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    EBL-代數(shù)上的蘊涵濾子與正蘊涵濾子

    2022-09-24 10:19:00左衛(wèi)兵
    關(guān)鍵詞:濾子蘊涵充分性

    左衛(wèi)兵,韓 睿

    (華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 鄭州 450046)

    0 引言

    邏輯代數(shù)是研究非經(jīng)典邏輯系統(tǒng)的重要工具,包括MV-代數(shù)、BL-代數(shù)、R0-代數(shù)、剩余格等等. MV-代數(shù)是著名邏輯學(xué)家C C Chang[1]為解決ukasiewicz多值邏輯系統(tǒng)的完備性引入的一種代數(shù)體系. BL-代數(shù)是Hájek P[2]為了給出基本邏輯完備性的代數(shù)證明提出的代數(shù)結(jié)構(gòu). 已有的研究結(jié)果表明[2-3],這兩種邏輯代數(shù)都是基于剩余格再附加上某些條件得到的代數(shù)結(jié)構(gòu). MV-代數(shù)是特殊的BL-代數(shù):滿足對合性的BL-代數(shù)即為MV-代數(shù). MV-代數(shù)的研究得以廣泛發(fā)展后,不少學(xué)者基于不同的角度拓展了MV-代數(shù),其中A等[4]利用廣義Boolean代數(shù)的定義擴展了MV-代數(shù),并將其稱為EMV-代數(shù),同時探究了EMV-代數(shù)的性質(zhì)以及結(jié)構(gòu)特征,形成了基本的理論框架. EMV-代數(shù)沒有定義最大元,在EMV-代數(shù)M中,對于M的任意冪等元a,[0,a]構(gòu)成了MV-代數(shù). 文獻[5]采用類似的方法,拓展了BL-代數(shù),引入了EBL-代數(shù)的概念,研究了它的結(jié)構(gòu)性質(zhì),刻畫了它的特征定理. 類似地,在EBL-代數(shù)A中,對于A的任意冪等元a,[0,a]構(gòu)成了BL-代數(shù).

    在研究邏輯代數(shù)的過程中,濾子作為一個工具性概念發(fā)揮了不可替代的作用. 目前,在BL-代數(shù)、剩余格等代數(shù)系統(tǒng)中,這方面的研究工作已經(jīng)獲得了很多有價值的成果[6-14]. EMV-代數(shù)[4]和EBL-代數(shù)[5]上也分別引入了濾子的概念,討論了濾子的一些基本性質(zhì),但對于具體濾子沒有做更多深入地探討. 在此背景下,本文在文獻[5]的基礎(chǔ)上,在EBL-代數(shù)中定義了Boolean濾子、蘊涵濾子、正蘊涵濾子等概念,得到了它們的一系列等價刻畫,并討論了它們的相互關(guān)系,證明了正蘊涵濾子是蘊涵濾子以及Boolean濾子和正蘊涵濾子的等價性. 同時,通過濾子構(gòu)建了同余關(guān)系,并從商代數(shù)的角度得到了濾子的相關(guān)結(jié)論.

    1 預(yù)備知識

    定義1[2](2,2,2,2,0,0)型代數(shù)系統(tǒng)(A,∨,∧,⊙,→,0,1)稱為BL-代數(shù),如果

    (1) (A,∨,∧,0,1)是有界格;

    (2) (A,⊙,1)是交換幺半群;

    (3) 對任意x,y,z∈A,x⊙y≤z?x≤y→z;

    (4) 對任意x,y∈A,x∧y=x⊙(x→y);

    (5) 對任意x,y∈A,(x→y)∨(y→x)=1.

    在BL-代數(shù)A中,若?x∈A,有x--=x成立,則A稱為MV-代數(shù).其中,x-=x→0.

