N(2,2,0)代數(shù)與BRK-代數(shù)

鄧方安

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 漢中 723001)

1966年，Imai等[1]和Iseki[2]提出了BCI-代數(shù)和BCK-代數(shù)的概念.眾所周知，BCK-代數(shù)是BCI-代數(shù)的真子類，許多學(xué)者推廣了這兩類代數(shù)，引入和研究了不同類型的新代數(shù).1983年，Hu等[3]推廣了BCI-代數(shù)，引入了BCH-代數(shù)，并研究了它的性質(zhì).后來，Ahn等[4]又推廣了BCH-代數(shù)，提出了一類新的代數(shù)，即BH-代數(shù).2001年，Neggers等[5]提出了一個新的代數(shù)系統(tǒng)，稱為Q-代數(shù)，并推廣了BCI-代數(shù)和BCK-代數(shù)中的一些定理.2002年，Neggers等[6]引入了B-代數(shù)，并得出了B-代數(shù)的一些性質(zhì).2007年，Walendziak[7]提出了BF-代數(shù)，它是B-代數(shù)的推廣.另外，Kim等[8]還引入了BG-代數(shù)，該代數(shù)是B-代數(shù)的推廣.在此基礎(chǔ)上，Bandaru[9]推廣了BCK/BCI/BCH/Q/QS/BM代數(shù)，提出了BRK-代數(shù)的概念. 2017年，Venkateswarlu等[10]對BRK-代數(shù)進(jìn)行了深入研究，定義了弱正蘊涵BRK-代數(shù)以及一些性質(zhì).

1996年，作者提出了N(2,2,0)代數(shù)概念，并系統(tǒng)研究了該代數(shù)的性質(zhì)，得到了系列研究成果[10-11].論文將研究N(2，2,0)代數(shù)與BRK-代數(shù)的關(guān)系，并進(jìn)一步刻畫N(2，2,0)代數(shù)的性質(zhì).

1 預(yù)備知識

為研究方便，先引入有關(guān)BCI/BCH/BCK/Q-代數(shù)的定義.

定義1[1]BCI-代數(shù)(X,*,0)滿足以下條件：?x,y,z∈X，有

(B1) (x*y)*(x*z)≤(z*y);

(B2)x*(x*y)≤y;

(B3)x≤x;

(B4)x≤y,y≤x?x=y;

(B5)x*y=0,x≤y,x≤0?x=0.

注：如果將(B5)替換為(B6)，即0≤x，則該代數(shù)稱為BCK代數(shù).由文獻(xiàn)[1]知，每個BCK-代數(shù)都是一個BCI-代數(shù)，反之不然.

定義2[2]一個BCH-代數(shù)(X,*,0)是滿足條件(B3),(B4)，(B7)，(B7)即(x*y)*z=(x*z)*y的代數(shù).

注：每個BCI-代數(shù)都是一個BCH-代數(shù)，反之則不然.

定義3[5]一個Q-代數(shù)(X,*,0)是滿足(B3),(B7),(B8)，(B8)即x*0=x的代數(shù).如果一個Q-代數(shù)滿足(B9)，即(x*y)*(x*z)=z*y，則稱Q-代數(shù)為QS-代數(shù).

注：每個BCH-代數(shù)都是一個Q-代數(shù)，反之則不然.

定義4[6]一個B-代數(shù)(X,*,0)是滿足(B3),(B8),(B10)，(B10)即(x*y)*z=x*(z*(0*y))，?x,y,z∈X的代數(shù).如果對于任意a,b∈X,a*(0*b)=b*(0*a)，B-代數(shù)是非交換的，則B-代數(shù)和Q-代數(shù)是不同的概念.

定義5[7]一個BF-代數(shù)(X,*,0)是滿足(B3),(B8),(B11)，(B11)即0*(x*y)=y*x的代數(shù).

注：每一個B-代數(shù)都是BF-代數(shù)，反之則不然.

定義6[9]一個BM-代數(shù)(X,*,0)是滿足(B8),(B12)，(B12)即(x*y)*(x*z)=z*y的代數(shù).

定義7[4]一個BH-代數(shù)(X,*,0)是滿足(B3),(B4),(B8)的代數(shù).

