基本幾何圖形在初中數(shù)學解題中的應用分析

摘?要：平面幾何是初中數(shù)學的重要教學內(nèi)容，也是學生后續(xù)學習立體幾何的基礎(chǔ)。隨著學習的深入，幾何內(nèi)容的難度會逐漸增加，教學內(nèi)容更加復雜。在處理復雜的幾何圖形問題時，學生的幾何基礎(chǔ)知識儲備以及利用基礎(chǔ)圖形拆解復雜圖形的能力尤為重要。通過基礎(chǔ)的圖形，學生能夠?qū)⑾嚓P(guān)的知識點應用到難題的處理中，方便學生快速找到問題的切入點，高效解決復雜的幾何問題。本文以蘇教版初中數(shù)學為例，借助具體的幾何問題梳理基本幾何圖形在復雜幾何問題中的應用，為廣大師生提供學習與解題參考。

關(guān)鍵詞：幾何圖形;初中數(shù)學;基礎(chǔ)

一、 基本圖形與基本圖形分析法

在幾何內(nèi)容中，圖形是重要的表達形式，基本幾何圖形就是組成圖形要素的最基本但又不缺失特定性質(zhì)的圖形組成，如平行四邊形、直角三角形、圓形等。在解決幾何問題時，根據(jù)已知條件，確定基本的圖形要素，借助這些基本圖形的性質(zhì)解決問題的思路方法就是基本圖形分析法，是一種以學生對幾何圖形性質(zhì)的準確把握與應用的思維方法。

對眾多的圖形要素進行歸納，可以發(fā)現(xiàn)初中數(shù)學的基本幾何圖形要素數(shù)量不多，但正是這些有限的圖形組合形成很多具備較強思維要求的難題。實際上，在復雜的幾何問題中，圖形要素都是由很多基本圖形組成的，在這種復雜的問題背景下，很多基礎(chǔ)的幾何性質(zhì)就會被學生忽略。所以解決這些問題的有效方法就是確定組成圖形的基本要素，借助基本圖形的性質(zhì)來確定問題的解決方法。

二、 基于基本圖形的教學應用

（一）固定基本圖形與概念原理之間的聯(lián)系

在幾何教學中，很多概念原理的界定都是通過基本圖形實現(xiàn)的，因此在教學過程中，教師要充分利用這種圖示化的表達。既有利于學生有效掌握原理內(nèi)容，更能幫助學生養(yǎng)成借助基本圖形去審視問題、思考問題的思維習慣，讓學生一看到某些圖形就能聯(lián)想到相應的定理內(nèi)容，一用到特定的概念原理就能想到相關(guān)的圖形表達，真正實現(xiàn)數(shù)學原理與基本幾何圖形的有機融合。

例如，在講解平行線的性質(zhì)與定理時，學生應該聯(lián)想到“三線八角”所包含的基本圖形。在講解圓的垂徑定理時，就會聯(lián)想到圖1所示的圖形，這個由圓和三角形、線段等基本幾何要素組合的圖形通過各個圖形的性質(zhì)界定了垂徑定理的性質(zhì)，是定理性質(zhì)的直觀化表達，這種可視化教學情境會讓學生更加深入地理解定理內(nèi)容。

（二）梳理歸納教學解題中常見的基本圖形

幾何問題千變?nèi)f化，涉及的圖形也各不相同，但是在教學中，教師需要引導學生從諸多的聯(lián)系中歸納總結(jié)一些出現(xiàn)頻次比較高的基本圖形，這是在解決幾何問題時學生能夠識別或構(gòu)造這些基本圖形的基礎(chǔ)。這一過程也可以提升學生的空間想象與分析推理能力。比如在《軸對稱》這一章節(jié)里，綜合題中一直會出現(xiàn)的兩個等邊三角形的“拉手問題”，好多題目都是由最基礎(chǔ)的圖形構(gòu)成或者旋轉(zhuǎn)以后形成的，好多結(jié)論都是通用的。

比如圖2：已知△ABC和△CDE均為等邊三角形，并且B、C、D三點共線，如圖。

1. 有幾對全等三角形（證一對）？

2. 除了全等得到的相等線段和相等角外，還有幾對相等線段？幾對相等角？請簡單說明。

3. 設(shè)AD、BE交于H，請求出∠AHB的度數(shù)（你能用幾種方法）。

4. 連接FG，請證明△CFG的形狀及線段FG和BD的位置關(guān)系。

5. 連結(jié)CH，求證CH平分∠BHD。

還有比如在教角平分線那一節(jié)內(nèi)容時，一直會出現(xiàn)的有關(guān)內(nèi)角、外角平分線的題目，這也是比較典型、比較基礎(chǔ)的，如果學生能夠記住方法結(jié)論，那么好多題目都可以事半功倍了。

