試題講評有技巧 角度變換擴思路

孫林源

摘 ? 要：高中階段考試頻繁，面對各式各樣的檢測試卷，同一知識點試題命制又常常多變，使得部分考生疲于應付，題目做的很多，但又不得其法;課堂教學中，部分教師可能由于課時限制，教學任務重，講評試題也是蜻蜓點水，一帶而過;教師講的和學生們想的不一致的現(xiàn)象多有發(fā)生，導致學生遇到同一知識點或同一種題型，做了錯了，錯了又做，還是錯誤頻出。針對這一現(xiàn)象，筆者認為試題講評時變換角度可以擴展思路。一題多解、一題多變不失為一種很好的選擇。這樣可以變“解題”為“解決問題”，提高師生對知識規(guī)律的理解能力，同時也促進學生思維能力的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：試題講評;滑塊—木板;一題多解;一題多問;一題多變

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2020）5-0057-6

“滑塊—木板”模型涉及多個物體，并且物體之間存在相對運動。疊放在一起的滑塊和木板，它們之間存在著相互作用力，在其他外力作用下，它們的加速度相同或不同，或二者的速度不同。無論哪種情況，受力分析和運動過程分析都是關(guān)鍵所在。題目既可以求速度、時間、位移或相對位移，還可以求動能、動量、熱量等，題目復雜而多變。遇到此類試題，學生答題情況不容樂觀;卷面反映出規(guī)律選用混亂，答案千奇百怪。從試題講評的角度來說，應該想辦法讓學生認識到解題的多樣性，以及對同一物體同一過程規(guī)律的選用也是有技巧的，如果規(guī)律選用恰當合理，會使解題過程變得簡潔明了。同時，也想說明講評試題不能只就題論題，還可以“借題發(fā)揮”，對題設(shè)條件或所求答案進行適當變換擴展，做到講一題通一類，切實提高學生解決問題的能力。

現(xiàn)在就結(jié)合以下例題進行具體講解，以供師生借鑒學習。如有不當之處，敬請批評指正。

例 如圖1所示，C是放在光滑的水平面上的一塊木板，木板的質(zhì)量為3m，在木板的上面有兩塊質(zhì)量均為m的小滑塊A和B，它們與木板間的動摩擦因數(shù)均為μ。最初木板靜止，A、B兩滑塊同時以方向水平向右的初速度在木板上滑動，木板足夠長，A、B始終未滑離木板。求：

（1）滑塊B從剛開始運動到與木板C速度剛好相等的過程中，滑塊B的位移大小;

（2）滑塊A在整個過程中的最小速度;

（3）整個過程中，A、B兩滑塊相對于木板滑動的總路程是多少？

解題策略 首先要分析滑塊A、B和木板C的受力情況，判斷出三者是如何運動的;滑塊A、B以不同的速度在木板上滑動時，A、B受木板C對它們的滑動摩擦力作用，兩者都會做勻減速直線運動;同時，木板C受到滑塊A、B對它的滑動摩擦力作用，必然向右做勻加速直線運動（因為地面光滑）。當滑塊A速度減小到與木板C速度相等時，需要進一步分析滑塊A和木板C將如何運動，此時滑塊B仍然有向右的速度。

其次，在A、C速度相等之后，需要判斷出下一步A、C將如何運動，是一起加速運動，還是勻速運動或是減速運動。此過程滑塊B必然繼續(xù)勻減速運動。把A、C作為整體進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可以求出兩者共同的加速度。與滑塊A的最大加速度進行比較，如果小于，則說明兩者共同加速運動，反之，則會發(fā)生相對運動。再分析A、C與B是如何運動的，最后判斷出A、B、C一起勻速運動。

最后，在規(guī)律選擇上，需要根據(jù)題中所問問題，選擇相應的規(guī)律公式進行解答。如可以按照上述分析思路進行解答（如圖2）。

也可以根據(jù)題中條件，選擇動量守恒定律和動能定理進行求解（如圖3）。

還可以根據(jù)題中條件，選擇動量守恒定律、動量定理求出速度、時間，再根據(jù)運動學公式或者動能定理進行求解（如圖4）。

甚至還可以采用系統(tǒng)觀點，利用能量守恒定律進行求解。可選擇的方法很多，但是千萬不要用混淆。下面逐一求解。

解法1 利用牛頓運動定律和運動學公式求解（常規(guī)方法一）

根據(jù)題意，對滑塊A、B和木板C進行受力分析，如圖5所示。

可以判斷出滑塊A、B均向右做勻減速直線運動;木板C向右做初速度為零的勻加速直線運動。滑塊A速度減小到與木板C的速度相等時，設(shè)用時t1，此時速度為v1。根據(jù)勻變速直線運動的公式可以得：

