初中數學運算素養(yǎng)：內涵、特征及“生長點”

印冬建

摘要：要在初中階段較好地發(fā)展學生的數學運算素養(yǎng)，首先，要明晰數學運算素養(yǎng)的內涵，知道從哪些方面去發(fā)展;其次，要把握數學運算素養(yǎng)的特征，整體規(guī)劃相關的教學;最后，要建構數學運算素養(yǎng)的“生長點”，形成教學的“著力點”，具體設計落實的措施。數學運算素養(yǎng)的特征有整體性、階段性、持久性等，“生長點”有扎實的運算知識、良好的運算習慣、積極的運算情感和適當的運算訓練等。

關鍵詞：數學運算素養(yǎng) 內涵 特征 生長點

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養(yǎng)。它是《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《2017版課標》）明確提出的學生需要著力發(fā)展的六大數學學科核心素養(yǎng)之一。但是，學生數學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的，發(fā)展學生的數學運算素養(yǎng)不只是高中數學教學的任務，小學、初中乃至大學都應將發(fā)展學生的數學運算素養(yǎng)作為數學教學的重要任務。只不過，不同的階段，數學運算素養(yǎng)的發(fā)展會有不同的要求。

要在初中階段較好地發(fā)展學生的數學運算素養(yǎng)，首先，要明晰數學運算素養(yǎng)的內涵，知道從哪些方面去發(fā)展;其次，要把握數學運算素養(yǎng)的特征，整體規(guī)劃相關的教學;最后，要建構數學運算素養(yǎng)的“生長點”，形成教學的“著力點”，具體設計落實的措施。本文擬結合一些案例談一談初中階段數學運算素養(yǎng)的內涵、特征及“生長點”。

一、數學運算素養(yǎng)的內涵

（一）運算能力

運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。它是《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《2011版課標》）給出的十個“核心詞”之一。從《2011版課標》給出的定義不難看出，運算能力的培養(yǎng)有運算法則和運算律這兩個重要的抓手。具有較強運算能力的具體體現是能夠根據運算法則正確地進行運算，能夠運用運算律簡化運算過程。說得直白一點，就是算得既快又對。由此可見，發(fā)展學生的運算能力僅需進行知識、技能層面上的操作。這也就導致不少一線初中數學教師在教學中強化運算法則的記憶和運算技巧的訓練（實際上就是運算律的應用），讓學生身陷運算的“題?！?。

（二）數學運算素養(yǎng)與運算能力

《2017版課標》還進一步明確了數學運算“主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等”，詳細闡述了數學運算的具體過程。事實上，不管哪個學段的數學學習，都要經歷這樣的運算過程。《2017版課標》還提出：“通過高中數學課程的學習，學生能進一步發(fā)展數學運算能力;有效借助運算方法解決實際問題;通過運算促進數學思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神?！憋@然，數學運算素養(yǎng)是在長期數學運算的基礎上形成的，適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的，與運算相關的知識、能力、情感與態(tài)度的總和。如果說運算能力是由運算法則和運算技巧形成的“二維平面”，那么數學運算素養(yǎng)則是由運算法則、運算技巧、運算思考、運算情感等構成的“多維空間”。可見，數學運算素養(yǎng)是運算能力的繼承和發(fā)展，運算能力是數學運算素養(yǎng)的“內核”，發(fā)展學生的數學運算素養(yǎng)必須從培養(yǎng)學生的運算能力開始。

（三）數學運算素養(yǎng)的內涵解讀

無論《2017版課標》，還是《2011版課標》，都對教材的編寫提出了具體的要求：教學內容的編排，不僅要符合學科知識體系，還要與學生的認知規(guī)律吻合。因而，不同學段的數學教學側重點也不同，這在數學運算上同樣有所體現。初中數學運算教學的主要內容有：數的計算、估值和近似計算，式的計算，數、式的變形，幾何圖形中幾何量的計算等。結合初中數學的特征和《2017版課標》給出的數學運算素養(yǎng)內涵，筆者以為，初中階段數學運算素養(yǎng)的內涵主要有四個方面：（1）會根據運算法則和數學公式對數、式、幾何量進行正確的運算;（2）能根據問題的條件與目標處理數據，對數、式、幾何量進行正確的變形，尋求與設計合理、簡捷的運算途徑;（3）能根據要求估算結果和進行近似計算;（4）具有良好的運算習慣和積極的運算情感，初步形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神。

