)構(gòu)、輕概念的內(nèi)涵挖掘.數(shù)學(xué)概念具有“對(duì)象”和“過(guò)程”的雙重性，而在概念同化模式下，數(shù)學(xué)概念僅作為邏輯分析的對(duì)象存在，被剝?nèi)チ似溥^(guò)程性存在，因而缺少了對(duì)數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)背景、數(shù)學(xué)抽象和形成過(guò)程、形式表述與符號(hào)化過(guò)程的關(guān)注，成為一個(gè)突兀的、干癟的、規(guī)定式的、被動(dòng)接受的存在.

再次，單一的同化方式，不足以構(gòu)建動(dòng)態(tài)的心理認(rèn)知結(jié)構(gòu).皮亞杰認(rèn)為，人的智力的本質(zhì)是一種最高形式的適應(yīng).人們?cè)谕ㄟ^(guò)圖式對(duì)客體信息進(jìn)行建構(gòu)的過(guò)程中，需要利用同化、順應(yīng)及其相互滲透和作用來(lái)構(gòu)建知識(shí)，達(dá)到平衡.

此外，概念同化模式匹配于采用概念、定義+定（公）理、法則的論述方式的公理化體系下的數(shù)學(xué)教材，雖然這種模式有教學(xué)效率高、課堂容量大的優(yōu)點(diǎn)，但是也存在一些積弊，比如：學(xué)生對(duì)于概念的理解流于表面，忽視了對(duì)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力的培養(yǎng)，忽視了學(xué)生個(gè)體學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、創(chuàng)造性[3-4].

2?平衡觀下問(wèn)題導(dǎo)向的數(shù)學(xué)概念課

2.1?平衡觀

皮亞杰認(rèn)為，認(rèn)知發(fā)展依賴于四個(gè)因素——生物性成熟、有關(guān)物理環(huán)境的經(jīng)驗(yàn)、有關(guān)社會(huì)環(huán)境的經(jīng)驗(yàn)、平衡.前三個(gè)因素的作用效果依賴于第四個(gè)因素：平衡.平衡是指在認(rèn)知結(jié)構(gòu)和環(huán)境之間生成一種最佳適應(yīng)狀態(tài)的生物驅(qū)力（Duncan，1995），它是認(rèn)知發(fā)展中的核心因素和動(dòng)機(jī)力量，它將另外三個(gè)因素的作用協(xié)調(diào)起來(lái)，使內(nèi)部心理結(jié)構(gòu)與外部環(huán)境現(xiàn)實(shí)相互一致.

平衡是一種內(nèi)在的、器質(zhì)性的屬性.這樣，只有存在不平衡或認(rèn)知沖突時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)認(rèn)知發(fā)展.因此，發(fā)生一個(gè)在兒童的內(nèi)在結(jié)構(gòu)（圖式）上產(chǎn)生干擾的事件，能使兒童的觀念與他所觀察到的事實(shí)無(wú)法匹配，平衡便通過(guò)同化和順應(yīng)來(lái)尋求這種沖突的解決.

同化是指對(duì)外部現(xiàn)實(shí)與已經(jīng)存在的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相適應(yīng)的過(guò)程.當(dāng)我們進(jìn)行解釋、分析、表達(dá)時(shí)，我們對(duì)現(xiàn)實(shí)的特征進(jìn)行改變，使之適應(yīng)我們的認(rèn)知結(jié)構(gòu).順應(yīng)是指改變內(nèi)部結(jié)構(gòu)，使之與外部現(xiàn)實(shí)相一致的過(guò)程.當(dāng)我們調(diào)整觀念來(lái)理解現(xiàn)實(shí)的時(shí)候，我們就在進(jìn)行著順應(yīng).同化和順應(yīng)是相輔相成的過(guò)程：當(dāng)現(xiàn)實(shí)被同化時(shí)，結(jié)構(gòu)得以順應(yīng).

皮亞杰認(rèn)為，教師應(yīng)該著力于組織環(huán)境引起認(rèn)知沖突，當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)知沖突時(shí)，它們采用同化和順應(yīng)的過(guò)程來(lái)建構(gòu)或者改變其內(nèi)部結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)便因此發(fā)生了，此時(shí)，信息被學(xué)生理解（同化），結(jié)構(gòu)發(fā)生改變（順應(yīng)）.這樣，平衡過(guò)程成功地解決了認(rèn)知沖突[5：228-233].

