概率論思想在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

陳華 何佳怡 劉妍 楊逸雯

摘? 要：高等數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)科學(xué)， 其特點(diǎn)是高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性。正因?yàn)槠渥陨砉逃械倪@些特點(diǎn)，使得高等數(shù)學(xué)中的某些計(jì)算及證明問題難度較大，而概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門學(xué)科，它與我們的生活息息相關(guān)。在高等數(shù)學(xué)應(yīng)用中巧妙地引入概率論思想不僅能夠提高解題效率，使復(fù)雜的問題變得相對簡單，而且還能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。文章結(jié)合具體習(xí)題，闡述并歸納了概率論思想在高等數(shù)學(xué)解題中的一些應(yīng)用，不僅為學(xué)生提供了新的解題思路，從而提高解題效率，也揭示了不同數(shù)學(xué)學(xué)科之間的本質(zhì)聯(lián)系，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)知識體系。

關(guān)鍵詞：概率思想;高等數(shù)學(xué);歸一化;概率模型

Abstract： Higher mathematics is a basic science， which is characterized by high abstraction， strict logic and extensive application. Because of its inherent characteristics， some calculation and proof problems in higher mathematics are more difficult， and probability theory is a subject that studies the number of random phenomena， which is closely related to our life. The introduction of probability theory into the application of higher mathematics can not only improve the efficiency of solving problems and make complex problems relatively simple， but also improve students' learning enthusiasm. Combined with specific exercises， this paper expounds and summarizes some applications of probability theory in solving problems of higher mathematics， which not only provides students with new ideas to solve problems， thus improving the efficiency of solving problems， but also reveals the essential relationship between different mathematics disciplines， so that students can systematically master the system of mathematical knowledge.

Keywords： probability thinking; advanced mathematics; normalization; probability model

概率論是研究自然界中大量隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門科學(xué)，興起于17世紀(jì)的意大利，最初被用作計(jì)算賭博的獲勝概率，而后逐步發(fā)展從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)研究隨機(jī)現(xiàn)象的基本性質(zhì)，也因此與高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生了密不可分的聯(lián)系。概率論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程，它們既相互區(qū)別，又相互滲透;高等數(shù)學(xué)是概率論的基礎(chǔ)，在一定條件的前提下，許多數(shù)學(xué)問題可以用概率論思想分析解答。概率論的應(yīng)用不僅可以簡化運(yùn)算，同時(shí)讓枯燥的數(shù)學(xué)計(jì)算題有了豐富的概率背景。在教學(xué)中可以考慮多個(gè)學(xué)科結(jié)合，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和解決問題，有助于理論知識的鞏固和掌握。

一、歸一化思想在高等數(shù)學(xué)積分和級數(shù)求和計(jì)算中的應(yīng)用

歸一化思想來源于概率最基本的性質(zhì)——正則性[1-2]，即所有可能隨機(jī)事件發(fā)生的概率之和為1，不論是離散型隨機(jī)變量還是連續(xù)型隨機(jī)變量都滿足這一性質(zhì)，因此在已知概率密度或概率分布的情況下，可以方便得求出某些積分和求和式子的答案。

在高等數(shù)學(xué)中，積分計(jì)算是一項(xiàng)必備技能，通過幾何意義、換元積分法和分部積分法等方法可以得出大部分積分的值，然而有些不定積分雖然存在，但卻無法用初等函數(shù)表示，也稱“積不出來”，或是通過常規(guī)方法求解困難，這時(shí)采用概率思想就能方便快捷地解答。

在具體求解的時(shí)候，需要構(gòu)建概念模型，將正態(tài)分布相關(guān)性質(zhì)結(jié)合起來，通過這樣的方式，就可以讓復(fù)雜的二重積分問題轉(zhuǎn)變成簡單的問題，最后使用相關(guān)知識就能夠?qū)⒍胤e分函數(shù)解出來，節(jié)省了時(shí)間和精力，通過概率思想進(jìn)行二重積分的證明問題能夠起到十分有效的作用。