    命題1[2,6,16,17,18,19]設(shè)A是BL-代數(shù),則對任意x,y,z∈A,以下性質(zhì)成立:

    (1)x≤y?x→y=1;

    (2)x→(y→z)=(x⊙y)→z=y→(x→z);

    (3) (x∨y)→z=(x→z)∧(y→z),(x∧y)→z=(x→z)∨(y→z);

    (4) 若x≤y,則y→z≤x→z,z→x≤z→y,x⊙z≤y⊙z;

    (5) 1→x=x,x→x=1,x→1=1,x≤x--,x---=x-,x--≤x-→x;

    (6)x⊙y≤x∧y,x⊙0=0;

    (7)x⊙(y∨z)=(x⊙y)∨(x⊙z),x⊙(y∧z)=(x⊙y)∧(x⊙z);

    (8)y≤(y→x)→x,x≤y→x;

    (9)x→y≤(y→z)→(x→z),y→x≤(z→y)→(z→x);

    (10)x∨y=[(x→y)→y]∧[(y→x)→x];

    (11) (x∧y)n=xn∧yn,(x∨y)n=xn∨yn,xm∨yn≥(x∨y)mn.

    定義2[5](2,2,2,0)型代數(shù)系統(tǒng)(A,∨,∧,⊙,0)稱為EBL-代數(shù),如果

    (1) (A,∨,∧,0)是具有最小元的分配格;

    (2) (A,⊙,0)是交換半群,0是中性元素;

    (3) 對任意a,b∈I(A)且a≤b,任意x,y∈[a,b],元素x→a,by=∨{z∈[a,b]|x⊙z≤y}存在,且([a,b],∨,∧,⊙,→a,b,a,b)是BL-代數(shù);

    (4) (A,∨,∧,⊙,0)有足夠多的冪等元,即對任意x∈A,存在a∈L(A),使得x≤a.

    注:(1) 對于半群(A,⊙)中的元素a,如果滿足a⊙a=a,則稱其為冪等元.I(A)表示A中所有冪等元的集合.

    (2) 用→b來表示→0,b.

    命題2[5]如果(A,∨,∧,⊙,→,0,1)是BL-代數(shù),則(A,∨,∧,⊙,0)是EBL-代數(shù).

    命題3[5]設(shè)(A,∨,∧,⊙,0)是EBL-代數(shù),則對任意a,b∈I(A)且a≤b,以下性質(zhì)成立:

    (1) ?x,y∈[0,a],x→by=(x→ay)∨(a→b0);

    (2) ?x,y∈[0,a],x→ay≤x→by.

    命題4設(shè)A是EBL-代數(shù),則對任意x,y,z∈A,a,b∈I(A)且x,y,z≤a,x,y,z≤b,有y⊙(x→az)=y⊙(x→bz).

    證明與文獻[5]命題3.12(i)的證明類似,略.

    定義3[5]設(shè)F為EBL-代數(shù)A的非空子集,F(xiàn)稱為濾子,如果

    (1) ?x,y∈A,若x≤y,且x∈F,則y∈F;

    (2) 若x,y∈F,則x⊙y∈F.

    命題5設(shè)F為EBL-代數(shù)A的非空子集,則F是A的濾子當且僅當

    (1) ?x∈A,?a∈I(A)且x≤a,有a∈F;

    (2) ?x,y∈A,?a∈I(A)且x,y≤a,若x∈F,x→ay∈F,則y∈F.

    證明必要性.由于F是非空子集,則存在x∈F.?a∈I(A)且x≤a,由F是濾子,知a∈F.設(shè)x∈F,x→ay∈F,則x⊙(x→ay)∈F.又x⊙(x→ay)≤y,因此y∈F.