二、數學運算素養(yǎng)的特征

（一）整體性

數學運算素養(yǎng)是與數學運算相關的知識技能、數學思考、問題解決和情感態(tài)度等的“綜合體”。其中，扎實的運算知識、熟練的運算技能是數學運算素養(yǎng)的顯性表現，而深度的數學思考、積極的情感態(tài)度則隱藏于學生解決問題的活動中，不易察覺。這四者相互影響，彼此融合，構成了數學運算素養(yǎng)這一整體。所以，一次有效的數學運算應該是四者的整體聯(lián)動：沒有知識技能的參與，是不可能算對的;缺少了深度思考和積極情感的投入，想要巧算、速算幾無可能;不指向問題的解決，則運算的價值不能顯現。只有四者整體并進、同步發(fā)展，學生的數學運算素養(yǎng)才能得到真正的發(fā)展。

本題是筆者為人教版初中數學七年級上冊“幾何圖形初步”的復習課設計的例題。題目中涉及的運算主要是角的和、差、倍、分，是“幾何圖形中幾何量的計算”。解答本題需要的基礎知識是角的分合、有理數的加減乘除和合并同類項等，蘊含的數學思想有類比、特殊與一般、整體等。這些都是學生解答與交流中能明確感知的。而所經歷的數學思考、運算情感體驗和運算態(tài)度變化等，學生是無法直接感知的，但這一切又真真切切地存在于運算過程中。

對這樣一道例題的探索與交流，可以調動學生的知識技能、數學思考、問題解決、情感態(tài)度等多要素參與。它們復雜地交織在一起，彼此關聯(lián)，相互影響;一個要素發(fā)展了，其他要素也會同步發(fā)展。最終，我們教學的成效或許沒有停留在一道數學題的解答、一個重要結論的獲得或一個數學模型的建構上，而指向學生數學運算素養(yǎng)整體發(fā)展這樣更高層次的目標。

（二）階段性

與學生的數學認知水平一樣，學生的數學運算素養(yǎng)也遵循“循序漸進，螺旋上升”的發(fā)展規(guī)律。在不同的認知階段，學生的數學運算素養(yǎng)會表現為不同的層次和水平。此外，根據數學發(fā)展的需要，同樣的運算在不同的階段會有不同的要求，這就是運算本身的階段性。因而，階段性也應是數學運算素養(yǎng)的一個重要特征。

上述案例中，學生看上去是在用乘法分配律進行計算，但體現出的數學素養(yǎng)卻具有明顯的階段性。在小學，他們應用乘法分配律時，僅涉及數的運算或非常簡單的式的運算。到了初中，不僅要涉及式的運算，還要涉及“幾何圖形中幾何量的運算”，甚至還會出現如第（3）問那樣逆用乘法分配律的情形。這是學生的運算知識積累和運算技能提升的結果。

再如，在小學，學生看見圓周率就會想到把3.14代入計算，而且會潛意識地調用“獲得3.14的整數倍結果”來簡化運算過程。到了初中，遇到要求“結果保留π”的問題時，代入3.14顯然就不行了。

（三）持久性

與其他的數學學科核心素養(yǎng)類似，數學運算素養(yǎng)的持久性有兩層含義：一是發(fā)展數學運算素養(yǎng)是一項與學生的數學學習生涯相伴的任務，要通過十幾年甚至幾十年的堅持方能完成;二是在學生未來的工作與生活中，數學運算素養(yǎng)將會得到持久的應用。

