借助多樣化解題策略讓有效復(fù)習(xí)自然生成

浙江省杭州市杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(310023) 顧彩梅

中考復(fù)習(xí)階段,教師都將組織大量的習(xí)題教學(xué)來(lái)復(fù)習(xí)、鞏固、延伸所學(xué)的知識(shí).以習(xí)題為核心的復(fù)習(xí)課,教師很容易為題量所固化,把復(fù)習(xí)課簡(jiǎn)單的理解為一系列題型和方法的展示.教師忙于講解、學(xué)生疲于應(yīng)對(duì)的教學(xué)模式,使得學(xué)生在課堂中的主體地位缺失,學(xué)生思維品質(zhì)得不到發(fā)展,教學(xué)效果欠佳.古語(yǔ):“山不在高有仙則名;水不在深,有龍則靈.”筆者不禁思考,如何做到“題不在多,有法則靈”呢?本文以九年級(jí)中考第一輪復(fù)習(xí)階段“特殊三角形”部分內(nèi)容作為教學(xué)嘗試,教師組織、引導(dǎo)學(xué)生始終圍繞一道經(jīng)典例題展開(kāi)教學(xué),借助多樣化的解題策略幫助學(xué)生全面、深刻、延續(xù)性地復(fù)習(xí)了該部分內(nèi)容,收到了較好的教學(xué)效果.現(xiàn)將該節(jié)課學(xué)生呈現(xiàn)的主要解題策略和所對(duì)應(yīng)的復(fù)習(xí)要點(diǎn)以及筆者的教學(xué)反思呈現(xiàn)如下.

1 試題呈現(xiàn)

如圖1所示,在?ABC中,∠BAC=90?,AB=AC,現(xiàn)在這個(gè)三角形內(nèi)取一點(diǎn)D,使∠ABD=30?,BD=BA,求證:AD=CD.

備戰(zhàn)中考的第一輪復(fù)習(xí)應(yīng)側(cè)重基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí),本題學(xué)生可以運(yùn)用特殊三角形的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.筆者精心挑選的這道例題,起點(diǎn)低、入口寬,學(xué)生從不同角度去探究,解法層出不窮,針對(duì)每種解法,筆者給出點(diǎn)評(píng).

圖1

圖2

圖3

2 多樣化解題策略及作用

2.1 構(gòu)造含30?角的直角三角形

作AE⊥BD于E,作DF⊥AC于F(如圖2).Rt?ABE中,∠ABE=30?,所以,利用兩組對(duì)應(yīng)角及共邊AD相等,證得?EAD?FAD,所以,即DF垂直平分AC,所以AD=CD.

點(diǎn)評(píng)直角三角形是平面幾何部分重要的幾何圖形,是解決許多復(fù)雜問(wèn)題的有力工具.“直角三角形中,30?角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半.”是直角三角形的一個(gè)非常重要的性質(zhì)定理.從已知條件“∠ABD=30?”出發(fā),構(gòu)造直角三角形來(lái)解決問(wèn)題,是對(duì)上述定理的有效復(fù)習(xí).

2.2 構(gòu)造等邊三角形

以AC為邊向外作正?ACE,連結(jié)ED(如圖3).經(jīng)過(guò)計(jì)算可以證得∠BAD=∠EAD=75?,AB=AE,所以?BAD?EAD,∠AED=∠ABD=30?,則ED為正?ACE的角平分線(xiàn),由“三線(xiàn)合一”定理得ED垂直平分AC,所以AD=CD.

圖4-1

圖4-2

圖4-3

點(diǎn)評(píng)在各地中考試卷中常出現(xiàn)含“30?角、60?角”、“等邊三角形”等已知條件的幾何問(wèn)題,對(duì)這類(lèi)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造“等邊三角形”解決問(wèn)題屢試不爽.如圖4-1 至4-3 是學(xué)生在同伴的啟發(fā)下,產(chǎn)生的不同的輔助線(xiàn)的添加方法.“一題多解”可以促進(jìn)發(fā)散性思維的生成,增強(qiáng)學(xué)生解決問(wèn)題的自信心,而“多解歸一”起到收斂思維和統(tǒng)一數(shù)學(xué)思想方法的重要作用.

2.3 構(gòu)造正方形

以AB、AC為邊作正方形BACE,連結(jié)ED(如圖5).因?yàn)椤螦BD=30?,所以∠DBE=60?.因?yàn)锽E=AB=BD,所以BE=BD,?BDE為等邊三角形.由∠DEB=60?可得∠DEC=30?,利用兩組對(duì)應(yīng)邊及夾角相等,可證得兩個(gè)三角形全等,即?ABD?CED,所以AD=DC.

