基于核心素養(yǎng)的函數(shù)模型思想方法在中考中的應(yīng)用

廣省省梅州市梅縣外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(514799) 葉峰華

1 初中階段課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)函數(shù)模型思想方法的相關(guān)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 版)》[1](以下簡(jiǎn)稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”)中明確提出“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”,并詮釋道“在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí),重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn),使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程.”

課程標(biāo)準(zhǔn)明確了“函數(shù)模型思想方法”是重要的數(shù)學(xué)模型思想方法之一,其在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中居于重要地位[2].同時(shí),課程標(biāo)準(zhǔn)也強(qiáng)調(diào)了“當(dāng)代數(shù)學(xué)教育應(yīng)更加注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn).”由此可見(jiàn),在當(dāng)前中考中,必定會(huì)更加重視學(xué)生函數(shù)知識(shí)應(yīng)用能力的考查,具體體現(xiàn)為:題材貼近學(xué)生生活實(shí)際,以函數(shù)模型為考查目標(biāo)的應(yīng)用題型,必將成為考查的熱點(diǎn)之一.因此,在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想,對(duì)初中階段出現(xiàn)的函數(shù)模型進(jìn)行梳理總結(jié),對(duì)提高學(xué)生函數(shù)知識(shí)應(yīng)用能力和解題能力是很有幫助的[3].

2 函數(shù)模型思想方法在中考解題中的應(yīng)用

初中階段出現(xiàn)的函數(shù)模型主要有以下三種:一次函數(shù)模型、反比例函數(shù)模型、二次函數(shù)模型.

運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟可用上面的流程圖來(lái)體現(xiàn)[4]:

2.1 一次函數(shù)模型

一次函數(shù)模型屬于“函數(shù)模型”領(lǐng)域中較為基礎(chǔ)的模型,與該函數(shù)模型相關(guān)的題型,往往通過(guò)設(shè)置與投入產(chǎn)出、工作效率、銷售等相關(guān)情境,再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì),特別是其單調(diào)性進(jìn)行考查.另外,一次函數(shù)模型的應(yīng)用題往往會(huì)涉及不等式的運(yùn)算.

例1(2013? 南寧) 在一條筆直的公路上有A、B兩地,甲騎自行車從A地到B地;乙騎自行車從B地到A地,到達(dá)A地后立即按原路返回,如圖是甲、乙兩人離B地的距離y(km)與行駛時(shí)x(h)之間的函數(shù)圖象,根據(jù)圖象解答以下問(wèn)題:

(1)寫(xiě)出A、B兩地之間的距離;

(2)求出點(diǎn)M的坐標(biāo),并解釋該點(diǎn)坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義;

(3)若兩人之間保持的距離不超過(guò)3km 時(shí),能夠用無(wú)線對(duì)講機(jī)保持聯(lián)系,請(qǐng)直接寫(xiě)出甲、乙兩人能夠用無(wú)線對(duì)講機(jī)保持聯(lián)系時(shí)x的取值范圍.

分析(1)x=0 時(shí)甲的值即為A,B兩地的距離;

(2)根據(jù)圖象求出對(duì)應(yīng)直線的解析式,通過(guò)聯(lián)立二元一次方程組求出點(diǎn)M的坐標(biāo),并結(jié)合題意說(shuō)明其實(shí)際意義;

(3)分相遇前和相遇后兩種情況求出x的值,再求出最后兩人都到達(dá)B地前兩人相距3 千米的時(shí)間,然后寫(xiě)出x取值范圍即可.

解答(1)x=0 時(shí),甲距離B地30km,所以,A、B兩地的距離為30km.

(2)設(shè)甲直線解析式為y1=k1x+b1(k1≠0),乙從B地到A地過(guò)程中(0x1),其直線解析式為y2=k2x,(k2≠0).

將(2,0),(0,30) 代入y1=k1x+b1(k1≠0) 得:解得:∴y1=?15x+30,將(1,30)代入y2=k2x得:30=k2×1,解得:k2=30,∴y2=30x,聯(lián)立解得:所

以,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,表示小時(shí)后兩車相遇,此時(shí)距離B地20km.

(3)由(2)知v甲=30km/h,v乙=15km/h,設(shè)x小時(shí)后,甲、乙兩人相距3km.

①若是相遇前,則15x+30x=30?3,解得:,

②若是相遇后,則15x+30x=30+3,解得:,

③若是到達(dá)B地前,則15x?30(x?1)=3,解得:,所以,當(dāng)或時(shí),甲、乙兩人能夠用無(wú)線對(duì)講機(jī)保持聯(lián)系.