如圖，直線m與直線n互相垂直，垂足為O，A、B兩點同時從點O出發(fā)，點A沿直線m向左運動，點B沿直線n向上運動。

（1）若∠BAO和∠ABO的平分線相交于點P，在點A、B的運動過程中，∠APB的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值;若發(fā)生變化，請說明理由;

（2）若△ABO的兩個外角的平分線AQ、BQ相交于點Q，AP的延長線交QB的延長線于點C，在點A、B的運動過程中，∠Q和∠C的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出∠Q和∠C的度數(shù);若發(fā)生變化，請說明理由。

對于這么復雜的題目，如果同學們能夠?qū)讉€基本圖形熟悉的話，那么解決這類題目就會簡單很多。

三、 基本圖形分析法的解題實踐

【案例】?如圖3所示，點P為銳角MAN內(nèi)的一點，過點P作PB⊥AM于點B，PC⊥AN于點C，以PB為直徑作圓O，與直線CP相交于D，連接AP、BD，圓O與AP相交于點E。

（1）求證∠BPD=∠BAC;

（2）連接EB、ED，當tan∠MAN=2，AB長度為25，在動點P的運動過程中，如果∠BDE=45°，試求解PD的長度。

【分析】?本題是動態(tài)問題，因一個角的變化而涉及不同線之間的關(guān)系，分層設(shè)問將三角形、圓等幾何問題與三角函數(shù)、方程等代數(shù)思想方法相結(jié)合，具備一定的難度。仔細觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)復雜的圖形都是由經(jīng)典的基本圖形構(gòu)成的，這就為學生的求解確定了方向，通過準確閱讀題意，結(jié)合已知信息與待求解的問題去拆分已知圖形，通過典型的幾何圖形及其性質(zhì)來求解。

【求解】?（1）要證明∠BPD與∠BAC相等，結(jié)合圖形信息，可以發(fā)現(xiàn)通過全等三角形來證明這兩個角相等比較困難，因此可以轉(zhuǎn)換思路，直接從證明角相等入手，通過構(gòu)造一個過渡角，轉(zhuǎn)換求解過程。

如圖4所示，將已知圖形進行簡化，構(gòu)造常規(guī)四邊形以及外角組成的基本圖形。由圖形信息可知，由于PB⊥AM于點B，PC⊥AN于點C，因此就有∠ABP+∠ACP=180°，因此∠1+∠3=∠2+∠3=180°，可得∠1與∠2相等，也就是∠BPD與∠BAC相等。

（2）解決這個問題的關(guān)鍵是圓內(nèi)部同弧所對的圓周角相等，可以得到三角形ABP為等腰直角三角形的條件，再借助勾股定理、相似三角形、三角函數(shù)等幾何、代數(shù)方法構(gòu)建方程進行求解。根據(jù)已知條件中的AB長度為25，tan∠MAN=2，可以聯(lián)想到在圖形中構(gòu)造直角。

如圖5所示，對圖形進行簡化處理，得到經(jīng)典的“八字形”以及圓。因為∠BPE=∠BDE=45°，并且∠ABP為直角，因此可得△ABP是等腰直角三角形，求解得出BP與AB的長度均為25，而tan∠BPD=tan∠MAN=2，設(shè)PD長度為x，那么BD長度就為2x，問題就轉(zhuǎn)變成直角三角形BPD中的勾股定理的應用，有PD2+BD2=BP2，即x2+（2x）2=（25）2，求解得到x的值為2，因此PD的長為2。

四、 結(jié)語

本文結(jié)合具體案例梳理了基本幾何圖形的識別與融合在解決復雜平面幾何問題中的應用，加深了對初中數(shù)學幾何問題的認識。在日常教學中，教師要通過強化基本幾何圖形在解題中的應用，通過解題實踐幫助學生掌握基本幾何圖形的運用方式，提升學生的幾何問題解題能力，為學生后續(xù)的學習與發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。

作者簡介：龔美玉，江蘇省常熟市，江蘇省常熟市唐市中學。