點(diǎn)評(píng)此解題思路是由等腰直角?ABC與正方形的關(guān)聯(lián)性想到補(bǔ)全正方形,再借用等邊三角形的過(guò)渡落實(shí)到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等.我們常把“四邊形”問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“三角形”問(wèn)題來(lái)解決,很多時(shí)候?qū)⑷切螁?wèn)題置身于四邊形中也會(huì)有意想不到的收獲.此處既強(qiáng)化了三角形與四邊形互通互融的特有屬性,也強(qiáng)調(diào)了“轉(zhuǎn)換化歸”的思想在解題教學(xué)中的重要性.

2.4 直接構(gòu)造全等三角形

在線(xiàn)段BC上截取BE=AD(如圖6),由AC=BD,∠CAD=∠DBE=15?,可證得?CAD?DBE,于是DE=DC.不妨設(shè)∠BDE=∠ACD=x,根據(jù)DE=CD,得到∠DEC=∠DCE,所以15?+x=45??x,解 得x=15?,所以∠ACD=15?=∠CAD,所以AD=DC.

點(diǎn)評(píng)“全等三角形”是我們研究平行四邊形、特殊平行四邊形的基礎(chǔ),因此在探究過(guò)程中,立足已知信息,挖掘隱含條件,構(gòu)建全等三角形的思考過(guò)程非常重要.引入未知數(shù)建立方程,通過(guò)計(jì)算解決角度相等問(wèn)題,體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”和“方程”的重要思想.

圖5

圖6

圖7

2.5 構(gòu)造相似三角形

根據(jù)已知條件我們可以推得∠CAD=∠DBC=15?,要證AD=DC,即證∠ACD=∠CAD=15?,所以要證∠DBC=∠ACD,繼而想到延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E(如圖7),下證明?EDC?ECB.在Rt?ABE中∠ABE=30?,不妨設(shè)AE=a得又因?yàn)樗郧摇螪EC=∠CEB,所以?EDC?ECB.

點(diǎn)評(píng)相似是全等的延伸,全等是相似的特殊情況,兩種方法有著必然的聯(lián)系.“分析法”是課本介紹的一種非常重要的證明方法,它從要證明的結(jié)論出發(fā),結(jié)合已知條件,推理出一個(gè)顯而易見(jiàn)的結(jié)論,進(jìn)而問(wèn)題得證.這種“執(zhí)果索因”的思維方式,特別有利于學(xué)生思維能力的提升.

2.6 直接計(jì)算,建立坐標(biāo)系

分別以線(xiàn)段AB、AC所在的直線(xiàn)建立坐標(biāo)軸(如圖8),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E,不妨設(shè)B(2a,0),C(0,2a),因?yàn)椤螪BE=30?,則所以CD2=所以A D=DC.

圖8

圖9

點(diǎn)評(píng)把幾何問(wèn)題放在坐標(biāo)系中解決,可以降低輔助線(xiàn)添加的難度.通過(guò)巧設(shè)坐標(biāo),常規(guī)計(jì)算來(lái)解決問(wèn)題,這是高中“解析幾何”思想的體現(xiàn).學(xué)生在初高中接受的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個(gè)拾級(jí)而上的有機(jī)整體,初中階段教師在平時(shí)的教學(xué)中有意識(shí)地滲透一些解析幾何的思想,這將會(huì)使得后面進(jìn)一步的學(xué)習(xí)水到渠成.

2.7 直接計(jì)算,利用三角函數(shù)

預(yù)備:Rt?ABC中,∠C=90?,∠A=15?,則sin 15?=.

作BE ⊥AD于E,DF ⊥BC于F(如圖9),不妨設(shè)AB=BD=4x,根據(jù)預(yù)備定理得DE=BD ·sin 15?=,則中,則Rt?CDF中由勾股定理計(jì)算得所以AD=CD.

點(diǎn)評(píng)15?或75?角的三角函數(shù)值是30?特殊角三角函數(shù)值的延伸,教師在平時(shí)的課堂教學(xué)中可以有所滲透但不作要求,學(xué)生能想到此法實(shí)屬意外.三角函數(shù)是三角形中邊角關(guān)系的橋梁,通過(guò)解含特殊角的直角三角形來(lái)證明線(xiàn)段相等,也是一種不錯(cuò)的策略.

2.8 直接計(jì)算,利用正余弦定理

設(shè)AD=a,?ABD中用正弦定理得:,則.?ACD中用余弦定理得:CD=證得AD=DC.

點(diǎn)評(píng)正弦定理和余弦定理是三角形中體現(xiàn)邊角關(guān)系的重要定理,利用這兩個(gè)定理,可以不添加任何輔助線(xiàn),直接計(jì)算證得兩條線(xiàn)段的相等,方便快捷.

