對解析幾何問題常用思想方法的小結(jié)

王淵

[摘? 要] 解析幾何的相關(guān)知識是聯(lián)通代數(shù)和幾何的橋梁，為解決許多重要數(shù)學(xué)問題提供了新穎的視角和解決方案，解析幾何類問題往往能夠綜合考查學(xué)生的理解、轉(zhuǎn)化、聯(lián)想、歸納等重要數(shù)學(xué)能力，反映學(xué)生的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因此在各類模擬考試以及高考中占據(jù)了很大的分值. 解析幾何問題是一類對于學(xué)生來說較有難度且容易失分的題. 文章以一道具體的拋物線問題為例，對該類問題的常用解決方法做一個(gè)簡單的小結(jié).

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;最值與范圍問題;拋物線;函數(shù)思想

解析幾何的相關(guān)知識是聯(lián)通代數(shù)和幾何的橋梁，是高中數(shù)學(xué)知識模塊中不可或缺的重要部分，它從代數(shù)的視角解析幾何關(guān)系，也用幾何的形式反映了代數(shù)關(guān)系，為解決許多重要數(shù)學(xué)問題提供了新穎的視角和解決方案. 解析幾何類問題往往能夠綜合考查學(xué)生的理解、轉(zhuǎn)化、聯(lián)想、歸納等重要數(shù)學(xué)能力，反映學(xué)生的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因此在各類模擬考試以及高考中占據(jù)了很大的分值.解析幾何問題由于知識綜合性強(qiáng)、方法靈活度高以及計(jì)算量大，是一類對于學(xué)生來說較有難度且容易失分的題，學(xué)生在平時(shí)練習(xí)中暴露出來的問題（除了計(jì)算錯(cuò)誤）主要是難以找到合適的切入點(diǎn). 對此筆者認(rèn)為，通過做大量習(xí)題來熟悉思路的方法固然可行，但絕不是最高效的選擇，因?yàn)檫@會(huì)浪費(fèi)大量熟悉情境的時(shí)間，也不利于學(xué)生透過現(xiàn)象抓住方法的本質(zhì). 筆者采用的是一題N解法教學(xué)，通過對經(jīng)典例題進(jìn)行深度挖掘，幫助學(xué)生打開思路，理解問題和方法的本質(zhì). 本文中筆者將會(huì)以一道具體的拋物線問題為例，對該類問題的常用解決方法做一個(gè)簡單的小結(jié).

問題提出

如圖1所示，已知P（x，y）（x<0），若存在拋物線C：y2=4x上兩點(diǎn)A，B滿足線段PA，PB交拋物線于各自的中點(diǎn). （1）設(shè)點(diǎn)M等分線段AB，試證明PM⊥y軸;（2）若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)半橢圓x2+=1（x<0），試求S△PAB的可能取值范圍.

問題分析：本題的第一問是關(guān)于垂直關(guān)系的證明，因有一直線為y軸，故可以間接地通過證明PM與橫軸平行來轉(zhuǎn)化問題. 第二問是高考中關(guān)于解析幾何的熱點(diǎn)題型——最值與范圍問題，這類題型的主要考查點(diǎn)是運(yùn)算推理能力，基本的思路是根據(jù)題目直接提供或者隱含的代數(shù)幾何條件構(gòu)造出對應(yīng)的函數(shù)或不等式，以此約束所研究表達(dá)式的范圍.一般來說該類問題的難點(diǎn)體現(xiàn)在變量復(fù)雜繁多，例如在幾何問題中涉及的變量會(huì)有點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)、直線的相關(guān)參數(shù)等，如何合理簡化和利用參數(shù)關(guān)系是解決最值與范圍問題的關(guān)鍵所在.

解法一覽

對于第一小問.

方法短評：本方法綜合運(yùn)用了構(gòu)造、消元、轉(zhuǎn)化的函數(shù)思想方法，先建立了關(guān)于目標(biāo)量的多元函數(shù)關(guān)系式，再通過拋物線表達(dá)式和聯(lián)立式進(jìn)行消元，將多元表達(dá)式轉(zhuǎn)化為單一變量函數(shù)，最后結(jié)合自變量范圍給出了面積的取值范圍，這種基于函數(shù)思想的方法是解決解析幾何最值與范圍問題的常用手段.

方法2：將y-2yy+8x-y=0與y-2yy+8x-y=0相加可得y+y-2y0（y1+y2）+16x0-2y=0，即（y1+y2）2-2y1y2-2y0（y1+y2）=2y-16x0. 代入y1+y2=2y0可得y1y2=8x0-y，接下來的做法同第一種方法.

問題改編

對本題的第一小問進(jìn)行改編，還可以得到新的結(jié)論，教師可以在講解完第一小問的方法后將本題作為練習(xí)檢驗(yàn)學(xué)生的掌握情況，并幫助他們及時(shí)鞏固相關(guān)的思想方法.

所以可得切線的解析式為2x-y1y+=0，同理可得lBG：2x-y2y+=0，聯(lián)立兩個(gè)切線方程可得yG==yM，所以GM∥x軸，即GM⊥y軸，即證.