偏度約束的負(fù)半熵-下半方差投資組合研究

歐 攀,王 沁,段靜靜,周文浩

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611756)

現(xiàn)代投資理論的核心是投資組合理論。1952年，MARKOWITZ提出的均值方差模型,開(kāi)創(chuàng)了投資組合量化風(fēng)險(xiǎn)的先例。在均值方差模型中，假設(shè)資產(chǎn)組合收益率服從正態(tài)分布，用二階中心矩(方差)作為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)、一階矩(期望)作為收益度量指標(biāo)，研究在一定風(fēng)險(xiǎn)水平上取得最大的預(yù)期收益或在一定收益水平上使風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小的投資組合選擇問(wèn)題。

近年來(lái)，越來(lái)越多的學(xué)者關(guān)注資產(chǎn)組合研究。如王延章等[1]考慮投資者在實(shí)際投資時(shí)更關(guān)心資產(chǎn)收益低于預(yù)期收益的那部分風(fēng)險(xiǎn)，因此將下半方差模型應(yīng)用于債券投資；鄭偉[2]指出收益分布并非對(duì)稱(chēng)的正態(tài)分布；艾克鳳[3]研究指出資產(chǎn)的收益率服從非對(duì)稱(chēng)的厚尾分布；DITTMAR[4]的研究表明投資者在做出投資組合選擇時(shí)考慮資產(chǎn)或資產(chǎn)組合收益率高階矩的情況，在期望和方差相同的情況下絕大多數(shù)投資者偏愛(ài)具有較大的三階中心矩的收益率；BRITO等[5]在半方差度量風(fēng)險(xiǎn)的基礎(chǔ)上引入三階矩偏度系數(shù)；王波等[6]考慮用CVaR代替方差度量資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，建立投資組合模型，并選取滬市和深市的8支股票進(jìn)行實(shí)證分析。而后大量學(xué)者從信息熵的角度去度量風(fēng)險(xiǎn)，如徐湘[7]建立了可做空的Tsallis廣義熵投資決策模型；RAO等[8]給出累積熵投資組合模型；張鵬等[9]給出了熵約束的投資組合模型；朱業(yè)春等[10]給出了熵補(bǔ)償?shù)腂lack-Litterman投資組合模型；宋燕玲等[11]給出了帶偏度約束的正弦熵投資組合模型。

筆者考慮從收益率下跌風(fēng)險(xiǎn)的角度，用負(fù)半熵和半方差共同量化下跌的信息，引入偏度量化高階矩風(fēng)險(xiǎn)，從而構(gòu)建負(fù)半熵-下半方差-偏度投資組合模型，并給出了模型的隱式解，以期為投資者進(jìn)行資產(chǎn)配置、資產(chǎn)選擇和風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)時(shí)提供一定的指導(dǎo)。

1 模型的構(gòu)建與推導(dǎo)

1.1 建立模型

假設(shè)n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間相互獨(dú)立，以收益率的均值來(lái)刻畫(huà)收益，以收益率的下半方差和負(fù)半熵量化風(fēng)險(xiǎn)，既考慮了未來(lái)收益率的隨機(jī)不確定性，又兼顧了股市漲跌信息隱形的不對(duì)稱(chēng)性，使風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度指標(biāo)更加全面、精確和合理。偏度是衡量各個(gè)可能的收益率對(duì)期望值偏離的大小，偏度通常越大越好(一般大于0即可)。研究目標(biāo)是最大化收益的同時(shí)最小化風(fēng)險(xiǎn)，故構(gòu)建下半方差和負(fù)半熵盡量小、偏度盡量大的目標(biāo)函數(shù)以使風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，同時(shí)構(gòu)建組合資產(chǎn)的期望收益率盡量大的目標(biāo)函數(shù)以使收益盡可能大。建立的多目標(biāo)投資組合優(yōu)化模型為：

(1)

1.2 模型的推導(dǎo)

對(duì)于多目標(biāo)組合投資模型，基于文獻(xiàn)[12]的線性解法，將量化組合資產(chǎn)收益低于預(yù)期收益的那部分風(fēng)險(xiǎn)的下半方差與負(fù)半熵作為目標(biāo)函數(shù)，將組合資產(chǎn)的偏度與收益放于約束條件中，從而轉(zhuǎn)化為負(fù)半熵-下半方差-偏度的單目標(biāo)模型(negative half entropy lower semi-variance skewness portfolio model，簡(jiǎn)稱(chēng)NE-SV-SK模型)：

minSV(w)+φH-(w)

(2)

其中,φ為調(diào)節(jié)參數(shù),需滿足φ≥0。

(3)

(4)

求解式(4)可得最優(yōu)解w*的隱式解：

(5)

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)描述

表1 瀘深300的特征值和貢獻(xiàn)率

從表1可以看出，前十個(gè)特征值的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率已達(dá)60%，因此考慮通過(guò)前十個(gè)特征值產(chǎn)生的載荷矩陣來(lái)挑選18只股票，以此代表瀘深300指數(shù)的股票信息，所選股票信息如表2所示。

表2 挑選的18只股票信息

應(yīng)用矩估計(jì)計(jì)算出各只股票的樣本均值、樣本方差、下半方差、負(fù)半熵、樣本偏度，結(jié)果如表3所示。從表3可以看出：①在18只股票中，股票S2、S3、S10的下半方差比其方差要小得多，可見(jiàn)下半方差在方差中并非是對(duì)稱(chēng)的，下半方差能更加準(zhǔn)確地度量股票收益向下波動(dòng)的那部分風(fēng)險(xiǎn)；②18只股票中負(fù)半熵最小的是S5，而其下半方差和方差卻比很多其他股票要大，并且對(duì)比18只股票的負(fù)半熵與下半方差可知，兩者并沒(méi)有呈現(xiàn)出相同的增減趨勢(shì)，這說(shuō)明雖然負(fù)半熵和下半方差均是度量低于期望收益風(fēng)險(xiǎn)的，但兩者度量資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的角度不同。

