基于響應(yīng)面法和蒙特卡洛法的公路路塹邊坡穩(wěn)定性可靠度分析

閆強(qiáng) 廉向東

摘要：為了研究公路路塹邊坡穩(wěn)定性，分析邊坡的穩(wěn)定狀態(tài)，文章以某路塹邊坡為例，基于可靠度理論，采用響應(yīng)面法和蒙特卡洛法，對(duì)邊坡穩(wěn)定性敏感因素中的粘聚力和內(nèi)摩擦角兩個(gè)巖土參數(shù)進(jìn)行了分析。分析結(jié)果表明：響應(yīng)面法和蒙特卡洛法所得可靠度指標(biāo)存在一定誤差，其計(jì)算值分別為2.966 4和3.252 6;粘聚力及內(nèi)摩擦角均值與可靠度指標(biāo)呈正相關(guān)，兩者變異系數(shù)、相關(guān)系數(shù)與可靠度指標(biāo)呈負(fù)相關(guān)。

關(guān)鍵詞：公路路塹;響應(yīng)面法;穩(wěn)定性;蒙特卡洛法;可靠度

0 引言

公路路塹邊坡的穩(wěn)定性問題一直備受關(guān)注，眾多工程研究人員對(duì)邊坡穩(wěn)定狀態(tài)也進(jìn)行了持續(xù)的分析研究，但未能有效解決。陳沛等提出了基于隨機(jī)響應(yīng)面法的風(fēng)化巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定可靠度分析方法[1];鄧志平等研究了考慮地層變異性和土體參數(shù)空間變異性的邊坡可靠度全概率設(shè)計(jì)方法[2]。這些基于可靠度理論的邊坡穩(wěn)定性分析研究，為邊坡穩(wěn)定狀態(tài)的判斷提供了理論基礎(chǔ)，但也存在一定的應(yīng)用局限性和缺乏足夠的實(shí)踐驗(yàn)證性。

本文以廣西某擴(kuò)建高速公路路塹邊坡為工程實(shí)例，基于可靠度理論，采用響應(yīng)面法和蒙特卡洛法分析了邊坡的可靠性，提出了邊坡的可靠度指標(biāo)，并研究了相關(guān)系數(shù)與可靠度之間的關(guān)系，為邊坡的開挖、施工提供了一定的依據(jù)。

1 可靠度分析理論

不確定性存在三種情況：（1）隨機(jī)性：指因發(fā)生條件的不充分、控制條件的不同和發(fā)生要素的差異，導(dǎo)致同樣過程的不同結(jié)果，這類情況一般采用概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)或隨機(jī)過程等理論進(jìn)行分析;（2）模糊性：指的是未能清晰界定邊界的事物，或因評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)的不明確而導(dǎo)致的不確定性，這類問題可以利用Zadeh的模糊性數(shù)學(xué)進(jìn)行分析;（3）知識(shí)的不完備性：這類問題尚無成熟的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究，而針對(duì)巖土結(jié)構(gòu)的可靠性分析是基于設(shè)定的時(shí)間里、設(shè)定的參數(shù)條件下結(jié)構(gòu)所完成的功能特征，采用可靠度進(jìn)行表征。結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量采用X表示，其功能函數(shù)用g（X）表示，其工作狀態(tài)表達(dá)式如下：

隨機(jī)變量分析和失效概率計(jì)算是可靠度分析中的兩個(gè)關(guān)鍵分析要素。通常情況下，隨機(jī)變量是影響邊坡穩(wěn)定性的主要因素，因此對(duì)邊坡的失穩(wěn)研究可以利用基于隨機(jī)變量的可靠度分析方法，如響應(yīng)面法、蒙特卡洛法或FORM法[3-5]。

2 可靠度分析方法

2.1 響應(yīng)面法

在巖土工程實(shí)踐中，由于許多大型巖土結(jié)構(gòu)的構(gòu)造通常均非常龐雜，因此若想獲取具有明確表達(dá)的函數(shù)關(guān)系式通常較為困難。而響應(yīng)面法是將隱式函數(shù)用顯示函數(shù)代替，結(jié)構(gòu)可靠度分析的過程，即利用較少的確定性測(cè)試擬合響應(yīng)面，然后將實(shí)際條件下的極限狀態(tài)曲面用該響應(yīng)面替換，最后再利用其他方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的可靠性分析[6-7]。