皮亞杰主張認(rèn)知發(fā)展是不能夠被教的，但它可以被加速，因此，平衡觀對(duì)教育的啟示：

1.教師的教學(xué)應(yīng)該適應(yīng)于班級(jí)中不同認(rèn)知水平的學(xué)生.

2.教師應(yīng)該通過(guò)創(chuàng)設(shè)豐富的環(huán)境，調(diào)動(dòng)和保持學(xué)生的主動(dòng)性，使之主動(dòng)探索，親身經(jīng)歷實(shí)際活動(dòng)，主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí).

3.教師應(yīng)該制造認(rèn)知矛盾.當(dāng)輸入的環(huán)境信息與學(xué)生的圖式不相匹配時(shí)，才有可能出現(xiàn)發(fā)展;當(dāng)學(xué)生在解決問(wèn)題中得到錯(cuò)誤答案時(shí)，也能產(chǎn)生認(rèn)知矛盾;當(dāng)教師對(duì)錯(cuò)誤答案反饋時(shí)，能夠促成失衡的狀態(tài).

4.教師應(yīng)該提供社會(huì)互動(dòng)的機(jī)會(huì).社會(huì)環(huán)境是認(rèn)知發(fā)展的關(guān)鍵資源，教師須設(shè)計(jì)一些能提供社會(huì)互動(dòng)的互動(dòng)，學(xué)生在互動(dòng)中學(xué)習(xí)具有不同觀點(diǎn)的他人能幫助他去自我中心化.

綜上，如何提供一種引起認(rèn)知沖突（不平衡）的環(huán)境，讓學(xué)生在互動(dòng)中尋求平衡、促進(jìn)學(xué)習(xí)和發(fā)展，是促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的關(guān)鍵.

2.2?問(wèn)題導(dǎo)向

馬克思指出：“主要的困難不是答案，而是問(wèn)題”.于教學(xué)而言，問(wèn)題應(yīng)該成為課堂的核心[7].問(wèn)題教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生思考、培養(yǎng)學(xué)生探究和創(chuàng)新能力、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).問(wèn)題導(dǎo)向，就是以解決問(wèn)題為方向.堅(jiān)持問(wèn)題導(dǎo)向是重要的方法論.

問(wèn)題導(dǎo)向的教學(xué)，是指在教師的備、教、輔等諸教學(xué)環(huán)節(jié)和學(xué)生的學(xué)習(xí)諸環(huán)節(jié)中，以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、剖析問(wèn)題、解決問(wèn)題作為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，以問(wèn)題發(fā)展、問(wèn)題探究、問(wèn)題驗(yàn)證（Edens，2000）為主要活動(dòng)形式，所進(jìn)行的基于問(wèn)題的教與學(xué).它建立在理性主義、認(rèn)知心理學(xué)、建構(gòu)主義、情境學(xué)習(xí)理論基礎(chǔ)之上，目的指向于構(gòu)建寬厚而靈活的基礎(chǔ)知識(shí)體系、發(fā)展有效的問(wèn)題解決技能、發(fā)展自主學(xué)習(xí)和終生學(xué)習(xí)的技能、成為有效的合作者、并培養(yǎng)學(xué)習(xí)的內(nèi)部動(dòng)機(jī).其特點(diǎn)是認(rèn)知技巧和知識(shí)并重、學(xué)習(xí)者中心、基于真實(shí)情景、以問(wèn)題為核心.

問(wèn)題導(dǎo)向教學(xué)的關(guān)鍵在于問(wèn)題的確定.問(wèn)題必須是結(jié)構(gòu)不良的、能夠自由探索的、有價(jià)值的、能測(cè)量學(xué)生進(jìn)步的、符合教學(xué)法規(guī)律的.問(wèn)題的設(shè)計(jì)須遵循四個(gè)原則：

1.問(wèn)題能引出與所學(xué)領(lǐng)域相關(guān)的概念原理.

2.問(wèn)題是結(jié)構(gòu)不良的、開(kāi)放的、真實(shí)的.

3.問(wèn)題是能激發(fā)學(xué)生的動(dòng)機(jī).

4.好的問(wèn)題能隨問(wèn)題的解決而自然地提供給學(xué)生反饋、評(píng)價(jià)、預(yù)測(cè)、判斷[8].