v1=v0-μgt1= μgt1

解得：t1= ，v1= v0

所以，在0～t1時間內(nèi)：

滑塊A的位移為：

xA1= t1= × =

滑塊B這一時刻的速度為：

vB1=2v0-μg× = v0

滑塊B的位移為：

xB1= t1= × =

木板C的位移為：

xC1= t1= × =

可見，此過程中滑塊A相對于木板C發(fā)生的位移為：

ΔxAC=xA1-xC1= ?- ?=

此過程中滑塊B相對于木板C發(fā)生的位移為：

ΔxBC=xB1-xC1= ?- ?=

隨后，對A、C整體進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求得：

aAC= = μg

說明A、C整體將向右做勻加速直線運動，同時滑塊B繼續(xù)向右做勻減速直線運動。

設(shè)從該時刻到三者共速時所用時間為t2，此時共同運動的速度為v2。根據(jù)勻變速直線運動的公式可以得：

v2=vB1-μgt2=v1+ μgt2

解得：t = = ，v2= v0

所以，在時間t1～t2內(nèi)A、C的位移為：

xAC2= t2= × =

滑塊B的位移為：

xB2= t2= × =

可見，此過程中滑塊A相對于木板C發(fā)生的位移為：ΔxA2=0

此過程中滑塊B相對于木板C發(fā)生的位移為：

ΔxB2=xB2-xAC2= ?- ?=

整個過程滑塊A、B與木板C的運動示意圖如圖6所示。

因此，第1問滑塊B從剛開始運動到與木板C速度剛好相等的過程中，滑塊B的位移大小為：

xB=xB1+xB2= ?+ ?=

第2問滑塊A在整個過程中的最小速度應該為t1時刻A的速度v1= v0

第3問整個過程中，A、B兩滑塊相對于木板滑動的總路程是Δx =ΔxA1+ΔxB1+ΔxB2= ?+ ?+ ?= ?=1.6

【點評】利用牛頓運動定律和運動學公式求解應該是最常規(guī)的解法之一。對絕大多數(shù)考生而言，分析起點低，過程清晰明了，只要基本功扎實，就可以很好地解決問題。這也是高中生必備的一種解題能力。教學中教師應該引導學生重視基礎(chǔ)，不要總是好高騖遠。練好雙基，加強對基本過程、基本規(guī)律分析應用能力的訓練才是王道。

解法2 利用牛頓運動定律和動能定理進行求解（常規(guī)方法二）

根據(jù)題意，對滑塊A、B和木板C進行受力分析，由牛頓第二定律得：

對滑塊A：μmg=maA，aA=μg

對滑塊B：μmg=maB，aB=μg

對木板C：μmg+μmg=3maC，aC= μg

可以判斷出滑塊A、B均向右做勻減速直線運動;木板C向右做初速度為零的勻加速直線運動。滑塊A速度減小到與木板C增加的速度相等時，設(shè)用時t1，此時速度為v1，根據(jù)勻變速直線運動的公式可以得：

v1=v0-μgt1= ugt1

解得：t1= ，v1= v0

隨后，對A、C整體進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求得：

aAC= = μg

說明A、C整體將向右做勻加速直線運動，同時滑塊B繼續(xù)向右做勻減速直線運動。

設(shè)從該時刻到三者共速時所用時間為t2，此時共同運動的速度為v2。根據(jù)勻變速直線運動的公式可以得：

v2=vB1-μgt2=v1+ μgt2

解得：t = = ，v2= v0

因此，第1問滑塊B從剛開始運動到與木板C速度剛好相等的過程中，對滑塊B而言，整個過程中只有木板C對滑塊B的滑動摩擦力做了負功。設(shè)滑塊B的位移為xB，由動能定理可得：

-μmgxB= mv ?- m（2v0）2

解得： xB= = =

所以，滑塊B生的位移為：xB=

第2問，根據(jù)上面的分析不難看出，滑塊A在整個過程中的最小速度應該為t1時刻A的速度v1= v 。

第3問中，在0～t1時間內(nèi)：對滑塊A只有木板C對它的滑動摩擦力做負功。設(shè)滑塊A發(fā)生的位移為xA1，由動能定理可得：

-μmgxA1= mv ?- mv

解得：

xA1= = =

在0～t1時間內(nèi)：滑塊A、B對木板C的滑動摩擦力做正功。設(shè)木板C發(fā)生的位移為xC1，由動能定理可得：（μmg+μmg）xC1= 3mv