    充分性.設(shè)y,z∈A.根據(jù)定義2以及(1),知存在c∈I(A)∩F,使得y∨z∨x≤c,從而y,z,x≤c.在BL-代數(shù)([0,c],∨,∧,⊙,→c,0,c)中,設(shè)y∈F,y≤z,由命題1(1),得y→cz=c∈F.再由(2)得,z∈F.再設(shè)y,z∈F,根據(jù)命題1(2)(5),y→c(z→c(y⊙z))= (y⊙z)→c(y⊙z)=c∈F.由(2)得,z→c(y⊙z)∈F,再由(2)得,y⊙z∈F.即證F是A的濾子.

    推論1若F是EBL-代數(shù)A的濾子,則對任意x∈A,存在a∈I(A)∩F,使得x≤a.

    2 EBL-代數(shù)上的Boolean濾子

    首先給出素濾子的定義以及相關(guān)結(jié)論.

    定義4設(shè)F是EBL-代數(shù)A的濾子,若?x,y∈A,?a∈I(A)且x,y≤a,有x→ay∈F或y→ax∈F,則稱F為A的素濾子.

    定理1設(shè)F為EBL-代數(shù)A的濾子,F(xiàn)是素的當且僅當?x,y∈A,若x∨y∈F,則x∈F或y∈F.

    證明必要性.設(shè)x∨y∈F,其中x,y∈A.因為F是素的,所以存在a∈I(A)且x,y≤a,使得x→ay∈F或y→ax∈F.若y→ax∈F,由命題1(3)(5)知,

    (x∨y)→ax=(x→ax)∧(y→ax)=
    a∧(y→ax)=y→ax∈F.

    又因為F是濾子,x∨y∈F,所以x∈F.同理,若x→ay∈F,根據(jù)(x∨y)→ay∈F,可得y∈F.

    充分性.設(shè)x,y∈A.因為F是濾子,根據(jù)推論1,?a∈I(A)∩F使得x∨y≤a,從而x,y≤a.在BL-代數(shù)([0,a],∨,∧,⊙,→a,0,a)中,因為(x→ay)∨(y→ax)=a∈F,由題設(shè)得x→ay∈F或y→ax∈F.即證.

    定義5[5]設(shè)F為EBL-代數(shù)A的濾子.若?x∈AF,有〈F∪{x}〉=A,則稱F是極大濾子.

    引理1[5]設(shè)F為EBL-代數(shù)A的真濾子,則

    (1) ?x∈A,〈F∪{x}〉={z∈A|z≥y⊙xn,?n∈N,y∈F};

    (2)F是極大的當且僅當?x?F,?n∈N,b∈I(A)且x≤b,使得xn→b0∈F.

    引理2設(shè)F是EBL-代數(shù)A的真濾子且a,b∈A,則〈F∪{a}〉∩〈F∪〉=〈F∪{a∨b}〉.

    證明設(shè)c∈〈F∪{a}〉∩〈F∪〉,則存在n1,n2∈N,f1,f2∈F,使得f1⊙an1≤c且f2⊙bn2≤c.令p=f1⊙f2,則p∈F.根據(jù)命題1(6),

    (p⊙a)n1=(pn1⊙an1)≤f1⊙an1≤c,
    (p⊙b)n2=(pn2⊙bn2)≤f2⊙bn2≤c.

    再由命題1(7)(11)得

    c≥(p⊙a)n1∨(p⊙b)n2≥
    ((p⊙a)∨(p⊙b))n1n2=
    (p⊙(a∨b))n1n2=pn1n2⊙(a∨b)n1n2.

    顯然pn1n2∈F,c∈〈F∪{a∨b}〉,所以〈F∪{a}〉∩〈F∪〉?〈F∪{a∨b}〉.又因為反包含是必然的,因此〈F∪{a}〉∩〈F∩〉=〈F∪{a∨b}〉.

    推論2設(shè)F為EBL-代數(shù)A的真濾子,a,b∈A.如果a∨b∈F,則

    〈F∪{a}〉∩〈F∪〉=F.

    定義6設(shè)F是EBL-代數(shù)A的濾子.若?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a,有x∨x-a∈F,則稱F為Boolean濾子.其中,x-a=x→a0.

