一道2019年直線過定點?？碱}的探究與思考*

北京市第十二中學高中部(100071) 劉 剛

題目(2019年北京市海淀區(qū)一模文科第20題)已知橢圓的左頂點為A(?2,0),兩個焦點與短軸一個頂點構(gòu)成等腰直角三角形,過點P(1,0)且與x軸不重合的直線l與橢圓C交于M,N不同的兩點.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)當AM與MN垂直時,求AM的長;

(Ⅲ)若過點P且平行于AM的直線交直線于點Q,求證:直線NQ恒過定點.

試題考查了橢圓的標準方程、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關系以及直線過定點問題,考查了設而不求、整體替換等數(shù)學方法,檢驗了運算求解、分析問題與解決問題的能力.試題解法多樣,內(nèi)涵豐富,為不同學生搭建了施展才能的舞臺,是一道好題.第(Ⅰ)問求得橢圓C的方程為第(Ⅱ)問求得AM的長為下面重點探究第(Ⅲ)問的解法以及對試題的進一步思考.

1.解法探究

思路1設出M(x1,y1),N(x2,y2),然后表示出點Q的坐標,進而寫出直線NQ的方程,接下來聯(lián)立直線l與橢圓C的方程,運用韋達定理求解.

點評證法1由命題組提供,基本思路是借助直線NQ的方程以及韋達定理求解,但易想難算,對學生的運算能力要求較高.

思路2先考慮直線l與x軸垂直,求得直線NQ過點(2,0),由橢圓的對稱性猜想直線NQ過定點(2,0),然后再轉(zhuǎn)化為一般性的證明.

點評由于直線NQ所過的定點并沒有給出,這給解答增添了難度,如果事先能知道這個定點,無疑給前進的道路指明了方向,將會柳暗花明.因此,在解決這種問題時,先通過特殊位置(如直線與坐標軸垂直、與曲線相切等)找出定點,再轉(zhuǎn)化為一般性的證明,這是常用的解題思路.

思路3借助橢圓的參數(shù)方程求解.

點評證法3借助橢圓的參數(shù)方程設出點M,N的坐標,然后借助三角公式進行推理,回避了韋達定理,令人耳目一新.

2 思考

思考1將試題一般化,有怎樣的結(jié)論呢?經(jīng)過探究,得到下面的性質(zhì).

性質(zhì)1已知橢圓的左頂點為A,過點P(t,0)(0＜t＜a)且與x軸不重合的直線l與橢圓C交于M,N不同的兩點.若過點P且平行于AM的直線交直線于點Q,則直線NQ恒過定點(a,0).

請讀者參考以上三種證法,此處不再贅述.

思考2性質(zhì)1是由推出了(iii)“直線NQ恒過定點(a,0)”,那么能否由(ii)(iii)推出(i)以及(i)(iii)推出(ii)呢?經(jīng)過探究,結(jié)論依然成立,于是有下面的性質(zhì).

性質(zhì)2已知橢圓的左、右頂點分別為為A,B,過點P(t,0)(0＜t＜a)且與x軸不重合的直線l與橢圓C交于M,N不同的兩點.若直線NB與直線交于點Q,則PQ//AM.

性質(zhì)4,6的證明留給讀者自行完成.

以上從一道橢圓中的直線過定點問題出發(fā),探究了其解法并將題目引申得到了幾個優(yōu)美性質(zhì).在解題教學中,教師要引導學生學會思考,積極探究,善于挖掘題目的背景,弄清試題的來龍去脈,養(yǎng)成良好的解題習慣,努力將題目的價值最大化,這樣才會提高教學效率,從而提升學生的核心素養(yǎng).

以下試題供讀者練習

(1)若點P在橢圓C的內(nèi)部,求直線AM的斜率的取值范圍;

(2)設橢圓C的右焦點為F,點Q在y軸上,且∠PFQ=90?,求證:AQ//BM.

(1)當n=0,且直線CD⊥x軸時,求四邊形ACBD的面積;

(2)設n=1,直線CB與直線x=4相交于點M,求證:A,D,M三點共線.

3.(2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽遼寧預賽)如圖,已知橢圓的左頂點為A,右焦點為F(c,0),且 2b、a、c成等比數(shù)列.

圖

(1)求橢圓C的離心率;

(2)過點F的直線與橢圓C相交于M、N兩點,直線AM、AN分別與右準線l相交于P、Q兩點,求證為定值.