巧借曲線切線放縮證明函數(shù)不等式

湖南省長沙市第一中學(xué)

一、指數(shù)函數(shù)的切線放縮

指數(shù)函數(shù)y=ex在x=0處的切線方程為y=x+1，從圖1可以看出，函數(shù)y=x+1的圖象(除x=0)恒在y=ex的下方，因此ex≥x+1，證明如下：

令f(x)=ex-x-1，則f′(x)=ex-1.當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)≥f(0)=0，所以ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立.

圖1

例1已知函數(shù)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x＞0，證明不等式：(ex-1)ln(x+1)＞x2.

解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,0)∪(0,+∞).所以令則當(dāng)x ∈(-1,0)時(shí)，g′(x)＞0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x ∈(0,+∞)時(shí)，g′(x)＜0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x ∈(-1,0)∪(0,+∞)時(shí)，g(x)＜g(0)= 0，即f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0)，(0,+∞).

(2)當(dāng)x＞0時(shí)，要證明(ex-1)ln(x+1)＞x2，只需證明只要證明f(x)＞f(ex-1)，因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，ex＞x+1，即x＜ex-1，由(1)知在(0,+∞)單調(diào)遞減，所以f(x)＞f(ex-1)，所以不等式(ex-1)ln(x+1)＞x2成立.

評注若本題第(2)問通過構(gòu)造函數(shù)h(x)=(ex-1)ln(x+1)-x2，對h(x)進(jìn)行求導(dǎo)，由于h′(x)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以判斷它的零點(diǎn)和相應(yīng)區(qū)間符號，因此對要證明的不等式進(jìn)行代數(shù)變形，構(gòu)造出不等式兩邊具有相同結(jié)構(gòu)的代數(shù)式，轉(zhuǎn)化為證明f(x)＞f(ex-1)，最后利用第(1)問中函數(shù)f(x)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)y=ex的切線放縮(ex≥x+1)來證明不等式.

例2(2014年高考全國I卷理科第21題)設(shè)函數(shù)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為y=e(x-1)+2.

(1)求a,b；

(2)證明：f(x)＞1.

解(1)a=1,b=2.(過程略)

評注本題有多種證明方法，這里選擇先將要證明不等式進(jìn)行代數(shù)變形，利用指數(shù)函數(shù)y=ex在x=1處的切線y=ex放縮(ex≥ex)來證明不等式右邊非正，然后證明不等式左邊函數(shù)非負(fù)，由于等號不能同時(shí)取到，故不等式得證.一般地，指數(shù)函數(shù)y=ex常?？梢岳闷湓趚=x0處的切線y=ex0x+(1-x0)ex0放縮得到不等式

二、對數(shù)函數(shù)的切線放縮

對數(shù)函數(shù)y=lnx在x=1處的切線方程為y=x-1，從圖2可以看出，函數(shù)y=x-1的圖象(除x=1)恒在y=lnx的上方，因此lnx≤x-1，證明如下：

圖2

令f(x)= lnx-x+1，則當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)≤f(1)= 0，所以lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立.

例3已知函數(shù)f(x)=2x-lnx.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：f(x)＜

解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為遞增區(qū)間為

評注本題若選擇移項(xiàng)構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo)，再求新函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間將十分困難，因此另辟蹊徑，先移項(xiàng)再取對數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的切線不等式來放縮證明.一般地，對數(shù)函數(shù)y=lnx常?？梢岳闷湓趚=x0處的切線放縮得到不等式

三、冪函數(shù)的切線放縮

冪函數(shù)y=xa(x＞0)在x=1處的切線方程為y=a(x-1)+1，由圖3可以看出，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=a(x-1)+1的圖象(除x=1)在y=xa的上方，因此，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，xa≤a(x-1)+1(x＞0)；當(dāng)a＞1或a＜0時(shí)，函數(shù)y=a(x-1)+1的圖象(除x=1)在y=xa的下方，因此，當(dāng)a＞1或a＜0時(shí)，xa≥a(x-1)+1(x＞0).

證明如下：令f(x)=xa-a(x-1)-1，則f′(x)=

當(dāng)0＜a＜1，x ∈(0,1)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；x ∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞 減，所以f(x)≤f(1)= 0，即xa≤a(x-1)+1；當(dāng)a＞1或a＜0，x ∈(0,1)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；x ∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)≥f(1)= 0，即xa≥a(x-1)+1.

例4已知函數(shù)f(x)=(1+x)α，其中α為常數(shù)，且0＜α＜1，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(0,1)處的切線方程為y=g(x).

(1)證明：對于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f(x)＜g(x)；

(2)若0＜a＜1,0＜b＜1，證明：ab+ba＞1.

證明(1)因?yàn)閒′(x)=α(1+x)α-1，故f′(0)=α，函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(0,1)處的切線方程為y-1 =αx，即g(x)=αx+1.

令h(x)=f(x)-g(x)=(1+x)α-αx-1，則h′(x)=α(1+x)α-1-α=α[(1+x)α-1-1]，因?yàn)閤＞0，0＜α＜1，所以(1+x)α-1＜(1+x)0=1，所以h′(x)＜0，所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；所以h(x)＜h(0)=0，所以f(x)＜g(x).

