三角恒等變換學法“直通車”

■倪志華

解三角函數(shù)問題往往離不開三角恒等變換，離開了三角恒等變換去解三角函數(shù)問題，可謂“天方夜譚”。三角恒等變換的主要題型有：三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的求值，三角函數(shù)的證明。

1.三角函數(shù)的化簡

三角函數(shù)化簡的常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②切化弦，異名化同名，異角化同角；③三角公式的逆用與變用。

評注：三角函數(shù)的化簡要遵循“三看”原則：一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式；三看“結構特征”，分析結構特征，可以幫助找到變形的方向，如“遇到分式要通分”等。

2.三角函數(shù)的求值

這類問題一般給出某些角的三角函數(shù)值，要求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關鍵在于“變角”，如α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)等。

評注：解決此類問題，一定要注意已知角與所求角之間的關系，恰當?shù)剡\用拆角、拼角技巧，同時分析角之間的關系，利用角的代換化異角為同角。

3.三角函數(shù)的證明

三角函數(shù)證明的一般思路是由繁到簡，如果兩邊都較繁，則采用左右互推的思路，找一個“橋梁”過渡。

例3已知sin(2α+β)=5sinβ，求證：2 tan(α+β)=3 tanα。

證明：由2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α，sin(2α+β)=5sinβ，可得sin[(α+β)+α]=5sin[(α+β)-α]，所以sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=5sin(α+β)cosα-5 cos(α+β)sinα，即2sin(α+β)cosα=3 cos(α+β)·sinα，也即2 tan(α+β)=3 tanα。

故原式成立。

評注：三角函數(shù)證明的常用方法有綜合法(執(zhí)因索果)和分析法(執(zhí)果索因)；三角函數(shù)證明的常用策略有化繁為簡，左右歸一，化差為零，等價化歸等。不論采用什么證明方法，都要認真分析三角函數(shù)式的特點和函數(shù)關系，找出差異，尋找證明的突破口。