表3 各只股票的樣本均值、下半方差與負(fù)半熵、樣本偏度

2.2 模型實(shí)證分析

根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法和梯度下降法對(duì)模型進(jìn)行編程求解，模型中存在調(diào)節(jié)參數(shù)φ和收益參數(shù)λ，給出了相同收益參數(shù)、不同調(diào)節(jié)參數(shù)下18只股票的投資組合情況，如表4所示。

從表4可以看出：①模型求解的投資權(quán)重分布在第3、6、7、14、16、18只股票，沒(méi)有呈現(xiàn)集中分布現(xiàn)象，符合分散投資理念。②隨著調(diào)節(jié)參數(shù)的逐漸增大，負(fù)半熵的作用逐漸顯現(xiàn)，使得股票S3、S6的投資權(quán)重呈下降趨勢(shì)，股票S7的投資權(quán)重呈上升趨勢(shì)。這表明用負(fù)半熵衡量風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，股票S3、S6被度量出了更多的負(fù)半熵風(fēng)險(xiǎn)，股票S7被度量出了更少的負(fù)半熵風(fēng)險(xiǎn)。③隨著調(diào)節(jié)參數(shù)φ的逐漸增大，下半方差呈增大趨勢(shì)，負(fù)半熵呈減小趨勢(shì)，這與負(fù)半熵在目標(biāo)函數(shù)中比例變大相吻合。同時(shí)，不同的調(diào)節(jié)參數(shù)意味對(duì)熵度量風(fēng)險(xiǎn)的側(cè)重不同，從偏度指標(biāo)中可以看出在調(diào)節(jié)參數(shù)取0.000 02時(shí)偏度處于極大值，此時(shí)模型較佳。

表4 不同調(diào)節(jié)參數(shù)下的資產(chǎn)組合情況(r0=0.000 3)

相同調(diào)節(jié)參數(shù)、不同收益參數(shù)下18只股票的投資組合情況如表5所示。

從表5可以看出：①隨著收益參數(shù)r0的增大，呈現(xiàn)股票S3、S7、S18替代股票S6、S16的現(xiàn)象，可見(jiàn)股票S3、S7和S18發(fā)生超額收益的可能性更大。②在固定調(diào)節(jié)參數(shù)φ的條件下，隨著收益參數(shù)r0的增大，負(fù)半熵與下半方差都呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)，這與收益更大、風(fēng)險(xiǎn)更大相吻合。③收益參數(shù)與調(diào)節(jié)參數(shù)為模型預(yù)設(shè)參數(shù)，分別表示資產(chǎn)組合的最小收益和負(fù)半熵的權(quán)重比例，不同投資者對(duì)收益和負(fù)半熵風(fēng)險(xiǎn)偏好的要求不同，收益參數(shù)和調(diào)節(jié)參數(shù)可根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整。

2.3 模型對(duì)比

為進(jìn)一步說(shuō)明NE-SV-SK模型中負(fù)半熵和偏度對(duì)投資組合的影響，令NE-SV-SK模型中參數(shù)φ=0.000 02，r0=0.000 3，并與經(jīng)典馬科維茨模型(MV)、半方差模型(SV-SK)進(jìn)行比較，具體結(jié)果如表6所示。

從表6可以看出：①與SV-SK模型相比，NE-SV-SK模型中股票S3、S6、S16、S17的權(quán)重比例有所減小，股票S7、S14、S18的權(quán)重比例有所增加，這可能是負(fù)半熵度量出了股票S3、S6、S16、S17更多的負(fù)半熵風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)致的結(jié)果；②在股票S16、S18上的權(quán)重比例存在顯著變化，投資者在進(jìn)行選股時(shí)應(yīng)給予更多理性考慮；③觀察收益率、下半方差、負(fù)半熵、偏度指標(biāo)，NE-SV-SK模型比MV模型、SV-SK模型的收益更大，風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)中下半方差和負(fù)半熵均更小，且組合資產(chǎn)偏度也存在明顯提升。可見(jiàn)NE-SV-SK模型更能反映組合資產(chǎn)所面臨的風(fēng)險(xiǎn)，能更有效地規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，為投資者在配置資產(chǎn)時(shí)提供更加合理的選擇。

表5 NE-SV-SK模型在不同收益參數(shù)下的資產(chǎn)組合情況(φ=0.000 02)

表6 模型結(jié)果比較

3 結(jié)論

考慮到投資者更關(guān)心資產(chǎn)收益能否達(dá)到預(yù)期收益的心理，通過(guò)用負(fù)半熵補(bǔ)償下半方差衡量資產(chǎn)收益低于預(yù)期收益的風(fēng)險(xiǎn)，并在約束條件中引入偏度系數(shù)，構(gòu)建了NE-SV-SK模型。并選取18只股票進(jìn)行實(shí)證分析，發(fā)現(xiàn)NE-SV-SK模型能獲得更大的收益，更好地規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，并且發(fā)生超額收益的可能性更大。在投資者進(jìn)行組合投資時(shí)，NE-SV-SK模型能給予投資者更多理性參考，對(duì)股票選擇和風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)也具有一定的指導(dǎo)意義。