上述案例中，“參照有理數運算進行其他類型運算的經驗”“利用特殊與一般、整體等數學思想可以簡化數學運算的過程”等都是學生數學運算素養(yǎng)的重要組成部分。獲取這些素養(yǎng)絕非朝夕之功，它們是學生經歷了義務教育前兩個學段和七年級第一學期這6年半時間的數學運算后積累下來的;如果沒有始終如一的堅持，它們是很難“成型”的。而這些素養(yǎng)一旦形成，將會一直在學生的認知系統(tǒng)中，伴隨他們進一步學習、工作和生活，成為他們解決數學問題及數學以外問題的重要工具。

三、數學運算素養(yǎng)的“生長點”

（一）扎實的運算知識

章建躍先生說過：“掌握知識是形成素養(yǎng)的基礎，‘無知者無能，很難想象知識貧乏者會是一個高素養(yǎng)的人?！甭鋵嵉綌祵W運算教學中，就是要做到準、精、簡，充分發(fā)揮算理、算法、算序、算技等運算知識在發(fā)展學生數學運算素養(yǎng)中的作用。

算理關乎運算的意義和道理。只有準確把握算理，才能保證運算過程合理、方法適當、結果正確。所以，運算教學應從學生理解算理開始，設置指向算理的問題串，通過“一問再問”引發(fā)學生深度思考，使學生能準確把握每一種運算的含義和理由并合理應用。我們來看學生計算的一個式子：2x-x=2。這個式子顯然是不對的，那學生為什么會出錯呢？其實，在計算這樣的式子前，學生積累了這樣的生活經驗：幾個東西放在一起（有“相加”的意味），拿走一個東西（有“減去”的意味），還剩另一些東西，如兩把椅子和一張桌子，搬走了桌子，還剩下椅子。因此，在計算2x-x時，這個經驗被錯誤地遷移了過來：2是“兩把椅子”，x是“一張桌子”，2x-x就是“兩把椅子、一張桌子減去一張桌子”，結果2就是“留下的兩把椅子”。顯然，生活經驗的錯誤遷移，讓學生感覺2x就是2與x相加，而沒有理解2x的真正含義（2與x相乘），也就無法認識2x-x=x的理由（即x+x-x）。

除了重視算理之外，運算教學還要重視教材給定的算法、算序和基于運算律、運算公式生成的算技等運算知識。不妨再看一個學生計算的式子：（a-2b）²=a²-4b²。這同樣是一個錯誤的算式，問題又出在哪兒呢？學生知道單項式乘多項式2（a-b）=2a-2b可以應用乘法分配律，將括號前的因數2“公平”地分配給括號里的兩項a、-b;還知道積的乘方（ab）²=a²b²可以運用有關運算法則，將指數2“公平”地分配給兩個因式a、b。因此，學生很容易受到這里的“公平分配”算法的影響，得到算式（a-2b）²=a²-4b²。顯然，學生沒有理解“（a-2b）²的實質是（a-2b）（a-2b）”的算理是根本原因。同時，學生沒能準確地把握完全平方的算法也是重要的原因。學生如果知道（a-2b）²=（a-2b） （a-2b），接下來就能按照“多項式乘多項式”的算法、算序進行運算了。當然，學生如果能熟記完全平方公式，就可以給出更為簡化的運算過程了。

（二）良好的運算習慣

運算習慣是學生運算系統(tǒng)的重要組成部分。在教學中，我們應注重培養(yǎng)學生良好的運算習慣，讓學生在解題行為的不斷優(yōu)化中形成較強的運算能力和積極的運算情感，豐實數學運算素養(yǎng)的內涵。

