隨機(jī)過程實踐教學(xué)的新思考

劉紅

摘? 要：文章討論了隨機(jī)過程在當(dāng)前本科教學(xué)實踐存在的若干問題，從教學(xué)目標(biāo)、教材選取及數(shù)學(xué)思想的認(rèn)知方面對現(xiàn)有形勢進(jìn)行仔細(xì)分析并給出建設(shè)性的相關(guān)建議。值得關(guān)注的是，文章所討論的建議和方法不僅僅局限于隨機(jī)過程的實踐教學(xué)，也可以對其他學(xué)科科目的教學(xué)實踐提供良好的思路與參考。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用隨機(jī)過程;教學(xué)目標(biāo);教材選擇;教學(xué)方法

Abstract： This paper focuses on some recurrent problems in the curriculum of stochastic process based on the current undergraduate teaching in aspect of instructive objectives， textbooks and cognition of mathematical thought. Pieces of advice is also put forward via the presentation of particular examples in the practice. It is worth that the proposals in this paper are also available in the area of other curriculums.

Keywords： stochastic processes; instructive objectives; textbooks; improved experience of education

伴隨社會與科技的發(fā)展，隨機(jī)過程的角色愈發(fā)重要，而且各領(lǐng)域的眾多學(xué)者一致認(rèn)為未來隨機(jī)過程在交叉學(xué)科方面會發(fā)揮更加巨大的作用。這方面的需求給我們提供了一個很好的機(jī)遇來展示這門學(xué)科的價值與魅力，同時對現(xiàn)階段的教學(xué)活動提出了新的考驗。

從數(shù)學(xué)角度的本質(zhì)來講，隨機(jī)過程依托于概率論框架，以分析為手段研究系統(tǒng)演變的一門學(xué)科。它的很多思想方法借鑒了其他數(shù)學(xué)學(xué)科，它的特點是偏重分析，注重于概率框架下的建模并熱衷于從微觀角度詮釋宏觀系統(tǒng)的某些現(xiàn)象內(nèi)在機(jī)制。它的很多思想和其他數(shù)學(xué)思想某種程度上不謀而合，在哲學(xué)認(rèn)知方面有自己的特色。在當(dāng)前的實踐教學(xué)方面，此課程出現(xiàn)若干問題，本文將依次著重闡述隨機(jī)過程這門課程在教學(xué)目標(biāo)、教材選擇、教學(xué)方法及考核方式方面存在的若干問題并給出一些建設(shè)性解決方案。

一、認(rèn)清特色，因地適宜確定教學(xué)目標(biāo)

在實踐教學(xué)中，教學(xué)目標(biāo)的重要性不言而喻。而要正確確定課程教學(xué)目標(biāo)，首先要正確理解學(xué)習(xí)課程的必要性以及其這門課程獨有的特點。目前，很多教學(xué)實踐忽略了利用隨機(jī)過程研究問題想法的起源，反而過多依賴和使用樸素的概率思想去強(qiáng)行解釋學(xué)習(xí)這門課程的必要性，強(qiáng)行割裂了與其他學(xué)科特別是物理、化學(xué)等方面的聯(lián)系。更加令人擔(dān)憂地是，在認(rèn)知隨機(jī)過程課程的特色時，錯誤地同其他數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科混淆，而這些錯誤的理解會使直觀認(rèn)知出現(xiàn)偏離，從而導(dǎo)致在探索與解決相關(guān)問題時出現(xiàn)不必要的障礙。另一方面，由于隨機(jī)過程的應(yīng)用范圍很廣，其課程受到許多實力強(qiáng)勁的綜合性院校的重視，尤其以電子通訊、水利工程、地質(zhì)勘探、核工程等最為明顯。此時，教學(xué)目標(biāo)定位不準(zhǔn)直接影響了對知識的吸收與理解，影響了知識的活學(xué)活用。在這種情況下，需要根據(jù)所在學(xué)科需求與隨機(jī)過程課程特點，靈活地確定教學(xué)目標(biāo)，既做到有的放矢，又避免知識的單一體系。因此，在確定隨機(jī)過程的教學(xué)目標(biāo)時，需要結(jié)合院系學(xué)科的特點，先從小處入手，再循序漸進(jìn)至更一般系統(tǒng)，從而達(dá)到利用學(xué)科特色統(tǒng)領(lǐng)全局，一通百通的目的;特別地，發(fā)展良好的工科院系要根據(jù)自身特色充分理解這門課程的必要性，從而根據(jù)院系特色確定這門課程的教學(xué)目標(biāo)，只有這種做深做精的想法才能驅(qū)動和實現(xiàn)相關(guān)院?？蒲猩险嬲耐黄啤?/p>

