帶變量核的分?jǐn)?shù)次積分交換子的弱Hardy估計

楊旭升，王素萍

(1.蘭州文理學(xué)院 教育學(xué)院，甘肅 蘭州 730000;2.隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 慶陽 745000)

記Sn-1為Rn(n≥2)中的單位球面，其上裝備了Lebesgue 測度dσ=dσ(z′) .設(shè)定義在Rn×Rn上的函數(shù)Ω(x,z)∈L∞(Rn)×Lq(Sn-1)(q≥1), 滿足

(1)

其中:z′=z/|z|,?z∈Rn{0}.

設(shè)Ω(x,z)滿足條件

Ω(x,λz)=Ω(x,z),?x,z∈Rn,λ>0

(2)

與消失條件

(3)

眾所周知，分?jǐn)?shù)次積分算子是調(diào)和分析中以偏微分方程為背景的一種重要算子，拉普拉斯方程的解可以用分?jǐn)?shù)次積分算子來代替.分?jǐn)?shù)次積分算子Iα定義如下

(4)

文獻(xiàn)[1] 證明帶粗糙核的分?jǐn)?shù)次積分交換子在加權(quán)Lp空間上的有界性，文獻(xiàn)[2]證明帶粗糙核的高階交換子在齊次Herz空間上的有界性.有關(guān)積分交換子的相關(guān)結(jié)果見文獻(xiàn)[3-5].

(5)

設(shè)k∈Z, 令Bk=B(0,2k)={x∈Rn:|x|≤2k},Ck=BkBk-1,并記χk=χCk為集Ck的特征函數(shù).

定義1設(shè)Ω(x,z)∈L∞(Rn)×Lq(Sn-1)(q≥1),它的q階積分連續(xù)模ωq(δ)定義為

定義2(Lq-Dini條件) 設(shè)Ω(x,z)∈L∞(Rn)×Lq(Sn-1)(q≥1),ωq(δ)為Ω(x,z)關(guān)于z′的q階積分連續(xù)模，稱Ω(x,z)滿足Lq-Dini條件，如果

1 定理證明

‖IΩ,α(f)‖Lq≤C‖f‖Lp.

證明由已知條件，先考慮

由引理1可得

定理的證明取k0∈Z,固定λ>0,使得

2k0≤λ<2k0+1,

其中

滿足引理3中條件(a), (b)和(c).

由Minkowski 不等式,有

從而有

現(xiàn)在估計E2,由引理3，4及Minkowski 不等式，有

其中

為估計E2,先估計F1，有

由引理2，有

定理證畢.