數(shù)形結(jié)合相得益彰

■劉長柏

平面向量的線性運算與坐標運算，既體現(xiàn)了形的直觀性，又體現(xiàn)了數(shù)的嚴謹性，兩者有機結(jié)合，使得數(shù)形結(jié)合得到有機地體現(xiàn)。下面探討平面向量中數(shù)形結(jié)合的幾種題型，供大家學習與參考。

一、線性運算以形示數(shù)，直觀顯現(xiàn)

例1在平行四邊形A B C D中，A B=4，，若，則的值是____。

解：因為A B C D是平行四邊形，利用向量的加法可得，所 以。答案為18。

評析：本題從形的角度研究向量的運算，巧妙地利用了向量的加法和數(shù)量積運算。

二、坐標運算以形助數(shù)，化難為易

例2如圖1，已知直角梯形A B C D中，A D∥B C，∠A D C=90°，A D=2，B C=1，P是腰D C上的動點，則的最小值為____。

圖1

解：以D為坐標原點，DA為x軸，D C為y軸，建立直角坐標系x D y，則A(2，0)。

設C(0，m)，m＞0，則B(1，m)。_設點，則(1，m-t)，所以所以

評析：本題是一個有關形的問題，通過代數(shù)變換，即用數(shù)的方法，說明了形的道理。從向量的定義可以看出，向量既有代數(shù)特征又有幾何特征，因此借助向量，可以將某些代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，又可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，向量起到了數(shù)形結(jié)合的橋梁作用。

三、數(shù)形對照，相互滲透

例3如圖2，在等腰直角三角形A O B中

圖2

解：(方法1)因為

(方法2)建立如圖2所示的直角坐標系x O y，則，所以

評析：方法1是利用向量的數(shù)量積運算求解的。方法2通過建立直角坐標系，巧妙地將向量問題坐標化，使向量運算完全代數(shù)化，體現(xiàn)了數(shù)學建模思想的應用。