1.審題習慣。

數學教學中，審題習慣的培養(yǎng)非常重要。運算教學中，我們應持續(xù)用固化的問題串，引導學生厘清題目中的數、式或幾何量，明確所涉及的運算類別和運算順序，為運算過程的展開掃清障礙。面對一道數學運算題，我們應引導學生有序地思考“有哪些數、式、幾何量和運算符號”“包含了哪幾種運算”“哪些數、式、幾何量可以先行轉化”“先算什么”“后算什么”“有哪些地方要注意”等問題。這種基于具體算式或情境的教學追問，能使學生的每一次運算都建立在有的放矢的條件梳理之上。如此反復經歷，教師的有意追問就會逐漸變成學生的自覺思考，良好的個性化審題習慣就會在自覺思考中逐步養(yǎng)成，個體的數學運算素養(yǎng)也在不斷提升。

2.思維習慣。

數學是思維的體操，離開了思維，數學學習是“玩不轉”的。面對一道數學運算題，僅僅會審題是遠遠不夠的：知曉參算對象、運算類別是第一步;接下來，還應努力嘗試從自己的認知系統(tǒng)中調用運算方法、運算技巧和運算經驗等。就算順風順水地算起來了，又怎么保證給出的過程就一定沒有瑕疵，給出的結果就一定正確呢？所以，運算時還需要適時地反思給出的過程和結果。而這一切，都源于良好的思維習慣。為此，我們可以結合運算題目的特征，循序漸進地引導學生思考運算方法和運算技巧，讓他們多想一想“怎么算”，反復推敲“行不行”，不斷思考“怎么改”。這種針對思維習慣進行的訓練，能讓學生逐步形成程序化的運算思維，明確知曉自己開展運算的每一步該想什么、該怎么想、該怎么便捷地想，從而形成正確、簡便的計算思路，并呈現出規(guī)范、翔實的運算過程。

3.驗算習慣。

驗算是檢查數學運算結果是否正確的基本方法。學生在小學階段就已經有了豐富的經歷，換序再算、互逆倒算、代入檢驗等是他們常用的驗算方法。到了初中，驗算的適用范圍得到了大幅的拓展，不僅有數式運算中的驗算，還有解方程、解不等式的驗算，以及建構模型（方程、不等式、函數等）解決實際問題時的驗算、圖形運算中的驗算等。良好的驗算習慣有助于學生發(fā)現運算失誤，及時調整運算過程。因而，運算教學的一項重要內容就是學生驗算習慣的培養(yǎng)。我們可以引導學生在運算過程中，反復進行題旁標注、分段驗算、回頭再算、代入復核等活動，通過驗算經驗的分享交流和不斷強化，逐步培養(yǎng)學生的驗算意識，以便他們盡早形成自主驗算的良好習慣。

4.書寫習慣。

“書寫無錯”是運算正確的必要條件。在數學運算教學中，我們應要求學生寫出格式規(guī)范、內容有序、字跡清晰的運算過程——即便是寫草稿。這不是作秀，而是為了讓學生能較為便捷地找到“問題”——就說草稿的“有序呈現”，很明顯，從亂七八糟的草稿中找尋“我錯在哪兒”是比較困難的事情。書寫習慣的培養(yǎng)是一項系統(tǒng)工程，需要多方參與，共同努力。作為數學教師，我們主要有五個抓手：（1）讓學生參照運算范式書寫規(guī)范而嚴謹的運算過程;（2）有計劃、有步驟地長期訓練學生的數學書寫;（3）定期評價學生書寫，并進行適當的獎勵與指導;（4）教師以身示范，課堂板書規(guī)范工整;（5）協(xié)調教師、家長和學生等各方力量，共同規(guī)范書寫。

（三）積極的運算情感

心理學認為，人的任何認知活動總是伴隨著情感，是在情感的影響下進行的。運算亦是如此，積極的運算情感，能激活學生的運算思維，有利于學生提取運算知識展開有效運算。但是，通常沒有人喜歡繁雜的數學運算。那么，如何讓學生獲得積極的運算情感呢？