評(píng)價(jià)本題考查了一次函數(shù)模型的應(yīng)用.解題過(guò)程中,需充分發(fā)掘題目信息,利用路程、速度、時(shí)間三者之間的等量關(guān)系,列出方程.解答此題的難點(diǎn)在于,第(3)問(wèn)要進(jìn)行分情況討論,分類過(guò)程中思維要嚴(yán)謹(jǐn),做到不重不漏.

2.2 反比例函數(shù)模型

反比例函數(shù)模型是初中階段的一種重要函數(shù)模型,囿于反比例函數(shù)性質(zhì)較為簡(jiǎn)單,因此反比例函數(shù)模型考查較少.在解題過(guò)程中主要利用兩個(gè)變量之間的相互關(guān)系進(jìn)行解答,涉及的應(yīng)用背景有濃度、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題等.

例2(2010?達(dá)州)近年來(lái),我國(guó)煤礦安全事故頻頻發(fā)生,其中危害最大的是瓦斯,其主要成分是CO.在一次礦難事件的調(diào)查中發(fā)現(xiàn):從零時(shí)起,井內(nèi)空氣中CO的濃度達(dá)到4mg/L,此后濃度呈直線型增加,在第7 小時(shí)達(dá)到最高值46mg/L,發(fā)生爆炸;爆炸后,空氣中的CO 濃度與時(shí)間成反比例關(guān)系.如圖所示,根據(jù)題中相關(guān)信息回答下列問(wèn)題:

(1)求爆炸前后空氣中CO 濃度y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出相應(yīng)的自變量取值范圍;

(2)當(dāng)空氣中的CO 濃度達(dá)到34mg/L 時(shí),井下3km 的礦工接到自動(dòng)報(bào)警信號(hào),這時(shí)他們至少要以多少km/h 的速度撤離才能在爆炸前逃生?

(3)礦工只有在空氣中的CO 濃度降到4mg/L 及以下時(shí),才能回到礦井開(kāi)展生產(chǎn)自救,求礦工至少在爆炸后多少小時(shí)才能夠下井?

分析(1)根據(jù)圖象可以設(shè)當(dāng)0x7 時(shí)函數(shù)關(guān)系式為:y=k1x+b(k1≠0),再由圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,4),(7,46)求出函數(shù)解析式為:y=6x+4,從而求得自變量x的取值范圍.再由圖象知,當(dāng)x7 時(shí),函數(shù)解析式為:其過(guò)點(diǎn)(7,46),求出k2=322,再由函數(shù)解析式求得自變量x的取值范圍.

(2)結(jié)合以上關(guān)系式,當(dāng)y=34 時(shí),由y=6x+4 得x=5,從而求出撤離的最長(zhǎng)時(shí)間,再由求出最小速度.

解答(1)因?yàn)楸ㄇ皾舛瘸手本€型增加,所以可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=k1x+b(k1≠0),由圖象知y=k1x+b(k1≠0)過(guò)點(diǎn)(0,4),(7,46),則有:解得:則y=6x+4,0x7.

∵爆炸后濃度成反比例下降,∴可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為由圖象知過(guò)點(diǎn)(7,46),∴,∴k2=322,∴.

(2)當(dāng)y=34 時(shí),由y=6x+4 得,6x+4=34,解得:x=5,∴撤離的最長(zhǎng)時(shí)間為7?5=2(小時(shí)).∴撤離的最小速度為3÷2=1.5(km/h).

(3)當(dāng)y=4 時(shí),由得,x=80.5,80.5?7=73.5(小時(shí)).∴礦工至少在爆炸后73.5 小時(shí)才能下井.

評(píng)價(jià)解答該題,首先要根據(jù)圖像信息,確定函數(shù)類型,再用待定系數(shù)法求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式,然后根據(jù)題目信息求得對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,從而解得結(jié)果.

2.3 二次函數(shù)模型

二次函數(shù)模型是初中乃至整個(gè)中學(xué)階段最重要的函數(shù)模型之一,因二次函數(shù)性質(zhì)豐富,所以其有著廣泛的應(yīng)用,應(yīng)用題背景涉及經(jīng)濟(jì)、工效,面積問(wèn)題等等,一般會(huì)結(jié)合應(yīng)用情景,考查二次函數(shù)最值、單調(diào)性等性質(zhì).

例3(2015?梅州)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,得到某種運(yùn)動(dòng)服每月的銷量與售價(jià)的相關(guān)信息如下表:

售價(jià)(元/件)100 110 120 130···月銷量(件)200 180 160 140···

已知該運(yùn)動(dòng)服的進(jìn)價(jià)為每件60 元,設(shè)售價(jià)為x元.