采用響應(yīng)面法是將隨機(jī)變量均值作為初始迭代點(diǎn)，繼而計(jì)算函數(shù)以計(jì)算（2n+1）個(gè)點(diǎn)估計(jì)值，之后再使用這些點(diǎn)來求解方程式（2）中未確定的系數(shù)，從而獲得極限狀態(tài)方程。利用傳統(tǒng)的可靠性分析方法求解驗(yàn)證點(diǎn)X*（k）和可靠性指數(shù)β（k），其中k是迭代次數(shù)，再通過設(shè)定精度α以檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果，將驗(yàn)算點(diǎn)作為平衡點(diǎn)重新迭代直至滿足條件，最后計(jì)算失效概率。

2.2 蒙特卡洛法

Monte Carlo法簡(jiǎn)稱MC，該方法也稱為統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法或隨機(jī)模擬方法。這種方法精度相對(duì)較高，但是計(jì)算量大，宜應(yīng)用于比較繁冗復(fù)雜的可靠度分析。蒙特卡洛法的計(jì)算過程為：第一步確定函數(shù)的失效條件或結(jié)構(gòu)的失效模式，第二步對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行n次采樣，第三步計(jì)算函數(shù)值。假設(shè)小于0的函數(shù)值的數(shù)量是L，則將失效概率以L/n計(jì)[8-9]。

基于伯努利在數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)中的大數(shù)定理，當(dāng)n足夠大時(shí)，隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率f在概率p處收斂。鑒于小概率事件其功能函數(shù)小于0的概率極其微小這一因素，故當(dāng)n的值恒定時(shí)計(jì)算精度不高。為了獲得更高的可靠性指標(biāo)，n的取值必須很大。因此需要統(tǒng)計(jì)計(jì)算n個(gè)樣本得到函數(shù)值，從而得出功能函數(shù)的特征參數(shù)和函數(shù)分布特征，最后再就可靠度問題對(duì)所得功能函數(shù)進(jìn)行分析。通過隨機(jī)抽樣方式，獲取兩個(gè)隨機(jī)變量的樣本值，此樣本值服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，具體如下：

其中：r1、r2——服從均勻分布的兩個(gè)隨機(jī)數(shù);

R1、R2——兩個(gè)隨機(jī)樣本值，符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

文獻(xiàn)表明[10]：邊坡巖土的粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ對(duì)邊坡穩(wěn)定性影響較大，粘聚力和內(nèi)摩擦角的抽樣公式為：

3 邊坡穩(wěn)定性可靠度分析

本節(jié)以廣西某擴(kuò)建高速公路路塹邊坡為例，針對(duì)主要影響邊坡穩(wěn)定性的粘聚力c及內(nèi)摩擦角φ兩個(gè)參數(shù)，采用響應(yīng)面法和蒙特卡洛法對(duì)影響邊坡穩(wěn)定性的因素進(jìn)行可靠性分析。具體流程詳見圖1。

3.1 響應(yīng)面法分析

本小節(jié)利用響應(yīng)面法就邊坡穩(wěn)定性可靠度進(jìn)行了詳細(xì)的計(jì)算分析，相關(guān)邊坡巖體參數(shù)取值詳見表1。

計(jì)算結(jié)果詳見表2。結(jié)果表明：使用響應(yīng)面法計(jì)算所需的可靠性指數(shù)僅需迭代3～4次。

3.2 蒙特卡洛法分析

計(jì)算與不同采樣數(shù)量對(duì)應(yīng)的可靠指標(biāo)，并將其繪制在圖2中。由圖2可知：采樣數(shù)<6 200次其可靠性指標(biāo)分布浮動(dòng)較大，而當(dāng)采樣數(shù)>6 200次后其可靠性指標(biāo)分布趨向穩(wěn)定。

樣本數(shù)n處于6 200次時(shí)所測(cè)得的安全系數(shù)概率分布曲線和概率密度曲線結(jié)果分別如圖3和圖4所示。測(cè)試結(jié)果表明，安全系數(shù)曲線與正態(tài)分布曲線吻合良好，服從正態(tài)分布。