    定理2設(shè)F為EBL-代數(shù)A的濾子,則下列條件等價:

    (1)F是極大的且Boolean的濾子;

    (2)F是素的且Boolean的濾子;

    (3)F是真濾子且?x∈A,?a∈I(A)∩F使得x≤a,有x∈F或x-a∈F.

    證明(1)?(2).設(shè)F是EBL-代數(shù)A的極大濾子,且x∨y∈F,其中x,y∈A.若x?F且y?F,由推論2知,〈F∪{x}〉∩〈F∪{y}〉=F.又F是極大濾子,則〈F∪{x}〉=〈F∪{y}〉=A.于是有A=F,矛盾.因此有x∈F或y∈F,即證F是素濾子.

    (2)?(3).因為F是Boolean濾子,所以?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a,有x∨x-a∈F.又因為F是素的,因此x∈F或x-a∈F,證畢.

    (3)?(1).根據(jù)條件(3),可得?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a,有x,x-a≤x∨x-a∈F,所以F是Boolean濾子.又因為F是濾子,根據(jù)推論1,?x∈A,?c∈I(A)∩F且x≤c.由(3)知,x∈F或x→c0∈F.即?x?F,?n=1∈N,c∈I(A)且x≤c,有xn→c0∈F成立.由引理1即知,F(xiàn)是極大濾子.證畢.

    定義7[5]設(shè)(A,∨,∧,⊙,0)為EBL-代數(shù),A上的等價關(guān)系稱為同余,如果

    (1)θ對∨,∧和⊙是封閉的;

    (2) ?a∈I(A),θ∩([0,a]×[0,a])是BL-代數(shù)([0,a],∨,∧,⊙,→a,0,a)上的同余.

    命題6設(shè)F為EBL-代數(shù)A的濾子,定義A上的關(guān)系θF如下:(x,y)∈θF當且僅當?a∈I(A)且x,y≤a,有x→ay,y→ax∈F,則θF是A上的同余.

    證明與文獻[16]定理6.5的證明類似,略.

    設(shè)F是EBL-代數(shù)A的濾子,定義A/θF={x/θF|x∈A},其中x/θF={y∈A|(x,y)∈θF}.在A/θF上定義∨,∧,⊙如下:

    x/θF∨y/θF=(x∨y)/θF,
    x/θF∧y/θF=(x∧y)/θF,
    x/θF⊙y/θF=(x⊙y)/θF.

    由文獻[5]可知(A/θF,∨,∧,⊙,0/θF)是EBL-代數(shù),下用A/F表示A/θF.

    定理3設(shè)F為EBL-代數(shù)A的濾子,則下列條件等價:

    (1)F是EBL-代數(shù)A的Boolean濾子;

    (2)A/F是EBL-代數(shù),?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a,有(x∨x-a)/θF=a/θF.

    證明(1)?(2).設(shè)F是Boolean濾子,則?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a,有x∨x-a∈F.在→a下,由命題1(1)(5)得

    (x∨x-a)→aa=a∈F,
    a→a(x∨x-a)=x∨x-a∈F.

    所以(x∨x-a,a)∈θF,因此(x∨x-a)/θF=a/θF.

    (2)?(1).由(2)知,?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a,有(x∨x-a)/θF=a/θF.即(x∨x-a,a)∈θF.則?b∈I(A)且x∨x-a,a≤b,有a→b(x∨x-a)∈F.又a∈F,F(xiàn)是濾子,所以x∨x-a∈F.因此F是Boolean濾子.

    3 EBL-代數(shù)上的蘊涵濾子

    定義8設(shè)F為EBL-代數(shù)A的非空子集,F(xiàn)稱為蘊涵濾子,如果

    (1) ?x∈A,?a∈I(A)且x≤a,有a∈F;

    (2) ?x,y,z∈A,?a∈I(A)且x,y,z≤a,若x→a(y→az)∈F,x→ay∈F,則x→az∈F.