解得：

xC1= = =

所以，在0～t1時間內(nèi)，滑塊A相對木板C發(fā)生的位移為：

ΔxAC=xA1-xC1= ?- ? =

在t1～t2時間內(nèi)，滑塊A與木板C共同運動，兩者之間沒有發(fā)生相對位移;對A、C整體而言，受滑塊B對A、C整體的滑動摩擦力做正功，設(shè)A、C整體發(fā)生的位移為xAC2，根據(jù)動能定理可得：

μmgxAC2 = 4mv ?- 4mv

解得：

xAC2 = = =

在整個過程中，A、B兩滑塊相對于木板C滑動的總路程是：

Δx =ΔxAC+ΔxB-xC1-xAC2= ?+ ?- ?- ?= ?=1.6

【點評】利用牛頓運動定律和動能定理進行求解也是常規(guī)方法之一，由于本題中沒有直接給出末速度，所以要先由牛頓運動定律對過程進行分析，運用運動學公式求出t1、t2以及v1、v2;然后再選擇動能定理計算相應的位移，并根據(jù)三者的運動關(guān)系，求出所需要的物理量。方法雖然比較繞，但是運用動能定理解決物理問題也是常用的方法之一，也是要求考生必須要掌握的基本方法之一。

解法3 運用動量守恒定律和動能定理進行求解（常規(guī)方法三）

由于地面光滑，所以把滑塊A、B和木板C看作整體進行分析，整個系統(tǒng)所受合外力為零，滿足動量守恒的條件;剛開始滑塊A、B都做減速運動，且運動過程的加速度都一樣，即任意時刻兩者的速度差將保持不變。即vB-vA=2v0-v0=v0。木板C受滑塊A、B的滑動摩擦力作用而向右加速運動，很容易判斷出先是A、C速度一樣，后再共同加速，最后與滑塊B的速度一樣，三者共同勻速運動。設(shè)滑塊A與木板C第一次共速時的速度為v1，最后三者共同運動的速度為v2，則從開始到A、C第一次共速時，選向右為正方向，由動量守恒定律可得：

mv0+m2v0=（m+3m）v1+mvB1 ?（1）

此時滑塊A、B速度的差為：

vB1-v1=v0（2）

聯(lián)立（1）（2）式解得：

v1= v0，vB1= v0

同理，對全過程而言，由動量守恒定律可得：

mv0+m2v0=（m+m+3m）v2

解得：v2= v0

只要求出兩者的速度，求解答案就顯得輕松多了。

可以參考解法二的求解過程，這里不再續(xù)寫。

【點評】 運用動量守恒定律和動能定理進行求解也是常規(guī)方法之一。本題求解中巧妙地引入滑塊A、B速度之差不變這一結(jié)論，使得解題變得更加輕松了;但是，要注意這個條件成立只適合第一個過程，因為第一個過程中滑塊A、B運動的加速度一樣，兩者速度減少的一樣多，所以速度差才保持不變。第二個過程就不符合。

只要速度求出來，再運用動能定理求解滑塊A、B和木板C的位移就類同解法二;其實也可以采用勻變速直線運動的公式x= 計算位移，這里也不再作為新解法進行說明。

解法4 觀察解法3，前兩問求解不變;在第3問的求解中，我們可以對整個系統(tǒng)運用能量守恒定律進行求解。對整個系統(tǒng)而言，最后的速度變小了，其原因是什么呢？地面光滑，沒有能量損失，系統(tǒng)機械能減少的原因一定是系統(tǒng)中物體之間發(fā)生相對運動，從而導致系統(tǒng)摩擦生熱。而系統(tǒng)摩擦生熱不就是滑塊A、B與木板C發(fā)生相對運動而產(chǎn)生的嗎？因此，利用能量守恒定律可得：

μmgΔxA+μmgΔxB= mv ?+ m（2v ）2- （m+m+3m）v

解得：

ΔxA+ΔxB= = ?=1.6

【點評】 此種方法要比解法3更好。動量守恒定律與能量守恒定律的研究對象都是整體系統(tǒng)，且研究的都是整體過程的，所以兩者結(jié)合起來應用也是比較常見的方法之一。

