2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽一試A卷第10題的探究

廣東省佛山市樂從中學

一、題目呈現(xiàn)

題目(2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽一試(A卷)第10題)在平面直角坐標系xoy中，圓Ω與拋物線Γ:y2=4x恰有一個公共點，且圓Ω與x軸相切于拋物線Γ的焦點F，求圓Ω的半徑.

二、解法探究

解法1(利用均值不等式)由題可知拋物線Γ的焦點為F(1,0)，由對稱性，不妨設(shè)圓Ω在x軸上方與x軸相切于F，設(shè)圓Ω的半徑為r.故圓Ω的方程為

由均值不等式知

評注本解法是官方參考答案，其思路是基于：圓Ω與拋物線Γ:y2=4x恰有一個公共點，且圓Ω與x軸相切于拋物線Γ的焦點F?兩曲線只有一個公共點，且r最小.所以只要求出r的最小值，并且取最小值時，y的值是唯一的.在求r的最小值時用到了四元均值不等式，這是其中一個思路難點.

解法2(利用導數(shù))由解法1，可得令則所以f(y)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，于是當且僅當時，r取最小值

下同解法1.

評注解法2的思路與解法1是一致的，只是在求r的最小值時用導數(shù)法，技巧性較解法1低.

解法3(利用拋物線的切線方程)由題可知拋物線Γ的焦點為F(1,0)，設(shè)圓Ω的半徑為r，圓心為M.由對稱性，不妨設(shè)圓Ω在x軸上方與x軸相切于F，故圓Ω的方程為(x-1)2+(y-r)2=r2.

圖1

如圖1所示，當圓Ω與拋物線Γ相切于點P時，圓Ω滿足條件.設(shè)切點P(t20,2t0)，則拋物線在點P處的切線方程為2t0y=2(x+t20)，即t0y=x+t20，從而切線的斜率為又所以解得r=t30+t0.

又|MP|2=(t20-1)2+(2t0-r)2=r2，即t40+2t20+1-4rt0=0.所以t40+2t20+1-4t0(t30+t0)= 0，化簡得解得所以，當時，所以圓Ω的半徑為

解法4(利用公切線)由題可知拋物線Γ的焦點為F(1,0)，設(shè)圓Ω的半徑為r，圓心為M.由對稱性，不妨設(shè)圓Ω在x軸上方與x軸相切于F，故圓Ω的方程為(x-1)2+(y-r)2=r2.

如圖1所示，當圓Ω與拋物線Γ相切于點P時，圓Ω滿足條件.設(shè)切點P(x0,y0)，則圓Ω在點P處的切線方程為(x0-1)(x-1)+(y0-r)(y-r)=r2，化簡得(x0-1)x+(y0-r)y=(x0-1)+ry0.同時拋物線在點P處的切線方程為y0y=2(x+x0)，化簡得2x-y0y=-2x0.

評注解法3與解法4的思路是：兩個二次曲線若只有一個公共點，則兩曲線必然相切.所以圓Ω與拋物線Γ:y2=4x恰有一個公共點?圓Ω與拋物線Γ相切，且兩者在切點處的切線相同.兩解法都要熟練掌握圓錐曲線的切線方程，不同之處是解法3只利用拋物線的切線方程；而解法4分別利用拋物線與圓的切線方程，且兩切線是重合.所以在競賽層面，要重視方法的積累和知識的儲備，熟練掌握一些有用的結(jié)論，才有可能縮短思維的長度，提高效率，達到事半功倍的效果.

解法5(利用拋物線的光學性質(zhì))我們知道拋物線有如下的光學性質(zhì)：

拋物線的光學性質(zhì)從拋物線的焦點處發(fā)出的光線照射到拋物線上，經(jīng)拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的軸，且經(jīng)過反射點的鏡面所在的直線為拋物線的切線.

如圖2所示，P是拋物線上任意一點，拋物線在點P處的切線為QT，則光線FP經(jīng)過平面鏡QT反射后的反射光線為射線PR.由反射定律，可知∠FPR的平分線PH垂直于切線QT(也稱PH為切線QT的法線).

