古建筑里的數(shù)學(xué)密碼

周江

建筑學(xué)中的幾何鼻祖

——矩形

幾何學(xué)的起源十分久遠(yuǎn)，而促進(jìn)幾何學(xué)產(chǎn)生的直接原因便是古人社會實(shí)踐中的土地測量及天文活動。在古埃及時(shí)期（公元前4000年），由于尼羅河水泛濫，每次泛濫后都要重新丈量土地，古人便稱之為“測地術(shù)”。由此便產(chǎn)生了關(guān)于幾何形體的概念及其度量方面的知識。如今的“幾何”一詞源于希臘語，本意就是指測量術(shù)。明末中國學(xué)者徐光啟譯為“幾何”并沿用至今。

《萬物的真是原理》中關(guān)于幾何學(xué)的插圖

長方形單體建筑結(jié)構(gòu)示意圖

自然界中常見的簡單幾何形狀是太陽、月亮、植物、果實(shí)等圓、球、圓柱形狀，幾乎找不到矩形和立方體的幾何形狀。而在建筑學(xué)中矩形可以不留縫隙地四方連續(xù)延展或者劃分，而立方體可以平穩(wěn)地堆壘架設(shè)。

自古以來，矩形就是建筑的基本樣式，因?yàn)槊恳粋€建筑都有長、寬和高。以中國古建筑為例，一座傳統(tǒng)的長方形建筑，在平面上有兩種尺度，即寬與深。其中長邊為寬，短邊為深。如一棟三間北房，它的東西方向?yàn)閷?，南北方向?yàn)樯睢?/p>

在以矩形為主要建筑形態(tài)的建筑中，都能體現(xiàn)出對美學(xué)及力學(xué)因素的追求。矩形和很多圖形一樣，都由單邊拼成，這樣做的好處便是利于劃分建筑格局，不容易造成建筑死角，視覺效果好。另外，矩形建筑墻都在梁下面，穩(wěn)定的框架結(jié)構(gòu)，明確的受力。在內(nèi)部空間的延展性方面，矩形房間有利于提高空間利用率，讓內(nèi)部空間比較容易布置，也更能顯出布局的合理性和節(jié)約性。

建筑學(xué)中的拱形始祖

——疊澀

芝加哥學(xué)派建筑師路易斯·沙利文曾經(jīng)說過：“拱是最富情緒的構(gòu)件。它充滿可能性及展望，并富有創(chuàng)造力?！敝襟w人安迪魯尼更是將拱形稱之為欲掉落的曲線之美。

古羅馬拜占庭的帆供

“拱”結(jié)構(gòu)建筑作為應(yīng)用較廣的建筑結(jié)構(gòu)之一，聞名中外的例子數(shù)不勝數(shù)。國外有柬埔寨吳哥窟的疊澀拱或假拱結(jié)構(gòu)、古羅馬拜占庭的帆拱建筑（也稱作割球殼）、伊斯坦布爾的圣索菲亞大教堂以及古羅馬時(shí)期的半圓拱、筒拱、十字拱、肋拱等各類拱形結(jié)構(gòu)。而在中國的歷史長河中，更有世界上現(xiàn)存最早、保存最好的巨大石拱橋——趙州安濟(jì)的趙州橋，除此以外，北京宛平的盧溝橋、江蘇蘇州城南的寶帶橋、江蘇無錫衛(wèi)東雙曲拱橋以及世界第一拱橋——重慶朝天門長江大橋。這些風(fēng)格迥異的拱形建筑共同組成了豐富多彩的建筑美學(xué)。

維也納哥特式沃蒂夫教堂

而在拱形建筑中，杰出的代表便是哥特式建筑，它整體風(fēng)格高聳削瘦，且?guī)Ъ夤?，表現(xiàn)了神秘、哀婉、崇高的強(qiáng)烈情感。而尖拱的最大特點(diǎn)是打破了半圓拱結(jié)構(gòu)的高度與跨度比例為F/L=1/2的唯一關(guān)系，而是將F/L=n調(diào)整為一種可變量的動態(tài)關(guān)系。也就是說半圓拱必須是n=1/2，而尖拱的n則可以是任意的數(shù)值。正是由于尖拱的n可以為任意的數(shù)值，且在實(shí)際建造中一般情況下n都要大于等于1/2，所以這種獨(dú)特的靈活性結(jié)構(gòu)才成就了哥特式建筑風(fēng)格的偉大復(fù)興。

疊澀拱結(jié)構(gòu)在人類早期的建筑建造中使用的較為普及。磚石、木材是建筑建造過程中常常使用的材料，而疊澀便是古人將這些建造材料從兩側(cè)四周層層堆疊外挑、縮進(jìn)跨出形成拱形的一種磚石、木結(jié)構(gòu)的建筑砌法。

疊澀拱技術(shù)在實(shí)際施工時(shí)，先要搭建臨時(shí)的木制支撐用的拱形?？?，而后使楔形磚石木等建材夾構(gòu)在一起，形成建造所需要的拱形空間，最后待定型后再進(jìn)行破拆移除。這種方法可以大大提高建造的使用跨度和維度，不光是可以建造各種圍合和大跨度的建筑，甚至還發(fā)展成可以建造多種交叉的拱形穹頂建筑和橋梁，極大地豐富了當(dāng)時(shí)的建筑形態(tài)，滿足了人們的不同使用需求。