    命題7EBL-代數(shù)A的蘊涵濾子是濾子,反之不成立.

    證明設(shè)x,x→ay∈F,其中x,y∈A,a∈I(A)且x,y≤a.在BL-代數(shù)([0,a],∨,∧, ⊙,→a,0,a)中,根據(jù)命題1(5)得a→a(x→ay)=x→ay∈F,a→ax=x∈F.再根據(jù)蘊涵濾子定義,有y=a→ay∈F,因此F為濾子.

    例1設(shè)A={0,m,n,1},定義⊙,→1如下:

    ☉0mn100000m00mmn0mnn10mn1

    ,

    →10mn101111mm111n0m1110mn1

    則(A,∨,∧,⊙,→1,0,1)是BL-代數(shù)[7],從而(A,∨,∧,⊙,0)是EBL-代數(shù).可以驗證F={n,1}是濾子,但不是蘊涵濾子.因為m→1(m→10)=1∈F,m→1m=1∈F,而m→10=m?F.

    定理4設(shè)F為EBL-代數(shù)A的非空子集,則以下條件等價:

    (1)F是蘊涵濾子;

    (2)F是濾子,?x,y∈A,?a∈I(A)且x,y≤a,若y→a(y→ax)∈F,則y→ax∈F;

    (3)F是濾子,?x,y,z∈A,?a∈I(A)且x,y,z≤a,若z→a(y→ax)∈F,則(z→ay)→a(z→ax)∈F;

    (4)F是濾子,?x,y,z∈A,?a∈I(A)且x,y,z≤a,若z→a(y→a(y→ax))∈F,z∈F,則y→ax∈F.

    證明(1)?(2).已知F為蘊涵濾子,則F是濾子.設(shè)y→a(y→ax)∈F,其中x,y∈A,a∈I(A)且x,y≤a.由y→a(y→ax)≤a,可得a∈F.根據(jù)命題1(5),y→ay=a∈F.由蘊涵濾子定義即得y→ax∈F.

    (2)?(3).設(shè)z→a(y→ax)∈F,其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.在BL-代數(shù)([0,a],∨,∧,⊙,→a,0,a)中,根據(jù)命題1(2)(4)(9)得

    z→a(z→a((z→ay)→ax))=
    z→a((z→ay)→a(z→ax))≥z→a(y→ax).

    又F是濾子,z→a(y→ax)∈F,則z→a(z→a((z→ay)→ax))∈F.再由(2)得,z→a((z→ay)→ax)∈F.故(z→ay)→a(z→ax)=z→a((z→ay)→ax)∈F.

    (3)?(4).設(shè)z,z→a(y→a(y→ax))∈F,其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.因為F是濾子,所以y→a(y→ax)∈F.由(3)得,(y→ay)→a(y→ax)∈F,即a→a(y→ax)=y→ax∈F.

    (4)?(1).設(shè)z→a(y→ax)∈F,z→ay∈F,其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.根據(jù)命題1(2)(9),

    z→a(y→ax)=y→a(z→ax)≤
    (z→ay)→a(z→a(z→ax)).

    又F是濾子,所以(z→ay)→a(z→a(z→ax))∈F.再由z→ay∈F及(4)可得z→ax∈F,即證F是蘊涵濾子.

    引理3設(shè)F是EBL-代數(shù)A的濾子,則以下條件等價:

    (1)F是蘊涵濾子;

    (2) ?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a,有x→ax2∈F.

    證明(1)?(2).設(shè)F是蘊涵濾子.?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a,由命題1(2)(5),知x→a(x→ax2)=x2→ax2=a∈F,x→ax=a∈F.由定義8,即得x→ax2∈F.