(1)請(qǐng)用含x的式子表示:①銷售該運(yùn)動(dòng)服每件的利潤(rùn)是____元②月銷量是____件;(直接寫(xiě)出結(jié)果)

(2)設(shè)銷售該運(yùn)動(dòng)服的月利潤(rùn)為y元,那么售價(jià)為多少時(shí),當(dāng)月的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?

分析(1)售價(jià)x減去進(jìn)價(jià)60 即為利潤(rùn);觀察表格,根據(jù)售價(jià)與月銷量相互關(guān)系可知,它們之間為一次函數(shù)關(guān)系.所以設(shè)銷量為z件,則z與x的關(guān)系設(shè)為:z=kx+b,將給出的數(shù)據(jù)中任意兩組代入關(guān)系式中得:解得:所以銷售量為:(?2x+400)件.

(2)用銷量乘以每件的利潤(rùn)即為每月的利潤(rùn),再將得出的二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式,即可得出本月的最大利潤(rùn)及其所對(duì)應(yīng)的售價(jià).

解答(1)①(x?60); ②(?2x+400).

(2)由題意可得該運(yùn)動(dòng)服的月利潤(rùn)y為:y=(x?60)(?2x+400)=?2x2+ 520x?24000=?2(x?130)2+ 9800.因?yàn)閥=?2(x?130)2+ 9800 圖像是開(kāi)口向下的拋物線,所以當(dāng)x=130 時(shí),y取得最大值,ymax=?2×(130?130)2+9800.故售價(jià)為每件130 元時(shí),當(dāng)月利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為9800 元.

評(píng)價(jià)本題綜合考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,第(1)問(wèn)和第(2)問(wèn)具有承接關(guān)系,做題時(shí)必須細(xì)心,一步一個(gè)腳印避免犯錯(cuò).另外,要熟悉“總利潤(rùn)=單個(gè)利潤(rùn)×銷量”這個(gè)公式,從而得到月利潤(rùn)的正確表達(dá)式,再利用二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)求得最大利潤(rùn).

例4(2011?四調(diào)武漢)杰瑞公司成立之初投資1500 萬(wàn)元購(gòu)買新生產(chǎn)線生產(chǎn)新產(chǎn)品,此外,生產(chǎn)每件該產(chǎn)品還需要成本60 元.按規(guī)定,該產(chǎn)品售價(jià)不得低于100 元/件且不得超過(guò)180 元/件,該產(chǎn)品銷售量y(萬(wàn)件)與產(chǎn)品售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出x的取值范圍;

(2)第一年公司是盈利還是虧損?求出當(dāng)盈利最大或者虧損最小時(shí)的產(chǎn)品售價(jià);

(3)在(2)的前提下,即在第一年盈利最大或者虧損最小時(shí),第二年公司重新確定產(chǎn)品售價(jià),能否使兩年共盈利達(dá)1340 萬(wàn)元?若能,求出第二年產(chǎn)品售價(jià);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),由圖表可得出函數(shù)關(guān)系式,x的取值范圍由圖可知:100x180;

(2)設(shè)公司第一年的盈利為W萬(wàn)元,根據(jù)“利潤(rùn)=銷售額?成本”,建立函數(shù)關(guān)系式:W=(x?60)y?1500,解出即可;

(3)由題意知,盈利總額=第二年的銷售利潤(rùn)?第一年的虧損,解出對(duì)應(yīng)的x值,根據(jù)第一問(wèn)100x180,取適合的值作為答案;

解答(1)設(shè)y=kx+b(k≠0),則由圖象知:解得:30,100x180

(2)設(shè)公司第一年獲利W萬(wàn)元,則

∴第一年公司虧損了,當(dāng)產(chǎn)品售價(jià)定為180 元/件時(shí),虧損最小,最小虧損為60 萬(wàn)元;

(3)若兩年共盈利1340 萬(wàn)元,因?yàn)榈谝荒晏潛p60 萬(wàn)元,第二年盈利的為則解得:x1=200,x2=160,∵100x180,∴x=160,即每件產(chǎn)品的定價(jià)定為160 元時(shí),公司兩年共盈利達(dá)1340 萬(wàn)元.

評(píng)價(jià)這道題綜合考查了一次函數(shù)模型和二次函數(shù)模型.此題比較綜合,難度較大.在解題過(guò)程中,首先要準(zhǔn)確求出函數(shù)解析式,其次要根據(jù)題意列出方程.在確定最值和求解過(guò)程中,要注意自變量取值范圍,從而對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍.