解法5 利用v-t圖像進行求解。（常規(guī)方法五）

根據(jù)題意，對滑塊A、B和木板C進行受力分析，由牛頓第二定律得：

對滑塊A：-μmg=maA，aA=-μg

對滑塊B：-μmg=maB，aB=-μg

說明滑塊A、B都將向右做勻減速直線運動。

對木板C： μmg+μmg=3maC，aC= μg

木板C將向右做勻加速直線運動。

作出滑塊A、B和木板C的v-t圖像如圖7（a）所示。

從圖中可以看出，滑塊A速度減小到與木板C增加的速度相等，設(shè)所用時間為t1，此時速度為v1;根據(jù)公式可以得：

v1=v0-μgt1= μgt1

解得：t1= ， v1= v0

此時滑塊B的速度為vB1=2v0-μgt1= v0，將數(shù)據(jù)標入圖7（a）中。

隨后，對A、C整體進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求得：

aAC= = μg

說明A、C整體將向右做勻加速直線運動，同時滑塊B繼續(xù)向右做勻減速直線運動。

設(shè)從該時刻到三者共速時所用時間為t2，此時共同運動的速度為v2。根據(jù)公式可以得：

v2=vB1-μgt2=v1+ μgt2

解得：t2= = ，v2= v0，達到共速時值為 ，將數(shù)值標入圖7（b）中。

最后，滑塊A、B和木板C以 v0的速度共同運動下去。

觀察作出的v-t圖像可以求得：

第1問滑塊B從剛開始運動到與木板C速度剛好相等的過程中，如圖7（c）陰影部分面積，滑塊B的位移大小為：

x =S = × =

第2問從圖7中可以看出，滑塊A在整個過程中的最小速度應該為t1時刻A的速度：

v1= v0

第3問整個過程中，A、B兩滑塊相對于木板滑動的總路程[如圖7（d）加圖7（e）中的陰影部分面積所示]是：

Δx =ΔSA+ΔSB= v0× ?+ ×

+ （ v0- v0）× ?= ?+ ?+ ?= ?=1.6

【點評】 作v-t圖像分析“滑塊—木板”模型也是最常用的解題方法之一。其特點就是形象直觀，我們可以從畫圖的過程中直觀地找到速度的轉(zhuǎn)折點，再根據(jù)受力分析和牛頓第二定律進行狀態(tài)判斷，求出加速度后，根據(jù)各個物體的運動性質(zhì)繼續(xù)補全圖像，直到分析出最后的狀態(tài)為止。然后，根據(jù)圖像圍成的面積求相對位移，根據(jù)圖像直線的變化求出速度的最小值。當然，也可以求出所需要的時間、加速度等物理量，使用起來相當順手。

下面我們繼續(xù)深入探討，學著改編題目，真正“借題發(fā)揮”，讓我們的試題講評更進一步。

【變式】 題干不變，問法改變。

（1）剛開始運動時滑塊A、B的加速度為多少？木板C的加速度為多少？

（2）當滑塊A與木板C速度相等時，用了多長時間？此時速度為多少？木板C發(fā)生的位移為多少？

（3）系統(tǒng)最終的速度為多少？總共用了多長時間？此過程滑塊A發(fā)生的位移為多少？

（4）滑塊A、B最終相對木板C發(fā)生的位移分別為多少？

（5）整個運動過程中滑塊B比滑塊A多運動的位移是多少？

（6）最終滑塊B克服摩擦力做了多少功？

（7）當滑塊A與木板C速度相等時，計算滑塊B和木板C摩擦力的瞬時功率。

（8）整個運動過程中，因滑塊B系統(tǒng)多增加的內(nèi)能是多少？滑塊A多還是滑塊B多？

（9）計算整個運動過程中，滑塊A、B機械能的變化量。

（10）整個運動過程中，計算系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能。

（11）在整個運動過程中，滑塊A和滑塊B動量變化了多少？

（12）最終木板C動量是多少？相比滑塊B而言，比較兩者動量變化量的大小。

（13）試作出滑塊A、B和木板C的速度圖像。并求出滑塊A和滑塊B相對木板C運動的總路程。

......

總之，在試題講評中，要善于發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)方法，規(guī)范書寫;并學會“借力打力”，巧借母題（典型題或常錯題），一題多解，訓練方法;一題多問，降階發(fā)問;一題多變，適當擴展，提高試題講評課的實效。（欄目編輯 ? ?羅琬華）