    (2)?(1).設(shè)x→a(y→az)∈F,x→ay∈F,其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.則a≥x→ay∈F.因此x→ax2∈F.又因為

    (x→ay)⊙(x→a(y→az))⊙x2=
    ((x→ay)⊙x)⊙((x→a(y→az))⊙x)≤
    y⊙(y→az)≤z,

    所以(x→ay)⊙(x→a(y→az))≤x2→az.因此x2→az∈F,(x→ax2)⊙(x2→az)∈F.再由命題1(9)及定義1(3)得,

    x→az≥(x→ax2)⊙(x2→az)∈F,

    故F是A的蘊涵濾子.

    定理5若F是EBL-代數(shù)A的Boolean濾子,則F是蘊涵濾子.

    證明設(shè)F是A的Boolean濾子,則?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a,有x∨(x→a0)∈F.根據(jù)命題1(2)(3)(5),有

    (x∨(x→a0))→a(x→ax2)=
    (x→a(x→ax2))∧
    ((x→a0)→a(x→ax2))=
    (x2→ax2)∧((x→a0)→a(x→ax2))=
    a∧((x→a0)→a(x→ax2)).

    因為0≤x2,由命題1(1)(4),得x→a0≤x→ax2,(x→a0)→a(x→ax2)=a.因此(x∨(x→a0))→a(x→ax2)=a∧a=a∈F.又F是濾子,所以x→ax2∈F.再由引理3可得F是蘊涵濾子.

    定理6設(shè)F為EBL-代數(shù)A的濾子,則下列條件等價:

    (1)F是EBL-代數(shù)A的蘊涵濾子;

    (2)A/F是EBL-代數(shù),且對任意x∈A,x/θF=x2/θF.

    證明(1)?(2).因為F是濾子,則?x∈A,?b∈I(A)∩F且x≤b.又因為F是蘊涵濾子,由引理3知,x→bx2∈F.再由命題1(1)(6),可得x2→bx=b∈F.因此(x,x2)∈θF,故x/θF=x2/θF.

    (2)?(1).設(shè)x→a(y→az)∈F,x→ay∈F,其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.由引理3證明知,

    (x→ay)⊙(x→a(y→az))≤x2→az∈F.

    又由(2)知,x/θF=x2/θF,即(x,x2)∈θF.則?b∈I(A)且x,x2≤b,有x→bx2∈F.取c∈I(A)且a,b≤c,根據(jù)命題3(1),有x→bx2≤x→cx2∈F,且x,x2,x2→az≤c.則由命題4可得,(x→ax2)⊙(x2→az)=(x→cx2)⊙(x2→az)∈F.再根據(jù)命題1(9)及定義1(3),有(x→ax2)⊙(x2→az)≤x→az∈F.因此,F(xiàn)是蘊涵濾子.

    4 EBL-代數(shù)上的正蘊涵濾子

    定義9設(shè)F為EBL-代數(shù)A的非空子集,F(xiàn)稱為正蘊涵濾子,如果

    (1) ?x∈A,?a∈I(A)且x≤a,有a∈F;

    (2) ?x,y,z∈A,?a∈I(A)且x,y,z≤a,若x→a((y→az)→ay)∈F,x∈F,則y∈F.

    命題8EBL-代數(shù)A的正蘊涵濾子均為濾子.

    證明設(shè)F為A的正蘊涵濾子,且x,x→ay∈F,其中x,y∈A,a∈I(A)且x,y≤a.根據(jù)命題1(1)(5),x→a((y→aa)→ay)=x→a(a→ay)=x→ay,所以x→a((y→aa)→ay)∈F.又因為F為A的正蘊涵濾子,x∈F,因此y∈F.

    定理7EBL-代數(shù)A的正蘊涵濾子是蘊涵濾子,反之不成立.