定義8[8]一個BG-代數(shù)(X,*,0)是滿足(B3),(B8),(BG)，(BG)即(x*y)*(0*y)=x的代數(shù).

2 BRK-代數(shù)及基本性質(zhì)

下面給出BRK-代數(shù)定義，并研究它與其他幾種代數(shù)之間的關(guān)系.

定義9[9]定義X為非空集合，常數(shù)為0，如果滿足二元運算(*)

(B8)x*0=x;

(B13) (x*y)*x=0*y,這里x,y∈X.

則稱(X,*,0)構(gòu)成的代數(shù)為BRK-代數(shù).

例1定義非空集合A=R-{n}，0≠n∈Z+，滿足二元運算“*”

顯然，(A,*,0)為BRK-代數(shù).

例2定義非空集合A={0,1,2}，滿足如表1所示的二元運算“*”.

表1 集合A滿足的二元運算

顯然代數(shù)(A,*,0)滿足(B8)，可以驗證滿足(B13)，即(x*y)*x=0*y，有

當(dāng)y為0時，(x*0)*x=0*0=0；

當(dāng)y為1時，(x*1)*x=0*1=2；

當(dāng)y為2時，(x*2)*x=0*2=2.

故?x,y∈A，有(x*y)*x=0*y成立，則代數(shù)(A,*,0)為BRK-代數(shù).

定理1[9]如果(X,*,0)是一個BRK-代數(shù)，那么對任意x,y∈A，滿足：

(1)x*x=0；

(2)x*y=0?0*x=0*y.

定理2[9]在每個BRK-代數(shù)(X,*,0)中，?x,y∈X，滿足

0*(x*y)=(0*x)*(0*y),x,y∈X.

定理3[9]每個滿足x*(x*y)=x*y,x,y∈X的BRK-代數(shù)是一個平凡的BRK代數(shù).

定理4[9]每個滿足(x*y)*(x*z)=z*y,x,y,z∈X的BRK-代數(shù)是一個BCI-代數(shù).

定理5[9]每一個非交換的B-代數(shù)是一個BRK-代數(shù).

定理6[9]設(shè)(X,*,0)為BRK-代數(shù)，對任意的x,y∈X，則下面的條件成立：

(1)設(shè)(x*y)*[0*(0*y)]=(x*y)*y,則0*[0*(0*y)]=0*y；

(2) (x*y)*(0*y)=(x*y)*y?0*(0*y)=0*y；

(3)x*(y*x)=x*[0*(x*y)]?0*(y*x)=0*[0*(x*y)].

3 N(2,2,0)代數(shù)與BRK-代數(shù)

定義10[11]設(shè)S是含常元0的集合，在S中定義兩個二元運算*和Δ，?x,y,z∈S，若滿足以下公理：

(F1)x*(yΔz)=z∈(x*y)；

(F2) (xΔy)*z=y*(x*z)；

(F3) 0*x=x.

則稱(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù).

定理7[11]在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)中，?x,y,z，恒有下列等式成立：

(F4)x*y=yΔx；

(F5) (x*y)*z=x*(y*z),(xΔy)Δz=xΔ(yΔz)；

(F6)x*(y*z)=y*(x*z),(xΔy)Δz=(xΔz)Δy．

推論1[11]若(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù)，則(S,*,0)和(S,Δ,0)都是半群.

記ES為半群(S,*,0)的冪等元集合.

定理8設(shè)(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)-代數(shù)，若?x∈S,x*x=0成立，則(S,*,0)是一個BRK-代數(shù).

證明若?x∈S，x*x=0?x*0=x*(x*x)=(x*x)*x=0*x=x，則(B8)成立；

又若?x,y∈S，x*x=0， 則

(x*y)*x=(x*y)*(x*0)=x*((x*y)*0)=x*(x*y)=(x*x)*y=0*y，

因此(B9)成立.于是(S,*,0)是一個BRK-代數(shù).

由文獻(xiàn)[12]中定理1.2.9和定理1.2.10不難看出，一個BRK-代數(shù)不一定是N(2,2,0)-代數(shù)，但一個冪零的N(2,2,0)代數(shù)一定是BRK-代數(shù).

定義11設(shè)(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù)，對于S的任意一個子集Q，定義

T(Q)={x∈Q|x*0=x}.