二、多種教材繁簡結(jié)合，注重習(xí)題

如果將教學(xué)目標(biāo)看做一張藏寶圖，那一本好的教材就可以比作挖掘?qū)毑氐墓ぞ?。即使寶藏再豐富，也需要施展手段挖掘出來。否則過寶山而不入，唯貽笑大方爾。

隨機(jī)過程就是眾多工具的一種，而且很有可能是最好用最直觀離真相最近的那一種工具。由于其具有廣泛的適用性，因此，關(guān)于它的研究方法和技術(shù)多種多樣，其相關(guān)專著頗豐，從而導(dǎo)致了因需選取教材的困難。目前，有些單位教材選取過于單一，往往一頭扎進(jìn)一本書不出來，從頭講到尾，忽略了研究方法的多樣性。因此，在教學(xué)實踐中，首先要保證課時的充足，其次要做到多種教材同時參考（如[1]、[2]、[3]），在以一本教材為主的同時，在介紹主題時靈活引入其他相關(guān)研究技術(shù)，由簡入繁，循序漸進(jìn)地將思想清晰地引入。值得注意地是，隨機(jī)過程是屬于數(shù)學(xué)的一門學(xué)科，要熟練掌握一個知識，多做習(xí)題是最有效的辦法，現(xiàn)在有些院校不重視課前預(yù)習(xí)，課后不做題，導(dǎo)致了學(xué)生課上貌似聽懂了，一做題還是不會的現(xiàn)象比比皆是。歸根到底是習(xí)題做的少。所以，要把習(xí)題作為掌握技術(shù)的一種手段，有目的有興趣地鞏固知識。更要強(qiáng)調(diào)的是，做習(xí)題的時候，一定不要先看答案，一定要先思考，自己做完了，可以用答案來驗證下自己做的對錯與否，并對最開始的數(shù)學(xué)直觀與靈感進(jìn)行總結(jié)。

由于院校的具體情況各有差異以及所在學(xué)科的著重點不同，教材應(yīng)基于經(jīng)典專著的基礎(chǔ)知識及反應(yīng)當(dāng)前發(fā)展的相關(guān)文獻(xiàn)，從所在學(xué)科的背景出發(fā)導(dǎo)出本學(xué)科真正關(guān)注和需要解決的問題，弄清楚隨機(jī)過程在其中所發(fā)揮的作用，這樣就抓住了隨機(jī)過程在相關(guān)學(xué)科的發(fā)展脈絡(luò)。根據(jù)此發(fā)展脈絡(luò)，專家應(yīng)靈活結(jié)合所在學(xué)科的背景，有目的地選擇相關(guān)文獻(xiàn)內(nèi)容并整理為冊，并經(jīng)過實踐教學(xué)的反饋不斷地改進(jìn)。值得注意的是，在實踐教學(xué)中，由于各種因素的影響，可能會出現(xiàn)要求降低教材難度的反饋。這時，不可草率地降低難度迎合某些非合理因素的需求，可以將教材分為初級版與高級版，相關(guān)院校應(yīng)保證課時量的充足，在保證完成基礎(chǔ)知識的情況下，設(shè)置高級版選修課程，從而有利于所在學(xué)科的進(jìn)步。

為了更好地服務(wù)于院校課程的教學(xué)，本文闡述下目前相關(guān)教材的一些特點，各院?？梢愿鶕?jù)自身學(xué)科的特色有目的地選擇適合學(xué)科發(fā)展的教材。

專著[2]是一本很好的入門書籍，作者在內(nèi)容上偏重于馬氏鏈與鞅論，而這恰恰是隨機(jī)過程的核心理論。這兩方面的理論可以很好地應(yīng)用到諸如物理、化學(xué)、工業(yè)、生物等其他學(xué)科。對于初學(xué)者是一個很不錯的參考書。

專著[3]可以看做是專著[2]的高級版，作者以更加自封閉的形式從數(shù)學(xué)完整性和嚴(yán)密性等方面對馬氏過程與鞅論做了重點闡述，適合想進(jìn)一步提升的讀者。