2.3?平衡觀下問(wèn)題導(dǎo)向的數(shù)學(xué)概念課

平衡觀下問(wèn)題導(dǎo)向的數(shù)學(xué)概念課由四個(gè)部分構(gòu)成：教師帶著問(wèn)題備課、學(xué)生帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)、師生以問(wèn)題為中心的互動(dòng)、師生對(duì)照問(wèn)題的評(píng)價(jià)與反思.教師備課圍繞“哪些是需要同化的，哪些是需要順應(yīng)的，如何引起認(rèn)知沖突，如何促進(jìn)平衡產(chǎn)生”進(jìn)行課堂教學(xué)預(yù)設(shè);學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中圍繞著教師提出的問(wèn)題展開(kāi)閱讀、思考、交流與討論，并在師生、生生互動(dòng)中產(chǎn)生新的問(wèn)題;師生在問(wèn)題的解決過(guò)程中達(dá)成概念的學(xué)習(xí)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重構(gòu)以及情感、態(tài)度與價(jià)值認(rèn)知的形成.

3?課例與評(píng)析

筆者所在學(xué)校正在進(jìn)行“問(wèn)題導(dǎo)向教學(xué)法”研究，專家指導(dǎo)組在平衡觀的指導(dǎo)下以問(wèn)題導(dǎo)向貫穿備課、上課、反思的全過(guò)程，推出了一節(jié)示范課，授課教材選自人教版高中必修4§2.4.1“平面向量的數(shù)量積”，這是一節(jié)概念課，授課時(shí)數(shù)為1課時(shí)，授課對(duì)象是高一學(xué)生.

備課環(huán)節(jié)圍繞著問(wèn)題“本節(jié)課哪些是需要同化或順應(yīng)的概念？如何組織平衡過(guò)程？”展開(kāi)，最后確定采用同化策略處理的對(duì)象是向量的數(shù)量積、數(shù)量積的基本性質(zhì)、數(shù)量積的幾何意義、數(shù)量積的3條性質(zhì)，采用順應(yīng)策略處理的對(duì)象是數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律.引發(fā)認(rèn)知沖突的基本手段是提出問(wèn)題，讓學(xué)生帶著問(wèn)題去閱讀課本、交流討論，然后在師生的互動(dòng)中尋求平衡，達(dá)成概念的精致過(guò)程，最后是正反例強(qiáng)化、概念應(yīng)用、課堂總結(jié)深化，完成圖式的形成.整節(jié)課的教學(xué)流程為“概念引入→概念獲得→概念運(yùn)用→算律探究→理解掌握→反思提高”.

3.1?功與向量的數(shù)量積的概念

“功”是向量的數(shù)量積的物理背景，因此從“功”這一學(xué)生熟悉的概念出發(fā)提煉和抽象出向量的數(shù)量積概念，有助于新概念的同化.為此，提出下面的問(wèn)題：

問(wèn)題1： 物理中經(jīng)常需要計(jì)算力對(duì)物體所做的功.功的計(jì)算公式是怎樣的？請(qǐng)用圖表示出來(lái).

問(wèn)題2： 功的決定量有幾個(gè)？有人講是3個(gè)：;有人講是2個(gè)：，你認(rèn)為呢？

問(wèn)題3： 你能比較一下向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量的線性運(yùn)算的異同嗎？

評(píng)析： “功”是力在空間上的積累.問(wèn)題1引導(dǎo)學(xué)生考察“功”這個(gè)概念，順此可以引出定義向量的數(shù)量積的需要.要求學(xué)生畫出力對(duì)物體所做的功的示意圖，可以為“向量”的出場(chǎng)作出自然的鋪墊.對(duì)照著示意圖，認(rèn)為功的決定量是3個(gè)的同學(xué)，自然得到向量的數(shù)量積定義的右側(cè)“”;注意到力與位移的夾角是由力與位移所決定的，所以從向量的角度出發(fā)，就會(huì)認(rèn)為功的決定量是2個(gè)，這些同學(xué)會(huì)更容易理解和接受向量的數(shù)量積定義的左側(cè)“”.問(wèn)題2的兩種觀點(diǎn)會(huì)引發(fā)認(rèn)知沖突.向量的數(shù)量積跟向量的線性運(yùn)算都具有明顯的物理意義和幾何意義，不同之處在于它們的運(yùn)算結(jié)果，一個(gè)是數(shù)量，一個(gè)是向量.問(wèn)題3能強(qiáng)化對(duì)于向量的數(shù)量積概念的理解.在此基礎(chǔ)上講解例題1，完成概念的初步建立，并及時(shí)練習(xí)鞏固.