回到原題，如圖3，設(shè)圓Ω的圓心為M，由對稱性，不妨設(shè)圓Ω在x軸上方與x軸相切于F，且圓Ω與拋物線Γ相切于點P，在點P處的切線為QT，光線FP經(jīng)過切線QT反射后的反射光線為射線PR，連接MP,MF,MR,FR.

圖2

圖3

由拋物線的光學性質(zhì)可知∠FPM=∠RPM.又因為圓Ω在x軸上方與x軸相切于F，故由圓的性質(zhì)可知∠PFM=∠RFM，所以M為ΔPFR的內(nèi)心.另外M已是ΔPFR的外心，所以ΔPFR為正三角形.

設(shè)正ΔPFR的邊長為a，則點P的坐標為由P在拋物線上可得解得在ΔPMF中，由正弦定理，得解得所以圓Ω的半徑為

解法6(利用拋物線的光學性質(zhì)及定義)如圖4，設(shè)圓Ω的圓心為M，由對稱性，不妨設(shè)圓Ω在x軸上方與x軸相切于F，圓Ω與拋物線Γ相切于點P，拋物線Γ的準線為l，作PG⊥l，垂足為G，GP與FM延長線交于點H，連接FP.

圖4

因為圓Ω與拋物線Γ相切于點P，故PM是切線的法線，由拋物線的光學性質(zhì)，可知PM平分∠HPF，從而∠HPM=∠MPF=∠MFP，易得∠FHP=900，故∠HPM=∠MPF=∠MFP=300，于是

評注光線的反射總是滿足反射定律(入射角等于反射角)，光線被曲線反射也不例外，拋物線的光學性質(zhì)在解決與“切線”相關(guān)問題時會起到簡捷作用，其要點往往是利用法線就是過反射點的曲線的切線的垂線.

以上的幾種解法，從不同的角度出發(fā)思考問題，各顯神通，這充分體現(xiàn)試題的不拘一格，一道試題往往考查多種能力、多種思想方法；試題思維方式、解答方法不是唯一的，給考生提供了較大的發(fā)揮空間.這樣通過方法的選擇、解題時間的長短，甄別出考生能力的差異，達到精確區(qū)分考生的目的.

另外，數(shù)學問題的解答，需要平時學習中的善于積累和勤奮鉆研，只有通過量變達到質(zhì)變，才能引起飛躍式的發(fā)展.熟練掌握一些有用的結(jié)論，考試時方能厚積薄發(fā)，達到“會當凌絕頂，一覽眾山小”的境界.

三、問題的提出

解答完本題后，思考：

問題1在原競賽題中將拋物線一般化，即當Γ:y2=2px(p＞0)時，則圓Ω的半徑是多少?

問題2在原競賽題中將拋物線改為橢圓或雙曲線時，能否求得圓Ω的半徑?

四、借題探究 結(jié)論推廣

通過探究，可得如下結(jié)論：

結(jié)論1在平面直角坐標系xoy中，圓Ω與拋物線Γ:y2= 2px(p＞0)恰有一個公共點，且√圓Ω與x軸相切于拋物線Γ的焦點F，則圓Ω的半徑為

評析結(jié)論1的證明的可以參照原競賽題的各種解法，顯然，當p=2時正是原競賽題的情形.

五、拓展探究 類比性質(zhì)

我們知道，拋物線，橢圓與雙曲線都是圓錐曲線，很多時侯三者之間有可類比的性質(zhì)，這體現(xiàn)了圓錐曲線性質(zhì)的內(nèi)在統(tǒng)一的和諧美.那么素被稱為“姊妹曲線”的橢圓與雙曲線是不是也有類似于結(jié)論1的性質(zhì)呢?經(jīng)探究，得到如下結(jié)論：

