撥云見日現(xiàn)本質(zhì),固本清源議教學(xué)
——以2019年全國高考數(shù)學(xué)III卷第22題為例

廣東省東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)(523120) 姚清 段偉

在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)觀的指導(dǎo)下,2019年的高考數(shù)學(xué)試題一改往年穩(wěn)定保守的風(fēng)格,結(jié)構(gòu)煥然一新,形式獨(dú)特新穎,其中全國III 第22 題以“云”形展示,圖象簡潔優(yōu)美,考點(diǎn)清晰明朗,但是很多考生卻感覺云霧迷蒙,不知所云.這反映出過度訓(xùn)練的教學(xué)模式的弊端.本文通過對問題的解答與分析,探究素養(yǎng)導(dǎo)向下高考題目的特點(diǎn),挖掘題目蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),發(fā)展科學(xué)思維,反思數(shù)學(xué)教學(xué).

1 原題呈現(xiàn)

2019年全國高考數(shù)學(xué)III 卷第22 題:如圖,在極坐標(biāo)系Ox中,弧所在圓的圓心分別是曲線M1是弧,曲線M2是弧,曲線M3是弧.

(1)分別寫出M1,M2,M3的極坐標(biāo)方程;

(2)曲線M由M1,M2,M3構(gòu)成,若點(diǎn)P在M上,且,求P的極坐標(biāo).

例題圖

圖1

2 解法分析

本文只討論第(1)問:

方法1求出圓的直角坐標(biāo)方程,再利用互化公式化為極坐標(biāo)方程;

方法2如圖1所示,在直角坐標(biāo)系下圓E的方程為:(x?1)2+y2=1,先利用圓E和圓F關(guān)于直線y=x對稱,圓E和圓G關(guān)于直線y軸對稱,求出圓F和圓G的直角坐標(biāo)方程,再利用互化公式化為極坐標(biāo)方程;

方法3如圖2所示,在極坐標(biāo)系中利用正弦定理建立方程,尋找滿足點(diǎn)的等量關(guān)系:

在Rt?AOP中,|OP|=|OA|cos ∠AOP,即ρ=2 cosθ,

在?BOP中,由正弦定理,得即ρ=2 sinθ,

在Rt?DOP中,|OP|=|OD|cos ∠DOP,即ρ=?2 cosθ;

醫(yī)藥B2C平臺(tái)顧客忠誠度模型，包括顧客、商品、平臺(tái)網(wǎng)站三個(gè)方面的因素會(huì)對醫(yī)藥B2C平臺(tái)顧客忠誠度產(chǎn)生正向的影響。如圖1所示。

圖2

圖3

方法4如圖3所示,在極坐標(biāo)系中利用余弦定理建立方程,尋找滿足點(diǎn)P(ρ,θ)的等量關(guān)系:

在?OPE中,|OE|2+|OP|2?2|OE||OP|cos ∠POE=|PE|2,即ρ=2 cosθ;

在?OPF中,|OF|2+|OP|2?2|OF||OP|cos ∠POF=|PF|2,即ρ=2 sinθ;

在?OPG中,|OG|2+|OP|2?2|OG||OP|cos ∠POG=|PG|2,即ρ=?2 cosθ;

方法5如圖4所示,圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=2 cosθ.在極坐標(biāo)系中,圓F可以由圓E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,對于圓F上任意一點(diǎn)Q(ρ,θ)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)必在圓E上,即化簡,得ρ=2 sinθ;

圖4

圖5

如圖5所示,在極坐標(biāo)系中,圓G可以由圓E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π得到,對于圓G上任意一點(diǎn)R(ρ,θ)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π的對應(yīng)點(diǎn)P(ρ,θ?π)必在圓E上,即ρ=2 cos(θ?π),化簡,得ρ=?2 cosθ.

方法6如圖6所示,圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=2 cosθ.在極坐標(biāo)系中,圓F和圓E關(guān)于直線對稱,對于圓F上任意一點(diǎn)Q(ρ,θ)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)必在圓E上,即化簡,得ρ=2 sinθ;

圖6

圖7

如圖7所示,在極坐標(biāo)系中,圓G和圓E關(guān)于直線對稱,對于圓G上任意一點(diǎn)R(ρ,θ)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)P(ρ,π?θ)必在圓E上,即ρ=2 cos(π?θ),化簡,得ρ=?2 cosθ.

3 試題分析

該題目在極坐標(biāo)系下求解“云”的方程,圖形美觀,形式新穎,注重科學(xué)思維的考查,著力考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為直觀想象,邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.

