高等數(shù)學(xué)中三重積分計(jì)算中“截面法”使用注意問(wèn)題

摘? 要：在高等數(shù)學(xué)三重積分的學(xué)習(xí)中會(huì)涉及到“方法的選擇”的問(wèn)題，如何正確選擇方法關(guān)系到能不能解答出題目以及計(jì)算量的繁簡(jiǎn)差異問(wèn)題，需要深入分析研究。本文通過(guò)對(duì)高等數(shù)學(xué)中三重積分方法中截面法的闡述，強(qiáng)調(diào)選擇截面法解題既要遵循一般的規(guī)律也要靈活處理。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);三重積分;截面法

高等數(shù)學(xué)三重積分的學(xué)習(xí)中會(huì)涉及到“方法的選擇”的問(wèn)題，這是解決三重積分首先要明晰的問(wèn)題，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，也是一個(gè)難點(diǎn)所在。首先要明確選擇哪種坐標(biāo)系，然后采用不同的方法解決，方法選擇不合適會(huì)導(dǎo)致不能夠解出答案，以及計(jì)算的難易不同。一般情況下有“截面法”和“投影法”兩種不同方法的選擇，雖然投影法用得比較多，但是在某些特殊情況下用“截面法”更能簡(jiǎn)化計(jì)算。如果題目滿足截面法的兩個(gè)條件，選擇截面法解題當(dāng)然沒(méi)有問(wèn)題，但是如果表面看起來(lái)并不滿足截面法的條件，也是可以采用截面法的，只是難度更大些而已，通過(guò)擴(kuò)展例題我們可以幫助學(xué)生對(duì)截面法的使用有一個(gè)更加全面的認(rèn)識(shí)。

一、三重積分的計(jì)算步驟：

（1）畫出積分域的圖形，知道邊界面的方程，從而明確出上下限;

（2）根據(jù)積分域特征及被積函數(shù)的特點(diǎn)，確定 是用切條法（投影法），還是用切片法（截面法）

（3）根據(jù)上述結(jié)果，化三重積分為累次積分并計(jì)算。

（4）一般情況下：投影法用得更多，某些特殊情況下截面法更簡(jiǎn)便。

（5）什么時(shí)候用“截面法”方便：;且截面為圓、橢圓、三角形、正方形等，面積容易求，但是并不絕對(duì)。

二、關(guān)于不絕對(duì)的說(shuō)明，就是按照符合“截面法”的兩個(gè)要求去使用截面法當(dāng)然沒(méi)有問(wèn)題，但是如果不具備“截面法”的兩個(gè)條件也是可以使用的，只是難度更大而已，下面舉例說(shuō)明。

分析：①作圖：W是上半球體，它在xy面上的投影區(qū)域D_xy是單位圓x²+y²≦ 1.② 選法：切片法（截面法），都可用。③定限

分析：截面法做題一般要符合2個(gè)要點(diǎn)（先二后一，不需要知道三個(gè)上下限）;

1.通過(guò)過(guò)z點(diǎn)去截面可得知截面的形狀;從而知道面積該怎么算（一定要把D_z 的方程求出來(lái)）;

2.知道z的取值范圍，才能知道單積分的上下限。

解：截面法：

當(dāng)0?z?1時(shí)，過(guò)（0，0，z）作平行于xOy面的平面，截得立體W的截面為圓。

分析：三重積分不一定非化為三重積分不可，也可以化為“先重后單”或者“先單后重”的形式來(lái)計(jì)算。

綜上：選擇投影法或者截面法既要遵循一般規(guī)律也要靈活應(yīng)用。通過(guò)例題的分析講解，讓學(xué)生明確靈活處理問(wèn)題的重要性，幫助學(xué)生解決選擇截面法這種方法的疑惑。

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作者簡(jiǎn)介：吳文前，成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院副教授，碩士。研究方向：數(shù)學(xué)教育。