基于計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，響應(yīng)面法和蒙特卡洛法計(jì)算的可靠性指標(biāo)分別為2.966 4和3.252 6，兩種計(jì)算方法存在誤差。這是因?yàn)閮煞N計(jì)算方法的準(zhǔn)確性取決于隨機(jī)變量的函數(shù)分布，函數(shù)的非線性程度越高，其所得可靠性指標(biāo)的差異越大。

3.3 影響因素分析

本文為分析粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ兩因素對(duì)邊坡穩(wěn)定性可靠度的影響，計(jì)算樣本數(shù)n為6 200次時(shí)兩者的均值、變異系數(shù)等參數(shù)。圖5～8為各參數(shù)計(jì)算結(jié)果變化趨勢(shì)曲線。

由圖示結(jié)果可知：粘聚力均值和內(nèi)摩擦角均值與可靠度指標(biāo)呈正相關(guān)，兩者對(duì)應(yīng)的變異系數(shù)和相關(guān)系數(shù)與可靠性指標(biāo)呈反相關(guān)，兩者之間的變異系數(shù)對(duì)可靠性指標(biāo)的影響最大，內(nèi)摩擦角均值對(duì)可靠性指標(biāo)的影響大于粘聚力均值，兩者之間的相關(guān)系數(shù)對(duì)可靠性指標(biāo)的影響最小，一般情況下可以忽略不計(jì)。

4 結(jié)語

（1）采用響應(yīng)面法計(jì)算所得可靠度指標(biāo)值為2.966 4，而采用蒙特卡洛法計(jì)算可靠度指標(biāo)值為3.252 6，兩者存在一定的誤差。計(jì)算的準(zhǔn)確性在很大程度上受隨機(jī)變量分布函數(shù)的影響。

（2）粘聚力和內(nèi)摩擦角的平均值與可靠性指標(biāo)呈正相關(guān)，粘聚力和內(nèi)摩擦角的變異系數(shù)和相關(guān)系數(shù)與可靠性指標(biāo)呈反相關(guān)。兩者之間的變異系數(shù)對(duì)可靠性指標(biāo)的影響最大，內(nèi)摩擦角均值對(duì)可靠性指標(biāo)的影響大于粘聚力均值，兩者之間的相關(guān)系數(shù)影響最小，一般可以忽略。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳 沛，苗作華，董 舒，等.基于隨機(jī)響應(yīng)面法的風(fēng)化巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定可靠度分析[J].礦業(yè)研究與開發(fā)，2018，38（11）：51-56.

[2]鄧志平，牛景太，潘 敏，等.考慮地層變異性和土體參數(shù)空間變異性的邊坡可靠度全概率設(shè)計(jì)方法[J].巖土工程學(xué)報(bào)，2019，41（6）：1 083-1 090.

[3]張 海，李 帆，陽 芳.土層參數(shù)隨機(jī)性對(duì)多層土模型傳遞函數(shù)的影響[J].山東農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011（4）：555-560.

[4]陳榮江，張萬琴.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.

[5]秦 權(quán)，林道錦，梅 剛.結(jié)構(gòu)可靠度隨機(jī)有限元-理論及工程應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006.

[6]蔣水華，李典慶，方國光.結(jié)構(gòu)可靠度分析的響應(yīng)面法和隨機(jī)響應(yīng)面法的比較[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版），2012（1）：46-53.

[7]楊成永，張 彌，白小亮.用于結(jié)構(gòu)可靠度分析的多響應(yīng)面法[J].北方交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2001（1）：1-4.

[8]張光鵬.基于蒙特卡羅法的黃土滑坡穩(wěn)定性研究[D].蘭州：蘭州大學(xué)，2013.

[9]褚雪松，李 亮.偽蒙特卡羅法及其在邊坡可靠度分析中的應(yīng)用[J].土木建筑與環(huán)境工程，2013（6）：33-39.

[10]閆 強(qiáng).高速公路改擴(kuò)建工程高邊坡開挖過程穩(wěn)定性研究[D].西安：長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院，2015.

作者簡(jiǎn)介：閆 強(qiáng)（1982—），高級(jí)工程師，主要從事道路工程建設(shè)管理工作。

基金項(xiàng)目：中國博士后科學(xué)基金（2019M663872XB）