3.2?數(shù)量積的基本性質(zhì)

問(wèn)題4： 如何證明“探究1”欄目的3個(gè)問(wèn)題？并考察是否成立？

評(píng)析：對(duì)于問(wèn)題4的回答，實(shí)質(zhì)上是剖析概念的結(jié)構(gòu)，揭示其內(nèi)涵，辨析其外延，充分利用已有的觀念同化新概念.在此基礎(chǔ)上講解例題4，應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì).

3.3?數(shù)量積的運(yùn)算律

問(wèn)題5： 如何證明“探究2”欄目的3個(gè)問(wèn)題？

問(wèn)題6： 結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，考察是否成立？這說(shuō)明了什么？

評(píng)析：向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律、（實(shí)數(shù)）結(jié)合律，但是不滿足消去律（問(wèn)題6），這就要求學(xué)生調(diào)整觀念來(lái)理解，這時(shí)順應(yīng)就產(chǎn)生了，學(xué)生的內(nèi)部認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以重構(gòu).在此基礎(chǔ)上講解例題2、3，應(yīng)用數(shù)量積的運(yùn)算律.

3.4?數(shù)量積的應(yīng)用

關(guān)于數(shù)量積的應(yīng)用主要是通過(guò)例題1～4來(lái)實(shí)現(xiàn)的，已調(diào)整和分散至以上3個(gè)環(huán)節(jié)中，目的是及時(shí)鞏固和掌握相關(guān)知識(shí).

3.5?反思與提高

問(wèn)題7： 為什么學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積概念？這一概念有什么用？研究過(guò)程是怎樣的？對(duì)今后學(xué)習(xí)有何指導(dǎo)意義？

評(píng)析：課堂小結(jié)是課堂教學(xué)的重要組成部分，它不僅應(yīng)該服務(wù)于課堂教學(xué)目標(biāo)，簡(jiǎn)明地回顧整節(jié)課的內(nèi)容，概括要點(diǎn)，理清思路，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)（網(wǎng)絡(luò)）圖，還應(yīng)該服務(wù)于課堂教學(xué)整體，要升華知識(shí)與方法，發(fā)展智能[11].問(wèn)題7具有啟發(fā)性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力、批判性思維能力、培養(yǎng)學(xué)生的思維方式[12].

4?反思

平衡觀下問(wèn)題導(dǎo)向的數(shù)學(xué)概念課是一種為適應(yīng)創(chuàng)新人才培養(yǎng)形勢(shì)、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)而作出的一種概念教學(xué)嘗試.實(shí)際實(shí)施過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)如下問(wèn)題，需要進(jìn)一步研究與思考：

1.問(wèn)題導(dǎo)向的課堂需要教師有高超的課堂觀察、駕馭和把控能力，需要教師注重交流、互動(dòng)，在動(dòng)輒四、五十人的班上如何落實(shí)好這些，對(duì)教師是一個(gè)不小的挑戰(zhàn). 此外，還需要深入的認(rèn)知心理學(xué)知識(shí)和學(xué)科教學(xué)知識(shí)，以確定同化、順應(yīng)的對(duì)象及平衡策略.這些都需要教師積極轉(zhuǎn)變觀念、提升知識(shí)素養(yǎng)、提高M(jìn)PCK（數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)）的應(yīng)用能力.

2. 學(xué)生在這種教學(xué)模式下面臨著一連串需要他去解決的問(wèn)題，這些問(wèn)題常常是超出他個(gè)人能力范圍的，或者至少是需要很大努力才能解決的，因此有可能引起他的畏難情緒.而且，學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效果，很大程度上取決于其當(dāng)時(shí)的情緒和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，以及課堂參與程度.如何在有限的時(shí)間內(nèi)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生有效參與，如何實(shí)現(xiàn)師生、生生的良性互動(dòng)，對(duì)于教師和學(xué)生都是不小的挑戰(zhàn).

3. 教與學(xué)的方式轉(zhuǎn)變后，教師必須及時(shí)更新課堂評(píng)價(jià)方式，以更好地反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)成果;學(xué)校需要提供立體的、多元的、主體化學(xué)習(xí)資源，以滿足學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探索的需要.

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廣東省深圳中學(xué)?廣東 深圳?張紅兵