最為典型的疊澀拱技術(shù)建筑，便是位于愛爾蘭東北部的紐格萊奇史前墓，至今已有超過5000年歷史。紐格萊墓室有三個凹室的空間，三個凹室之間用大約18米的通道相連接，整個墓室空間由97塊巨石作為基礎(chǔ)來支撐，墓室的頂部空間則是覆蓋了大約有20萬噸重的石材，用來支撐以密封完整的疊澀拱頂技術(shù)進(jìn)行搭建的墓室屋頂。

建筑學(xué)中的理性秩序

——數(shù)列

在人類的建筑發(fā)展歷史上，樓梯作用于空間及空間形式關(guān)系的意義是非常關(guān)鍵的。作為建筑構(gòu)件的一個重要環(huán)節(jié)，理性的秩序是樓梯中最顯著的象征因素，在建筑建造過程中起到了至關(guān)重要的作用。

樓梯，是數(shù)列在建筑中最普遍的運(yùn)用。假如樓房的每一個樓層（H）都為3.6米，每一層都有20級（即n=20），第一級與地面的高度為h1（即h1=160毫米），第二級與地面的高度為h2（即h2=320毫米）。第20級與地面的高度為h20（即h20=3600毫米），從h1到h20組成了n=20，公差=160毫米的等差數(shù)列，而踏步高度=公差=160毫米（即每一級的踏步高度都相等）。

愛爾蘭妞格萊奇史的墓

另外，根據(jù)人機(jī)工程學(xué)原理分析，每個人的腳長度在220～260毫米之間，為了讓人們走的更加舒適和安全，樓梯踏步寬度設(shè)計(jì)為290毫米是最合適的。而向上爬樓梯時(shí)，人們是要將腳抬高走路的，對于正常人來說，樓梯的坡度控制在30度左右是最適宜的，并且抬腳踏上高度為160毫米的樓梯不會感到吃力。同樣的原理，樓梯的橫向?qū)挾纫彩且紤]到人們的肩寬尺寸距離。正常人的肩寬為400毫米左右，那么樓梯的雙向?qū)挾仍O(shè)定為1200毫米就可避免互相碰撞。而樓梯上樓時(shí)候的轉(zhuǎn)角處（休息平臺）則需要更加寬敞的空間，這里的寬度一般是樓梯寬度的1.1～1.2倍，相當(dāng)于1400毫米。這些對于建筑構(gòu)件樓梯的搭建邏輯思考而得出來的結(jié)論，其實(shí)就是建筑設(shè)計(jì)中數(shù)學(xué)計(jì)算的感知與運(yùn)用的結(jié)果。

建筑學(xué)中的力量源泉——對稱

古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯講過：“美的線型和其他一切美的形體，都必須有對稱形式”?！皩ΨQ”被視為“和諧與美”的定義。它所表現(xiàn)出來的形式美法則是對于事物的等量等形的一種狀態(tài)。對稱利用直線將空間中心軸兩邊或者四邊分為相等的樣式，它們之間無論是距離還是質(zhì)量都等同，都是基于一個建筑結(jié)構(gòu)核心的布置，充分表達(dá)出建筑的力學(xué)傳遞與支撐原理的相互關(guān)系，這就是建筑與數(shù)學(xué)力學(xué)的藝術(shù)表現(xiàn)力的重要源泉。

數(shù)列在建筑中最普遍的運(yùn)用——樓梯

“對稱”之美是古今中外教堂、廟宇、宮殿、民居等各種建筑形式遵從的基本要求。在建筑中也常用對稱及高度來表示宗教意涵或是政治權(quán)力，體現(xiàn)出無所替代的建筑與數(shù)學(xué)交織的美感。

在中國傳統(tǒng)建筑中，對稱的屋梁、對稱的皇城以及對稱的四合院都運(yùn)用的非常普及。南北中軸、東西對稱儼然已經(jīng)成為中國自古以來在建筑地位構(gòu)建思想中的精神尊崇，形成了四面圍合的中正之美。這之間的建造布局隱喻著“尊卑有序，內(nèi)外有別”的“禮”教文化的傳統(tǒng)思想傳承，影響著國人周到、平和、太平的性格特征。

對稱建筑

對稱的北京故宮角樓

同時(shí)，“對稱”也是人們向往大自然生活的一種期盼和形式上的行為表現(xiàn)。在自然界中，無論是植物、動物，還是山水、天地都結(jié)成對稱格局，這就是對于大自然的最有機(jī)的仿生理念思想，在這樣的模仿中，人們得以與自然相得益彰、共生共存的感受到了生理和精神上的愉悅和陶冶。

建筑和數(shù)學(xué)都是不斷發(fā)展的領(lǐng)域。人們在研究利用過去思想理論的同時(shí)也在創(chuàng)造新的思想理論。隨著時(shí)代的發(fā)展，建筑結(jié)構(gòu)形態(tài)發(fā)生了巨大的變化，但相同的是從古至今的建筑中所飽含的數(shù)學(xué)元素，讓時(shí)代建筑散發(fā)出絢麗的藝術(shù)光輝。未來城市的發(fā)展，不僅僅依靠建筑藝術(shù)的裝點(diǎn)，更離不開數(shù)學(xué)之美的點(diǎn)綴。