結(jié)論2 在平面直角坐標系xoy中，圓Ω與橢圓恰有一個公共點，且圓Ω與x軸相切于橢圓Γ的焦點F，若c為Γ的半焦距，e為Γ的離心率，則圓Ω的半徑為

為了更好地證明結(jié)論2，先給出一個引理：

引理若F是橢圓的焦點，點P是橢圓上的點，過點P的切線與焦點F對應(yīng)的準線l交于點Q，PE⊥l，垂足為E，設(shè)橢圓的離心率為e，則

引理的證明如圖5，不妨設(shè)F(c,0)，對應(yīng)的準線為l:則過點P的切線方程為

圖5

圖6

結(jié)論2的證明如圖6，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)圓Ω在x軸上方與x軸相切于F，橢圓的焦點F(c,0)，焦點F對應(yīng)的準線為l:且圓Ω與橢圓Γ相切于點P，過點P的切線與準線l交于點Q，與x軸交于點D.

設(shè)圓Ω的圓心為M，連接MD，并與PF交于點H.作PE⊥l，垂足為E，設(shè)∠FPQ=α，∠EPQ=β，則易得

∠FDP=β.

由于圓Ω與橢圓Γ相切于點P，與x軸相切于Γ的焦點F，即DP,DF是圓Ω的兩條切線，從而有DP=DF，且MP=MF，所以MD是PF垂直平分線.

又因為DP=DF，故有∠DPF=∠DFP=α.因為∠DFP+∠MFP=900，∠FMH+∠MFP=900，所以∠FMH=∠DFP=α，同理，易得∠FMH=∠PMH=∠DFP=∠DPF=α.

在RtΔPHD中，有∠DPH+∠PDH=由引理，得即cosα=ecosβ，而

所以cosα=e(1-2cos2α)，即2ecos2α+cosα-e=0，解得從而sinα=

由橢圓的第二定義，得PF=ePE.另有PE=所以整理得將代入得所以在RtΔMFH中，得

結(jié)論3在平面直角坐標系xoy中，圓Ω與雙曲線恰有一個公共點，且圓Ω與x軸相切于雙曲線Γ的焦點F，若c為Γ的半焦距，e為Γ的離心率，則圓Ω的半徑為

結(jié)論3的證明可參照結(jié)論2的證法，限于篇幅，不再給出證明過程.

評析在結(jié)論2的證明中，若以F為極點，x軸的正半軸為極軸，也可由橢圓的極坐標方程得到從結(jié)論2的證明可以看出，將原競賽題的拋物線改為橢圓或雙曲線，題目的運算量倍增，解答難度會高很多，這應(yīng)是命題人使用拋物線的原由.結(jié)論1，2，3均已在數(shù)學軟件GeoGebra中驗證.

六、反思提升

從不同的思維角度分析同一道題目，得到不同的解題方法，一題多解的方式增加了題目涉及的知識廣度，以一帶多，減少了考查同樣多的知識所需的題量.從數(shù)學知識的角度來看，通過解題發(fā)現(xiàn)知識的相互聯(lián)系，體會知識之間的轉(zhuǎn)化過程，從多角度地思考和發(fā)現(xiàn)問題，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)體系.這樣，在學習基礎(chǔ)知識、掌握基本技能的同時，能培養(yǎng)學生思維的廣闊性、深刻性、靈活性以及創(chuàng)新性，能夠使學生對學習的內(nèi)容有一個整體的認識，并將知識融會貫通，舉一反三，活躍思維，從而提煉出數(shù)學思想與方法，這正是數(shù)學教學的核心.

對題目的拓展、引申探究是一名數(shù)學教師必備的專業(yè)素養(yǎng)，平時要重視對典型問題的深入研究，探研規(guī)律，并適當拓展，充分挖掘題目的育人價值.高中數(shù)學新課程理念之一是倡導積極主動、勇于探索的學習方式，而學東西的最好方式是發(fā)現(xiàn)它，所以要鼓勵學生通過合情推理對某些問題作大膽的猜想，并進行探索與證明，這樣的探索在數(shù)學學習中起到重要作用.教師可根據(jù)學生實際，通過探究活動，讓學生體驗數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，引導他們勇于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，進而讓學生在分析、類比、猜想、證明過程中全面提高學生的綜合能力，從而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).