相對于能力立意下的高考題目,該題目素養(yǎng)導(dǎo)向明顯.從題目結(jié)構(gòu)看,“云”形圖案由三段圓弧構(gòu)成,必須建立文字、符號(hào)及圖形的良好關(guān)系,才能準(zhǔn)確把握圓弧所在圓的相對位置關(guān)系,而且需要將圓形補(bǔ)充完整,才能便于發(fā)掘三角形的邊角關(guān)系從而建立方程,這體現(xiàn)試題條件并不良好,需要較強(qiáng)的閱讀素養(yǎng).“云”形圖案簡潔美觀,是數(shù)學(xué)和美育的完美結(jié)合,讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)的溫度,凸顯了命題形式的人文性.三個(gè)圓的方程的求解既可以單獨(dú)完成,也可以通過彼此之間的旋轉(zhuǎn)變換或者翻折變換得到,這體現(xiàn)了考查內(nèi)容的新穎性和解決方法的多樣性.

從問題解決過程來看,可以通過直觀想象直接得到曲線的方程,但是必須應(yīng)用數(shù)據(jù)推導(dǎo)才是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?這體現(xiàn)科學(xué)思維的客觀性;對于連接點(diǎn)A,B,C,D,必須通過驗(yàn)證來說明滿足曲線與方程關(guān)系的完備性,這體現(xiàn)了科學(xué)思維的精確性;問題的解決方法多樣,思路開闊,多種方法之間既可以建立聯(lián)系,也是彼此驗(yàn)證,體現(xiàn)了科學(xué)思維的可檢驗(yàn)性;通過對解法的反思和優(yōu)化可以歸納出一般圓的極坐標(biāo)方程求法,這體現(xiàn)了科學(xué)思維的普適性.

4 反思教學(xué)

4.1 挖掘教材

善于挖掘教材內(nèi)容是素養(yǎng)提升的出發(fā)點(diǎn).

“科學(xué)思維是對客觀的事物本質(zhì)的屬性以及潛在的規(guī)律和相互之間的關(guān)系的一種認(rèn)知方式,這種方式必須建立在實(shí)際的事實(shí)之上去構(gòu)建相應(yīng)的模型……”.教材本身就是科學(xué)思維最好的體現(xiàn).教材主線突出,結(jié)構(gòu)優(yōu)化,更重要的是教材凸顯教學(xué)內(nèi)容的邏輯性和思想性,是“雙基”的最優(yōu)載體,是落實(shí)“四基”的有力工具.核心素養(yǎng)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)不但注重知識(shí)的覆蓋和獲得,而且強(qiáng)調(diào)知識(shí)的遷移,高考題目也在繼續(xù)加強(qiáng)在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題的趨勢,但是在實(shí)際的教學(xué)中,很難通過一節(jié)課或者一個(gè)知識(shí)點(diǎn)就把數(shù)學(xué)的本質(zhì)表述清楚,所以必須挖掘教材,建立知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系,這樣學(xué)生得到的才不會(huì)是碎片化的知識(shí),才能全面的,聯(lián)系的認(rèn)知和思考問題.以構(gòu)成“云”形圖案的三個(gè)圓為例,教材分別在例題和課后練習(xí)中都進(jìn)行了展示,教師在平常的教學(xué)中不但要將這些問題吃準(zhǔn)講透,還應(yīng)該挖掘和建立相關(guān)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系.以直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間的關(guān)系而言,不僅僅只是幾個(gè)互化公式而已,公式背后是以三角為紐帶而建立的邏輯關(guān)系,如圖8、圖9所示,抓住這一點(diǎn)就能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)聯(lián)系的看待數(shù)學(xué)的問題.所以,挖掘教材,用好教材是一舉多得的教學(xué)措施.

圖8

特別的,

圖9

4.2 反思過程

勤于反思教學(xué)過程是素養(yǎng)提升的生長點(diǎn).