二、連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差在高等數(shù)學(xué)積分計(jì)算中的應(yīng)用

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差關(guān)系是比較難的計(jì)算問題，如果知道了隨機(jī)變量X的具體分布情況，我們就能夠知道X的所有特征。在一些實(shí)際應(yīng)用中，只需要了解它的某些數(shù)字特征就行了。所以，在對隨機(jī)變量的研究中，將某些數(shù)字特征確定下來很重要，其中，最常使用的是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差[4-6]。由于隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差相關(guān)內(nèi)容比較復(fù)雜，如果使用常規(guī)的方法進(jìn)行計(jì)算，會(huì)具有很大的難度。在實(shí)際計(jì)算的過程中，使用概率思想，就能夠?qū)⑾嚓P(guān)的被積函數(shù)進(jìn)行變形，將其轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)變量數(shù)學(xué)期望，從而能夠解決問題。

三、通過概率模型簡化高等數(shù)學(xué)中的多項(xiàng)式求和

概率模型（Statistical Model，也稱為Probabilistic Model）是用來描述不同隨機(jī)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，通常情況下刻畫了一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量之間的相互非確定性的概率關(guān)系[6]，在高數(shù)計(jì)算中常常會(huì)碰到難以化簡或求和的多項(xiàng)式，如果每一項(xiàng)的值都在[0，1]區(qū)間內(nèi)，這時(shí)候就可以采用概率思想，構(gòu)建一個(gè)簡單的概率模型，再通過相關(guān)性質(zhì)求出答案，概率模型的構(gòu)建使得抽象問題變得形象可感，降低了學(xué)生接受和理解的難度，從而達(dá)到較好的教學(xué)效果。

解：構(gòu)建概率模型：箱子里有a個(gè)紅球與b個(gè)白球，從中取出一個(gè)球，若為紅球則成功，反之失敗。若失敗則再往箱子里放入1個(gè)黑球，進(jìn)行第二輪取球，直至成功。則題中多項(xiàng)式第一項(xiàng)即代表第一輪就取球成功，第二項(xiàng)代表第二輪取球成功……依此類推，最后一項(xiàng)為第n輪取球成功，當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，各項(xiàng)概率之和趨向于1，因此答案為1。

四、運(yùn)用概率思想證明不等式

不等式是高等數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)，也是學(xué)生普遍感覺有學(xué)習(xí)困難的地方，將概率論應(yīng)用到不等式中，是因?yàn)椴坏仁脚c概率論存在某些相似性，在概率論中有許多地方都用到了不等式，比如車貝雪夫不等式、中心極限定理、期望與方差，這些不等式有大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作為支撐，在一定條件下可以應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)習(xí)題解答中，為一些不等式的證明提供了方便。

五、結(jié)論

本文通過舉例題與推廣的方法，將概率論與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，既便于加深對相關(guān)知識的理解，又為今后的高數(shù)解題提供了某些新思路，在做積分的運(yùn)算時(shí)，巧妙利用一維與二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)、分布函數(shù)以及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，簡化某些積分運(yùn)算;在多項(xiàng)式求和時(shí)，特別是當(dāng)各項(xiàng)均大于0且小于1時(shí)，通過建立概率模型的方法，化抽象為具體，在容易理解的基礎(chǔ)上達(dá)到快速求解的目的;在復(fù)雜不等式的證明中，通過利用數(shù)學(xué)期望與方差的關(guān)系、中心極限定理、正態(tài)分布等知識，將其轉(zhuǎn)化為概率問題，再由已有的概率論方面的性質(zhì)或數(shù)據(jù)求解，從而達(dá)到簡化證明的目的。本文基于概率論思想在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行探討，旨在建立不同數(shù)學(xué)學(xué)科之間的本質(zhì)聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對知識體系的整體構(gòu)建與掌握。本文也為探究學(xué)科的交叉與融合的模式及發(fā)展規(guī)律提供新思路。

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