特殊地，如果Q=S，則稱T(Q)是一個N(2,2,0)代數(shù)的T-部分.

定理9設(shè)(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù)，若?x∈S,x*x=0 成立，則在T(S)中右消去律成立.

證明?a,b,c∈T(S)，滿足a*c=b*c，則由定理7知，?a∈S,a*a=0?a*0=a，于是

a*c=b*c?a*c*c=b*c*c?a*0=b*0?a=b.

定理10設(shè)(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù)，若?x∈S,x*x=0 成立，則(T(S),*,0)是一個阿貝爾群.

證明在(T(S),*,0)中，?x,y∈T(S), 則

x*y=x*(y*0)=y*(x*0)=y*x，

于是0是(T(S),*,0)的一個單位元，由文獻(xiàn)[13]中定理1.2.11知,T(S)的每一個元素都是自身的逆元, 因此(T(S),*,0)是一個阿貝爾群.

4 N(2,2,0)代數(shù)的理想與濾子

在一個N(2,2,0)-代數(shù)(S,*,Δ,0)中，稱集合

G(S)={x∈S|x*0=0}

為S的一個p-根.

如果G(S)={0}，則稱N(2,2,0)-代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)是p-半單的.

根據(jù)N(2,2,0)-代數(shù)的性質(zhì)易知，若N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)是一個交換半群，則該半群(S,*,0)是p-半單的.

可以證明:G(S)?ES.事實上,有

?x∈G(S)?x*0=0?(x*0)*x=0*x?x*(0*x)=x?x*x=x?x∈ES，

于是G(S)?ES.

顯然，G(S)∩T(S)={0}.

定義13設(shè)(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù)，A是S的一個非空子集，稱A為S的一個理想，如果滿足：

(II)x∈A，x*y∈A?y∈A.

定義14設(shè)(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù)，F(xiàn)是S的一個非空子集，稱F為S的一個濾子，如果滿足：

(I) 0∈F；

(II)x*y∈A,y∈A?x∈A.

定理11在N(2,2,0)-代數(shù)(S,*,Δ,0)中，G(S)={x|x*0=0}既是S的子代數(shù)，也是S的理想和濾子.

證明(1) 顯然0∈G(S)，?x,y∈G(S)，則

x*0=0,y*0=0?(x*0)*(y*0)=0?y*((x*0)*0)=

0?y*(x*0)=0?(y*x)*0=0?y*x∈G(S)，

類似可得x*y∈G(S)，因此G(S)是S的一個子代數(shù).

(2) 顯然0∈G(S)，?x,y∈G(S)，x∈G(S)， 則

因此G(S)為S的一個理想.

類似可證G(S)為S的一個濾子.

在N(2,2,0)-代數(shù)(S,*,Δ,0)的子代數(shù)G(S)上定義一個關(guān)系“～G”如下

?x,y∈G(S),x～Gy?(x*y)*0=0.

定理12在N(2,2,0)-代數(shù)(S,*,Δ,0)的G(S)={x|x*0=0}上，如果?x∈G(S),x*x=0成立，則關(guān)系“～G”是G(S)上的一個等價關(guān)系.

證明(1) 由x*x=0?(x*x)*0=0?x～Gx，于是關(guān)系“～G”滿足自反性.

(2) 由(x*y)*0=0?x*(y*0)=0?y*(x*0)=0?(y*x)*0=0，于是關(guān)系“～G”滿足對稱性.

(3) 若x～Gy,y～Gz，則

(x*y)*0=0,(y*z)*0=0?((x*y)*0)*((y*z)*0)=0*0=0，

即

((x*y)*(y*z))*0=0?(x*(y*y)*z)*0=0?(x*0*z)*0=0?(x*z)*0=0，

于是x～Gz，從而關(guān)系“～G”滿足傳遞性.

因此，關(guān)系“～G”是G(S)上的一個等價關(guān)系.

設(shè)?x,y,z,t∈G(S)，假定x～Gy,z～Gt，則

因此，關(guān)系“～G”是G(S)上的一個同余關(guān)系.

將x所在的等價類記為

規(guī)定

[x]*[y]=[x*y],[x]Δ[y]=[xΔy]，

則有定理13.