1.評價激勵。

在學習過程中，每個學生都渴望被賞識。在數學運算教學中，對學生的運算過程，教師要及時用真誠的微笑、友善的目光、親切的贊語來評價激勵，讓他們感知自己所作運算的價值所在，激發(fā)他們的運算興趣。教師的評價激勵要正向，還要分層，不能僅僅以“對”或“好”來做簡單的評判。而學生的運算能力和水平或多或少存在差異，我們應正視這些差異，認同學生的原有能力和水平，順著他們運算素養(yǎng)的發(fā)展起點和發(fā)展速率實施評價，讓每一個個體都首先成為“較好的自己”，最終成為“最好的自己”。

例如，教學“配方法”時，學生學習了用配方法解一元二次方程后，教師讓學生從x²-2x=3、x²-3x-3、2x²-3x=3這三個方程中選擇一個求解。很快，絕大多數學生都給出了一個方程的解答過程。在隨后的交流中，基礎薄弱的學生就展示了解第一個方程的過程，并得到了表揚;而“中等生”和“學優(yōu)生”則分別展示了后兩個方程的解答過程，并都得到了正向評價;對于一些敢于挑戰(zhàn)自我，嘗試解高難度方程的學生，就算沒有給出完全正確的過程，教師同樣大加贊賞?？傊?，所有的學生都積極參與了整個解方程與交流的過程，積極正向的評價讓每一個人都感受到數學運算帶來的快樂。在這樣的分級設問、分級解答、分級評價中，每個學生的運算素養(yǎng)都得到了較好的發(fā)展。

2.榜樣示范。

數學運算，獲得正確的結果是終極目標，但沒有正確的過程，即使運算的結果正確也毫無意義。所以，發(fā)展學生的運算素養(yǎng)，我們應將著力點放到運算過程上，要通過運算范例給學生樹立榜樣，讓他們在“仿寫”中守住運算過程的“底線”，確保在獨立運算時不丟三落四。通過一段時間的有質量的訓練，學生的常規(guī)運算成果成為范例是極有可能的。

例如，教學“有理數的乘方”時，教師出示計算題：-10²+[（-4）²-（1-3²）×2]。這道題運算類別多，括號多，稍不注意，就會出錯。教師結合學生給出的板書，形成下頁圖2所示的范例，讓學生結合范例，調整自己的運算過程。這個范例審題規(guī)范，解題也規(guī)范：準確標記，合理分步，有序呈現。為學生運算樹立了榜樣，讓學生感受到數學的優(yōu)美與嚴謹，同時激發(fā)學生“仿寫”的沖動。接下來，教師便讓學生“仿寫”解答幾道計算題，讓學生進一步體驗范例的優(yōu)點。

（四）適當的運算訓練

數學教學中，為了鞏固知識、強化技能、感悟方法、積累經驗，一些適時、適量、適度的訓練是必不可少的。數學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)也不例外。運算訓練指向的不是解題，而是借助審、析、算等的磨礪，培養(yǎng)運算知識的提取與應用能力，形成嚴謹有序、反思質疑的運算思維，并充分感知運算過程的繁與簡，有效辨別運算結果的對與錯，積累運算經驗。學生一旦有了豐富的數學運算經驗，看到再繁雜的運算問題，也都不會慌張，而會努力地從已有經驗中搜索出可用的經驗來解決問題。

此外，我們必須準確把握運算練習的數量和質量，題目不要多，但要精。要知道，機械重復無意義的運算訓練，不僅會增加學生本已過重的學習負擔，而且會讓計算過程“程式化”“習慣化”，運算的警覺水平顯著降低，很多相同或相似的錯誤反復上演，運算訓練進入惡性循環(huán)，即“爛熟”沒有生巧，反而“生厭”“生笨”（李士锜教授語）。此外，要強調運算訓練的針對性，重點呈現與所學運算知識緊密聯(lián)系的、體現通性通法的基礎題、變式題、綜合題，以及學生易錯的同類型題，讓學生充分體會運算的合理性與多樣性。

最后，需要指出的是，數學運算素養(yǎng)不是孤立的，而是融入“四基”“四能”，與它們共生共長的。數學運算素養(yǎng)生成于獲取“四基”、提升“四能”的過程中，又進一步服務于“四基”的獲得和“四能”的提升。