(2)由第(1)問可知，當(dāng)0＜α＜1，x ∈(0,+∞)時(shí)，(1+x)α＜αx+1.因?yàn)?＜a＜1，0＜b＜1，所以所以

評注本題第(1)問由函數(shù)f(x)在x=0處的切線放縮可以得到：當(dāng)0＜α＜1，x ∈(0,+∞)時(shí)，(1+x)α＜αx+1.第(2)問要證明ab+ba＞1，根據(jù)要證明的不等式方向，將不等式左邊的兩項(xiàng)分別取倒數(shù)后再巧妙利用第(1)問中的切線放縮即可快速證明.

四、三角函數(shù)的切線放縮

正弦函數(shù)y=sinx在x=0處的切線方程為y=x，正切函數(shù)y=tanx在x=0處的切線方程為y=x，從圖4可以看出，當(dāng)時(shí)，y=x在正弦函數(shù)y=sinx的上方，在y=tanx的下方，因此當(dāng)時(shí)，sinx＜x＜tanx，證明如下：

圖4

令f(x)=sinx-x，則f′(x)=cosx-1＜0，從而f(x)在上單調(diào)遞減，所以f(x)＜f(0)= 0，即sinx＜x.令g(x)= tanx-x，x ∈則g′(x)=從而g(x)在上單調(diào)遞增，所以g(x)＞g(0)= 0，即x＜tanx.所以當(dāng)時(shí)，sinx＜x＜tanx.

例5已知0＜x＜π，求證：

證明由題可知

所以

評注本題選擇將正弦函數(shù)用二倍角公式展開，再借助正弦函數(shù)和正切函數(shù)在x=0處的切線不等式sinx＜x＜tanx進(jìn)行放縮證明，十分簡潔.當(dāng)然，直接做差構(gòu)造新函數(shù)f(x)=通過多次求導(dǎo)可以證明f(x)大于0.

五、其它初等函數(shù)的切線放縮

例6(2015年高考天津卷理科第20題)已知函數(shù)f(x)=nx-xn,x ∈R，其中n ∈N?,n≥2.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g(x)，求證：對于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f(x)≤g(x)；

(3)若關(guān)于x的方程f(x)=a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)根x1,x2，求證：

解(1)略.

證明(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,0)，則

曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程為y=f′(x0)(x-x0)，即g(x)=f′(x0)(x-x0).令F(x)=f(x)-g(x)，即

則F′(x)=f′(x)-f′(x0).由(1)知f′(x)=-nxn-1+n在(0,+∞)上單調(diào)遞減，故F′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.又因?yàn)镕′(x0)= 0，所以當(dāng)x ∈(0,x0)時(shí)，F(xiàn)′(x)＞0，當(dāng)x ∈(x0,+∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)＜0，所以F(x)在(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x0,+∞)上單調(diào)遞減，所以對于任意的正實(shí)數(shù)x，都有F(x)≤F(x0)= 0，即對于任意的正實(shí)數(shù)x，都有

實(shí)驗(yàn)材料是采購于武漢大學(xué)典藏中心的人前列腺癌PC3 細(xì)胞株。雷公藤內(nèi)脂醇采購于美國Sigma公司，用無菌雙蒸水配制為1.0 mg/ml的儲備液，保存在-20°的冰柜內(nèi)備用。新生牛血清、DMEM培養(yǎng)液、胰蛋白酶購于美國BRL Gibco公司。

(3)不妨設(shè)x1≤x2.由(2)知g(x)=(n-n2)(x-x0).設(shè)方程g(x)=a的根為x′2，可得由(2)知g(x2)≥f(x2)=a=g(x′2)，可得x2≤x′2.

類似地，設(shè)曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y=h(x)，可得h(x)=nx，當(dāng)x ∈(0,+∞)，f(x)-h(x)=-xn＜0，即對于任意的x ∈(0,+∞)，f(x)＜h(x).設(shè)方程h(x)=a的根為x′1，可得因?yàn)閔(x)=nx在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增，且因此

由此可得

因?yàn)閚≥2，所以

評注由于第(3)問如果求解f(x)=a的實(shí)根x1,x2將十分困難.因此在第(2)問的基礎(chǔ)上，巧妙借助函數(shù)f(x)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)處的切線，將難以求解的曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為易于求解的切線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而證明不等式.

例7已知函數(shù)

(1)求函數(shù)f(x)在x=0處的切線方程；

(2)證明：當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)-3f(x)≥1.

解(1)因?yàn)?/p>

(2)令h(x)=則

所以h(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減，所以h(x)≤h(0)= 0，即又因?yàn)間(x)=ex≥x+1，所以g(x)-3f(x)≥證畢.

評注本題第(2)問如果對不等式左邊函數(shù)通過多次求導(dǎo)或者設(shè)而不求等方法，都無法求得最小值，因此，巧妙借助第(1)問函數(shù)f(x)的切線，證明函數(shù)f(x)在切線的下方(除切點(diǎn))，利用切線放縮，可以快速簡潔的證明不等式.

函數(shù)不等式的證明難度大、技巧性強(qiáng).切線放縮為解決這類問題提供了一種可供選擇的方法，借助曲線切線放縮，可以將復(fù)雜的函數(shù)曲線轉(zhuǎn)化為簡單的一次函數(shù)，從而達(dá)到化曲為直、化繁為簡的目的.學(xué)生在解題過程中一定要認(rèn)真分析、勇于嘗試，多積累一些常用的解題方法和技巧，注重思維深度和廣度的培養(yǎng)，不斷提升自身解題能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).