3 函數(shù)模型思想方法在初中階段的教學(xué)策略

學(xué)生在運(yùn)用函數(shù)模型思想方法解決應(yīng)用問(wèn)題的過(guò)程中,遇到的主要障礙是如何將實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行有效的“數(shù)學(xué)化”.佛萊登塔爾曾說(shuō)“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化”,在這里數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵是能否在問(wèn)題與數(shù)學(xué)之間建立對(duì)應(yīng)的必要聯(lián)系,即創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型,進(jìn)而利用函數(shù)相關(guān)的知識(shí)解決問(wèn)題.

一般而言,初中學(xué)生要理解、掌握、運(yùn)用函數(shù)模型思想方法,必須具備以下三個(gè)條件:

(1)具備完善的函數(shù)相關(guān)知識(shí);

(2)有良好的數(shù)學(xué)抽象能力;

(3)有較強(qiáng)的分析和問(wèn)題解決能力;

因此,教師在函數(shù)模型思想方法的教學(xué)中應(yīng)貫徹以下三個(gè)方面:

3.1 建立扎實(shí)的函數(shù)知識(shí)體系,為應(yīng)用函數(shù)模型做好知識(shí)儲(chǔ)備.

一切與函數(shù)模型相關(guān)的應(yīng)用題型,除了考查學(xué)生將題目信息“數(shù)學(xué)化”的能力之外,考查的內(nèi)核無(wú)外乎就是函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).因此,教師在教學(xué)中要提高學(xué)生的函數(shù)模型應(yīng)用能力,首先要幫助學(xué)生建立扎實(shí)的函數(shù)知識(shí)體系,為應(yīng)用函數(shù)模型做好知識(shí)儲(chǔ)備.

初中階段,函數(shù)模型一般只涉及三種:一次函數(shù)模型、反比例函數(shù)模型、二次函數(shù)模型.教師在教學(xué)中,一定要讓學(xué)生明晰各個(gè)函數(shù)模型的特點(diǎn),為應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ):

函數(shù)模型主要考查點(diǎn)一次函數(shù)模型y=kx+b(k≠0)①求函數(shù)解析式;②斜率(k)對(duì)函數(shù)單調(diào)性影響;③截距(b)對(duì)應(yīng)了截點(diǎn)(0,b);反比例函數(shù)模型y=kx(k≠0)①求函數(shù)解析式;②常數(shù)k對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響;二次函數(shù)模型y=ax2+bx+c(a≠0)①求函數(shù)解析式;②系數(shù)a和對(duì)稱軸“直線x=?b2a”對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響;③求“最值”的相關(guān)知識(shí);

3.2 善于創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,提高學(xué)生函數(shù)應(yīng)用意識(shí)[5]

課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出了“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”這一具體要求.貫徹?cái)?shù)學(xué)建模思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的有效途徑.教師在課堂中落實(shí)函數(shù)模型思想方法的教學(xué)就必須將教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的生活實(shí)際緊密聯(lián)系起來(lái),善于根據(jù)所學(xué)知識(shí)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引導(dǎo)學(xué)生利用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,從而逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力.

例如,在講解“二次函數(shù)”這一內(nèi)容過(guò)程中,教師若能結(jié)合課本內(nèi)容,建立與銷售盈利問(wèn)題相關(guān)的現(xiàn)實(shí)情境,讓學(xué)生做“小老板”,依據(jù)情境借助“二次函數(shù)”知識(shí)去思考如何實(shí)現(xiàn)最大盈利,從而設(shè)計(jì)出最佳營(yíng)銷方案,讓學(xué)生在知識(shí)應(yīng)用中獲得樂(lè)趣.這樣既增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,又潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

3.3 建立函數(shù)模型解題思維,提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力

知識(shí)的積累是函數(shù)模型及其他數(shù)學(xué)模型方法運(yùn)用的前提.在函數(shù)模型教學(xué)中,教師應(yīng)有意識(shí)地發(fā)揮示范作用,在增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的同時(shí),還應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握函數(shù)模型思想方法應(yīng)用過(guò)程中的“建模—>用?！?解模”程序和步驟,培養(yǎng)學(xué)生形成良好的函數(shù)模型解題思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}習(xí)慣.此外,能否對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)抽象是運(yùn)用函數(shù)模型思想方法成敗的關(guān)鍵.因此,教師在教學(xué)中,一定要學(xué)會(huì)對(duì)同一種基本函數(shù)模型進(jìn)行多種變式訓(xùn)練,讓學(xué)生在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)解題方法的本質(zhì),從而增強(qiáng)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象能力.