    證明設(shè)F為A的正蘊涵濾子,若x→a(y→az)∈F,x→ay∈F,其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.需證x→az∈F.先證(x→ay)→a(((x→az)→az)→a(x→az)) ∈F.根據(jù)命題1(9),((x→az)→az)→a(x→az)≥x→a(x→az).再由命題1(2)(4)(9)得,

    (x→ay)→a(((x→az)→az)→a(x→az))≥
    (x→ay)→a(x→a(x→az))=
    x→a((x→ay)→a(x→az))≥
    x→a(y→az).

    根據(jù)假設(shè)x→a(y→az)∈F,且F為濾子,因此(x→ay)→a(((x→az)→az)→a(x→az))∈F.又因為F是正蘊涵濾子,x→ay∈F,故x→az∈F.證畢.

    例2設(shè)A=[0,1],定義⊙,→1如下:

    定理8設(shè)F是EBL-代數(shù)A的濾子,則F是正蘊涵濾子當且僅當?x,y∈A,?a∈I(A)且x,y≤a,若(x→ay)→ax∈F,則x∈F.

    證明必要性.設(shè)(x→ay)→ax∈F,F(xiàn)是正蘊涵濾子,其中x,y∈A,a∈I(A)且x,y≤a.則F是濾子,由(x→ay)→ax≤a,得a∈F.根據(jù)命題1(5),有a→a((x→ay)→ax)=(x→ay)→ax∈F,又F是正蘊涵濾子,所以x∈F.

    充分性.設(shè)x∈F,x→a((y→az)→ay)∈F,其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.由F是濾子,知(y→az)→ay∈F.根據(jù)題設(shè)可得,y∈F.即證F是正蘊涵濾子.

    定理9設(shè)F是EBL-代數(shù)A的蘊涵濾子,則F是正蘊涵濾子當且僅當?x,y∈A,?a∈I(A)且x,y≤a,若(x→ay)→ay∈F,則(y→ax)→ax∈F.

    證明必要性.設(shè)F為正蘊涵濾子且(x→ay)→ay∈F,其中x,y∈A,a∈I(A)且x,y≤a.由命題1(8)知,x≤(y→ax)→ax,再根據(jù)命題1(2)(4)(9),得((y→ax)→ax)→ay≤x→ay,

    (x→ay)→ay≤
    (y→ax)→a((x→ay)→ax)=
    (x→ay)→a((y→ax)→ax)≤
    (((y→ax)→ax)→ay)
    →a((y→ax)→ax)∈F.

    由定理8,即得(y→ax)→ax∈F.

    充分性.設(shè)z→a((x→ay)→ax)∈F,z∈F,其中,x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.下證x∈F.由題設(shè)F是蘊涵濾子,則F是濾子,(x→ay)→ax∈F.由命題1(8),得x≤(x→ay)→ay,所以(x→ay)→a((x→ay)→ay)≥(x→ay)→ax∈F.又因為F是蘊涵濾子,由定理4知,(x→ay)→ay∈F.所以(y→ax)→ax∈F.根據(jù)命題1(4)(8),y≤x→ay,(x→ay)→ax≤y→ax.又y→ax≤z→a(y→ax),因此z→a(y→ax)≥(x→ay)→ax∈F.再由z∈F,F(xiàn)是濾子,可得y→ax∈F.從而由(y→ax)→ax∈F,知x∈F.即證.

    引理4設(shè)F是EBL-代數(shù)A的濾子,則以下條件等價:

    (1)F是正蘊涵濾子;

    (2) ?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a,有(x-a→ax)→ax∈F.

    證明(1)?(2).設(shè)F是正蘊涵濾子.令α=(x-a→ax)→ax,其中x∈A,a∈I(A)∩F且x≤a.根據(jù)命題1(2)(5)(9),有

    (α→a0)→aα=(((x-a→ax)
    →ax)→a0)→a((x-a→ax)→ax)=
    (x-a→ax)→a((((x-a→ax)→ax)→a0)→ax)≥
    (((x-a→ax)→ax)→a0)→ax-a=
    (((x-a→ax)→ax)→a0)→a(x→a0)≥
    x→a((x-a→ax)→ax)=
    (x-a→ax)→a(x→ax)=
    (x-a→ax)→aa=a∈F.

