2019年自主招生數(shù)學(xué)試題選解

丁利娟 謝廣喜

(江蘇省無(wú)錫市青山高級(jí)中學(xué)，214036) (江蘇省江南大學(xué)理學(xué)院，214122)

2020年初,教育部出臺(tái)文件緊急叫停各高校的自主招生考試, 更新為更高級(jí)的 “強(qiáng)基計(jì)劃 ”, 且每個(gè)省內(nèi)的綜合評(píng)價(jià)工作仍然存在. 對(duì)2020年即將迎來(lái)的各重點(diǎn)高校 “強(qiáng)基計(jì)劃” 或“綜合評(píng)價(jià)”考試，原來(lái)的自主招生考試試題仍有參考意義．本文篩選了一些去年的部分高校的自主招生數(shù)學(xué)試題，供參考.

一、以整數(shù)的基本性質(zhì)為背景

這類(lèi)問(wèn)題注重初等數(shù)論的基礎(chǔ)知識(shí),通常只要想到奇偶性分析(有時(shí)也可能模3分類(lèi)),知道質(zhì)數(shù)、合數(shù)最基本的概念,再結(jié)合一些高中數(shù)學(xué)知識(shí)(比如二項(xiàng)式定理),很多問(wèn)題就可以迎刃而解了.當(dāng)然,知道同余的概念會(huì)大大縮減我們解題的書(shū)寫(xiě)過(guò)程.

例1(2019年浙大自主招生題)已知p(n)為n次的整系數(shù)多項(xiàng)式,若p(0)，p(1)均為奇數(shù)，則( )

(A)p(n)無(wú)整數(shù)根

(B)p(n)可能有負(fù)整數(shù)根

(C)p(n)無(wú)解

(D)以上答案都不對(duì)

綜上,選A.

例2(2019年清華大學(xué)自主招生題)設(shè)a為4 4444 444各位數(shù)字之和,b為a各位數(shù)字之和,c為b各位數(shù)字之和,求c的值.

由4 444≡7(mod 9),可得4 4444 444≡74 444(mod 9)=(73)1 481·7≡1×7=7(mod 9),進(jìn)而有a≡b≡c=7(mod 9).

下證c≤12.

注意到4 444×3=lg1 0004 444

由1≤c≤12,結(jié)合c≡7(mod 9)，得c=7.

評(píng)注本題源自第17屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克試題.

二、以復(fù)數(shù)為背景

自主招生考試的復(fù)數(shù)問(wèn)題通常高于中學(xué)教材的要求，有一定的難度.

評(píng)注本題為復(fù)數(shù)模背景下夾逼法的運(yùn)用.無(wú)獨(dú)有偶,今年的北京大學(xué)自主招生有一道題的解題要害與本題非常相似,只是知識(shí)背景是實(shí)數(shù)而已.

三、以不等式為背景問(wèn)題

評(píng)注本題需用待定參數(shù)法,結(jié)合不等式取等號(hào)條件將y2按比例分拆開(kāi).

評(píng)注這道題其實(shí)是2011年清華等七校聯(lián)合招生“華約”試題.

四、以三角函數(shù)為背景

分析本題最常用的辦法是用正弦定理及和差化積求解,考慮到和差化積內(nèi)容超出高中考核要求,我們換一種思路,利用圖形,結(jié)合三角形面積公式求解.

解如圖1,記?ABC的內(nèi)切圓半徑為r,由海倫公式，有

五、以圓錐曲線概念為背景

例7(2019年浙江大學(xué)自主招生題)已知?ABC的頂點(diǎn)A(-p,0),B(p,0),其內(nèi)心在直線x=q上,且p>q>0,則頂點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)_____.

解利用內(nèi)心基本概念,易知頂點(diǎn)C的軌跡在雙曲線上,且該雙曲線兩焦點(diǎn)就是A(-p,0),B(p,0),即半焦距c=p,半實(shí)軸a=q,所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為

評(píng)注本題網(wǎng)上答案有誤.