3 拓展延伸

原題在一般性情況下的結(jié)論.

我們解決問(wèn)題的目的是發(fā)現(xiàn)、提出新問(wèn)題.學(xué)生提出,原題中當(dāng)∠BAC=90?,必須要∠ABD=30?時(shí)才有AD=DC.如果∠BAC≠90?,對(duì)一般等腰?ABC內(nèi)部有一點(diǎn)D使得AB=AC=BD,那么∠ABD滿(mǎn)足怎樣的條件原結(jié)論才成立呢?經(jīng)過(guò)探索發(fā)現(xiàn),當(dāng)∠BAC=α和∠ABD=β,滿(mǎn)足關(guān)系式時(shí),原結(jié)論AD=DC始終成立.證明如下.

設(shè)AD=a,?BDA中由正弦定理得,則.若結(jié)論成立,則?ADC為等腰三角形,利用等腰三角形“三線(xiàn)合一”定理可求得底邊

又因?yàn)锳B=AC,所以得到,即,將等式化解后得到.

特別地,當(dāng)∠BAC=90?和∠ABD=30?時(shí),為本文討論的特殊情形.

4 教學(xué)反思

在習(xí)題教學(xué)的活動(dòng)中,合理利用多樣化解題策略,可以讓有效復(fù)習(xí)自然生成,主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:

4.1 以生為本,始于必然

面對(duì)一個(gè)新的問(wèn)題,不同學(xué)生所具備的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、分析解決問(wèn)題的能力是完全不同的,因此提倡解題策略多樣化顯得非常必要.以“題海戰(zhàn)術(shù)”為主的復(fù)習(xí)課,不能很好的發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的主體地位,挫傷了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.課堂教學(xué)不在于讓學(xué)生記住了多少知識(shí),而在于它是否能夠激起學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心和求知欲.文中學(xué)生給出的多樣化解法和對(duì)新問(wèn)題的研究,充分反映了他們強(qiáng)烈的探索精神和對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的熱愛(ài),體現(xiàn)了多樣化解題策略的利好之處.

4.2 以法串線(xiàn),落實(shí)目標(biāo)

習(xí)題千變?nèi)f化,但就轉(zhuǎn)換的思想而言,其實(shí)所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都是運(yùn)用所學(xué)過(guò)的知識(shí)加以解決的,問(wèn)題是如何將所學(xué)的知識(shí)以恰當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)給學(xué)生.本文將傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課中的“知識(shí)梳理”環(huán)節(jié)隱形于多樣化解題的過(guò)程中,由一個(gè)問(wèn)題出發(fā),以點(diǎn)帶面,通過(guò)不同解題策略的動(dòng)態(tài)生成,把許多的性質(zhì)定理串聯(lián)在一起,達(dá)到了復(fù)習(xí)課知識(shí)點(diǎn)回顧、梳理、整合的目的.本文涉及圖形與幾何部分主要定理不下10 個(gè),常規(guī)輔助線(xiàn)7 種,在解題中復(fù)習(xí),可謂“隨風(fēng)潛入夜,潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”.

4.3 精講一題,弄通一類(lèi)

本節(jié)課從一道題的多種解法探究出發(fā),收獲了“證明兩條線(xiàn)段相等”的常規(guī)方法,體會(huì)到“轉(zhuǎn)換化歸”、“數(shù)形結(jié)合”、“方程”等基本思想方法的重要性.解題是主要的教學(xué)活動(dòng),它貫穿在教師“教”和學(xué)生“學(xué)”的所有過(guò)程中.本文的做法可操作性強(qiáng),在習(xí)題教學(xué)中教師只要注重選擇合適的例題來(lái)引領(lǐng)復(fù)習(xí)方向,承載復(fù)習(xí)內(nèi)容,就可以激發(fā)學(xué)生多角度思考問(wèn)題,突破學(xué)生思維固化的局限,達(dá)到做一題會(huì)一類(lèi)的效果,以此提高復(fù)習(xí)課學(xué)習(xí)效率.

4.4 凸顯思維,培養(yǎng)創(chuàng)新

解決問(wèn)題的策略、方法和途徑是多種多樣的,《課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》強(qiáng)調(diào)了這種“多樣性”.多樣性解題策略促使學(xué)生從問(wèn)題的不同角度切入,有利于學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng),學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的主體性地位保障了.不同的解法充分展示了學(xué)生的個(gè)性,個(gè)性化的培養(yǎng)即創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng).創(chuàng)新意識(shí)不能靠教師教出來(lái),只能是學(xué)生在課堂上親身經(jīng)歷、不斷積累而形成,這將有利于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的逐步提升.