專著[6]更像是一本展示隨機(jī)過程及其應(yīng)用的一本書，適合有一定基礎(chǔ)并想進(jìn)一步了解隨機(jī)過程相關(guān)應(yīng)用的讀者。在初學(xué)者學(xué)習(xí)隨機(jī)過程時，也可以適當(dāng)?shù)貐⒖?，粗略了解隨機(jī)過程在本學(xué)科的應(yīng)用以及哪一方面的知識對本學(xué)科重要，對學(xué)習(xí)可以提到方向性指引以及提高學(xué)習(xí)興趣。

三、教學(xué)活動以如何引入思想為主 認(rèn)清學(xué)科發(fā)展脈絡(luò)為目標(biāo)

隨機(jī)過程首先是來自于應(yīng)用，由于所處理問題的復(fù)雜性，引入了各種思想與技術(shù)手段。而其他應(yīng)用學(xué)科大多亦是如此，只不過考慮問題角度與技術(shù)手段有所差異。因此，隨機(jī)過程的很多思想與其他學(xué)科不謀而合，而在教學(xué)實踐中，這些方面往往被人忽視，不利于數(shù)學(xué)直覺的培養(yǎng)，破壞了完整數(shù)學(xué)體系的架構(gòu)。因此，在介紹某一主題的教學(xué)實踐中，注意數(shù)學(xué)直觀的引導(dǎo)與不同思想的橫向比較，認(rèn)清思想與相關(guān)問題發(fā)展的脈絡(luò)，勿做出本末倒置之事。

在隨機(jī)過程教學(xué)的過程中，教師應(yīng)該發(fā)揮課堂的組織者與設(shè)計者的作用。一般來講，教師應(yīng)該打破傳統(tǒng)的教師獨白式授課模式，而是采用“學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題-調(diào)研-查找文獻(xiàn)-小組討論-在老師的指導(dǎo)下驗證答案”等課程模式來探索隨機(jī)過程的知識脈絡(luò)與學(xué)術(shù)規(guī)律，從而理解其背后的學(xué)術(shù)價值與社會價值。這種方法不僅讓學(xué)生能夠體會到所學(xué)知識的實際應(yīng)用價值也能做到教學(xué)與科研的統(tǒng)一。當(dāng)然，小組討論等這種教學(xué)方式只適用于班級人數(shù)比較少的情況，對于超過一百人的大課堂，這種方式無法進(jìn)行，所以院校在課程設(shè)計時注意控制學(xué)生人口的數(shù)量，不要置教學(xué)質(zhì)量于不顧對授課班級的學(xué)生數(shù)量不加限制。

比如說，教師在講授Poisson過程這一章時，教師可以先介紹下Poisson過程的基本概念，基本性質(zhì)與簡單的推廣和應(yīng)用。然后給學(xué)生提供與這些教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的論文，可以報考經(jīng)典的Poisson過程在金融與保險中的應(yīng)用論文，也可以包括學(xué)術(shù)研究的前沿問題。

“知其然，而后所以然”。以下本文將從兩個例子出發(fā)來闡述教學(xué)過程中如何展現(xiàn)最初的思想的來源。

例1. 時齊馬鏈的狀態(tài)結(jié)構(gòu)是非常重要的研究對象，可以說，很多思想與方法技術(shù)都是來源于此。而如何正確的說明研究的必要性是一個并不容易的任務(wù)。這涉及到很多方面的本質(zhì)性問題，例如如何從直觀的角度進(jìn)行分析，如何教會學(xué)生思考問題的角度，如何提高思考的品味等， 這些問題都是直指核心的本質(zhì)問題。因此，在講授時齊馬鏈的狀態(tài)結(jié)構(gòu)時，要充分引導(dǎo)學(xué)生思考，首先從直觀的角度將結(jié)果猜測出來，然后在去驗證結(jié)果是否成立。具體來講，首先要解釋為什么要研究狀態(tài)結(jié)構(gòu)，從離散的角度自然而然地想到最大公約數(shù)，依次直觀地探索在什么情況下才會體現(xiàn)出最大公約數(shù)的特色，最后猜測出狀態(tài)的相關(guān)結(jié)構(gòu)。而有些院校在教學(xué)活動中，往往采用教科書的順序，先引入定義，而后闡述結(jié)果，最后講解證明，失去了問題探索的初衷，混亂了研究問題的真正順序。這種做法大大降低了學(xué)生學(xué)術(shù)素質(zhì)的提高，降低了學(xué)生未來發(fā)展的上限。