具有對自己的教學(xué)狀態(tài)進(jìn)行審視的意識(shí)和習(xí)慣,善于總結(jié)經(jīng)驗(yàn),能夠根據(jù)不同的情境和實(shí)際,選擇或者調(diào)整教學(xué)策略和方法,是素養(yǎng)導(dǎo)向下的教師必須面對和提高的.引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程是否合理,是否有足夠的概念,定理,方法支持;反思思路是否嚴(yán)謹(jǐn),有無疏漏;反思方法是否可以更加優(yōu)化,能否普遍適用.通過反思對教學(xué)進(jìn)一步的深化,整理和提高的過程既有助于學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng),也有助于學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

以方法3 為例,三個(gè)方程的求解過程都需要借助圓的內(nèi)接三角形,但是顯然在直角三角形中的邊角關(guān)系更加簡單.一般的,對于過極點(diǎn)的任意圓,都可以利用

圖10

圖11

其內(nèi)接直角三角形求解極坐標(biāo)方程,如圖10所示,如果圓心極坐標(biāo)為M(ρ0,θ0),半徑為r,那么圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2rcos(θ?θ0).方法4 通過余弦定理建立方程,緊扣圓的定義,所以即便圓不過極點(diǎn),方程依然可以建立,而且方法更具有一般性,如圖11所示,如果圓心極坐標(biāo)為M(ρ0,θ0),半徑為r,圓的極坐標(biāo)方程為通過對方法5 和方法6 的比較,既可以讓學(xué)生體會(huì)用變換方法化繁為簡,化難為易,這是一種用“聯(lián)系的觀點(diǎn)”來看待問題的方式;也可以讓學(xué)生體會(huì)雖然同一圖形在不同變換下結(jié)果一致,但是圖形上的同一個(gè)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)變換和翻折變換下的結(jié)果卻是不同的,這種關(guān)系不可謂不奇妙,這實(shí)際上是集合中元素?zé)o序性的充分體現(xiàn),可以抓住機(jī)會(huì)就曲線、方程、集合的關(guān)系再次進(jìn)行梳理和辨析,如圖12所示.

圖12

4.3 提煉思想

精于提煉思想方法是素養(yǎng)提升的落腳點(diǎn).

數(shù)學(xué)基于具象的知識(shí),也依賴于概念的表達(dá),交流,發(fā)展,但是數(shù)學(xué)真正的營養(yǎng)是數(shù)學(xué)結(jié)論背后的思想.抓住了數(shù)學(xué)的思想就是抓住了數(shù)學(xué)的本質(zhì),提煉數(shù)學(xué)思想的過程也是促進(jìn)智慧生成,能力提高的過程.所以在教學(xué)活動(dòng)中,要注重抓住機(jī)遇及時(shí)總結(jié)和提煉思想方法.數(shù)學(xué)的基本思想相對宏觀,反映數(shù)學(xué)的本質(zhì),常見表現(xiàn)形式為抽象、推理和模型;數(shù)學(xué)方法相對具體,并具有程序性、步驟性、路徑性和可操作性,比如歸納法、類比法、枚舉法等等.通過對數(shù)學(xué)方法的介紹,滲透,總結(jié),學(xué)生才能在潛移默化間具備數(shù)學(xué)的思想、能力、精神,也才能夠在解決實(shí)際問題時(shí)抓住重點(diǎn),清晰思辨,準(zhǔn)確推理.

以上題為例,極坐標(biāo)系下方程的求解可以借鑒直角坐標(biāo)的方法步驟,引導(dǎo)學(xué)生通過回顧f(x,y)=0 與曲線的關(guān)系來理解f(ρ,θ)=0 和曲線的關(guān)系,這實(shí)際上是類比思想的體現(xiàn).通過三個(gè)特殊圓的方程的求解與比較,可以尋找統(tǒng)一的方法,以便求解一般圓的方程,這是歸納思想的體現(xiàn).以圓E的方程為載體,通過旋轉(zhuǎn)變換或翻折變換來求解另外兩個(gè)圓的方程,這是化歸思想的體現(xiàn).

“從特殊到特殊”,“從特殊到一般”所得到的結(jié)論是或然的,但是或然性的結(jié)論是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的根本,也可以說只有類比和歸納才有“預(yù)測”和“探究”的創(chuàng)新功能.通過類比思想和歸納思想的提煉,不但可以讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)形成和發(fā)展的過程,而且有助于學(xué)生創(chuàng)新能力的提高.素養(yǎng)導(dǎo)向下的新高考既注重科學(xué)思維的考查,也注重探究能力的考查,這實(shí)際上是凸顯新高考對數(shù)學(xué)基本思想考查的更高要求.

總之,核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的中學(xué)數(shù)學(xué)教育對教師有更高的要求,我們在教學(xué)中必須更加注重知識(shí)的形成、發(fā)展和聯(lián)系,更加注重方法的總結(jié)和思想的提煉,更加注重形成科學(xué)的方法和科學(xué)的態(tài)度,才能應(yīng)對新時(shí)代人才培養(yǎng)的教育需求.