    由定理8,即得α=(x-a→ax)→ax∈F.

    (2)?(1).設(shè)(x→ay)→ax∈F,其中x,y∈A,a∈I(A)且x,y≤a.下證x∈F.因為0≤y,根據(jù)命題1(4),x→a0≤x→ay,(x→ay)→ax≤(x→a0)→ax=x-a→ax,故x-a→ax∈F.又(x→ay)→ax≤a,F(xiàn)是濾子,所以a∈F.由(2)知,(x-a→ax)→ax∈F,從而x∈F.即證F是正蘊涵濾子.

    定理10若F是EBL-代數(shù)A的濾子,則F是正蘊涵濾子當且僅當F是Boolean濾子.

    證明必要性.因為F是正蘊涵濾子,所以F是蘊涵濾子.由引理3、引理4知,?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a,有x→ax2∈F,(x-a→ax)→ax∈F.又由命題1(2)(9),得

    (x→ax-a)→ax-a=
    (x→a(x→a0))→a(x→a0)=
    (x2→a0)→a(x→a0)≥x→ax2∈F.

    所以根據(jù)命題1(10),x∨x-a=((x→ax-a)→ax-a)∧((x-a→ax)→ax)∈F.即證F是Boolean濾子.

    充分性.設(shè)F是Boolean濾子.則?x∈A,?a∈I(A)∩F且x≤a,由命題1(10),知x∨x-a=((x→ax-a)→ax-a)∧((x-a→ax)→ax)∈F.因此(x-a→ax)→ax≥x∨x-a∈F.由引理4,即得F是正蘊涵濾子.

    定理11設(shè)F為EBL-代數(shù)A的濾子,則下列條件等價:

    (1)F是EBL-代數(shù)A的正蘊涵濾子;

    (2)A/F是EBL-代數(shù),且?x,y∈A,?a∈I(A)∩F使得x,y≤a,有x/θF=((x→ay)→ax)/θF.

    證明(1)?(2).?x,y∈A,?a∈I(A)∩F且x,y≤a,因為y≥0,由命題1(4),得(x-a→ax)→ax≤((x→ay)→ax)→ax.再由引理4,知(x-a→ax)→ax∈F,所以((x→ay)→ax)→ax∈F.在→a下,由命題1(8),得x≤(x→ay)→ax.所以x→a((x→ay)→ax)=a∈F.從而(x,(x→ay)→ax)∈θF,故x/θF=((x→ay)→ax)/θF.

    (2)?(1).設(shè)(x→ay)→ax∈F,其中x,y∈A,a∈I(A)且x,y≤a.下證x∈F.因為(x→ay)→ax≤a,F(xiàn)是濾子,所以a∈F.則由(2)可得,x/θF=((x→ay)→ax)/θF.因此,存在b∈I(A)且x,(x→ay)→ax≤b,有((x→ay)→ax)→bx∈F.又(x→ay)→ax∈F,故x∈F.即證F是正蘊涵濾子.

    5 結(jié)語

    本文在EBL-代數(shù)上引入了素濾子、Boolean濾子、蘊涵濾子、正蘊涵濾子的概念,研究了它們的性質(zhì),刻畫了一系列等價條件,獲得了這些濾子的相關(guān)結(jié)論. 同時,證明了正蘊涵濾子是蘊涵濾子,給出了蘊涵濾子成為正蘊涵濾子的條件,說明了Boolean濾子和正蘊涵濾子的等價性. 此外,通過濾子構(gòu)建了EBL-代數(shù)上的同余關(guān)系,并從商代數(shù)的角度證明了上述濾子相應(yīng)的性質(zhì). 相關(guān)結(jié)果豐富了EBL-代數(shù)上的濾子理論.

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