例2. 時齊馬鏈的大數(shù)定律是物理、化學(xué)以及工學(xué)各個分支等學(xué)科極為重視的對象，它發(fā)揮著從微觀過渡到宏觀的作用，需要教師根據(jù)所在學(xué)科的特點從本學(xué)科如物理、化學(xué)及工學(xué)的某一個重要例子出發(fā)，說明研究的必要性，突出研究結(jié)果的重要性。由于是基于本學(xué)科出發(fā)，其直觀性不言而喻，從而保證了學(xué)生對知識的理解與吸收。從本學(xué)科具體問題出發(fā)，提出所關(guān)心的對象，下一步就需要教師巧妙地引導(dǎo)學(xué)生對所研究對象的直觀理解，把握對本質(zhì)的理解深度，如教師需循序漸進(jìn)慢慢地引導(dǎo)學(xué)生考慮狀態(tài)的某種周期行為，從而激發(fā)思維與考慮問題的方式，首先直觀地預(yù)測結(jié)果，然后整理思路，按照思考軌跡逆向推導(dǎo)。在推導(dǎo)過程中，注意處理問題時要嚴(yán)格，要做到有理有據(jù)，環(huán)環(huán)相扣，無懈可擊。同時，在推導(dǎo)過程中，適時說明某種技術(shù)手段的必要性，讓學(xué)生自發(fā)學(xué)會總結(jié)所學(xué)知識，只有這樣，才能達(dá)到提高學(xué)生學(xué)問的目的。這樣，才能克服“一做不會，做完就忘”的現(xiàn)象。

從以上兩個例子可以看出，研究問題的合理性與必要性在治學(xué)中至關(guān)重要。只有清楚說明所研究問題的背景才可以將合理性與必要性交代清楚。因此，首先需要院系合理安排相關(guān)專家與學(xué)生面對面，以報告或者座談的形式向?qū)W生交代清楚相關(guān)背景，然后再進(jìn)行下一步具體的教學(xué)安排。其目的是讓學(xué)生做到心里有數(shù)，不忘研究初心，在遇到技術(shù)難題時也能從直觀視角得到問題的合理解決。

與此同時，值得教師注意的是，在教授某一重點知識或技術(shù)時，需要適時地針對某一題目進(jìn)行詳細(xì)的解析，對其直觀視角的來源進(jìn)行充分的解釋，并對所用到的技術(shù)做到嚴(yán)格驗證條件，在經(jīng)過此種步驟后，學(xué)生才能真正掌握相關(guān)技術(shù)，并養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)與思考習(xí)慣。

四、考核方式

考核是一種檢驗是否達(dá)到目標(biāo)的手段，從成本考慮它是有效的手段，但從某些方面來說，它反而可能不是有效的。因此，要充分理解考核的局限，不可過低亦不可過高解讀考核的作用。考核方式是檢驗同學(xué)們對這門課的掌握程度好壞的重要環(huán)節(jié)，需要教師根據(jù)學(xué)生在平時的表現(xiàn)，更加合理地判斷學(xué)生對知識掌握的程度。

平時成績的考核依據(jù)不僅僅為出勤與平時的作業(yè)，考核成績可以多樣化。比如，平時的課堂教學(xué)中可以設(shè)置一些問題采取小組討論的方式讓大家更好的理解相關(guān)的概念及應(yīng)用隨機(jī)過程解決實際問題的方法。可以根據(jù)小組討論的情況與發(fā)言的情況給平時成績。隨機(jī)過程在現(xiàn)實中很常用，也可以根據(jù)所學(xué)知識每個章節(jié)學(xué)完后提交讀書心得和小論文等?？傊綍r成績的給定可以多樣化，可以根據(jù)學(xué)生的平時表現(xiàn)綜合評定。

在考核方式上，院校要賦予老師更多的權(quán)利，鼓勵老師采取多樣化的選擇方式檢驗學(xué)生對知識的掌握程度，而不是人為地降低考核難度，只有這樣，才能培養(yǎng)良好的學(xué)風(fēng)，才能體現(xiàn)對知識的尊重，凸顯知識的價值。

五、結(jié)束語

在教學(xué)實踐中，教師要被賦予更多權(quán)利與義務(wù)，更加流暢地表達(dá)數(shù)學(xué)思想的形成與發(fā)展脈絡(luò)，結(jié)合所在院系的特色，做到有的放矢，由小入大，再反推由繁入簡，達(dá)到數(shù)學(xué)上的知行合一。數(shù)之道，其路漫漫，其修亦漫漫，存真反璞矣。

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