一個(gè)變式教學(xué)的案例設(shè)計(jì)與分析

余紅宴

摘 要：變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的成功經(jīng)驗(yàn)，被認(rèn)為是有效促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國(guó)方式。文章從一道課后習(xí)題出發(fā)，成功設(shè)計(jì)過(guò)程性變式案例，并對(duì)案例進(jìn)行了分析和總結(jié)。

關(guān)鍵詞：習(xí)題教學(xué);變式教學(xué);數(shù)學(xué)思維;過(guò)程性變式

變式教學(xué)在國(guó)際上被認(rèn)為是促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國(guó)方式，馬頓（Marton）理論為變式教學(xué)提供了認(rèn)識(shí)論基礎(chǔ)和支撐理論。在《華人如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)》的著作中，變式教學(xué)已經(jīng)成為“中國(guó)學(xué)習(xí)者”現(xiàn)象的正面評(píng)價(jià)之一[1]。近些年來(lái)，中小學(xué)已有很多教師開(kāi)展變式教學(xué)方面的實(shí)踐[2-9]。顧泠沅提出了變式教學(xué)的兩種類型：概念性變式和過(guò)程性變式[1]。

本文從一道高中課后習(xí)題出發(fā)，基于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的基本思路，設(shè)計(jì)問(wèn)題串，形成過(guò)程性變式案例。

1 課后習(xí)題

[原題]如圖1，把一段半徑為的圓木，鋸成橫截面為矩形的木材，怎樣鋸法才能使橫截面面積最大？

[問(wèn)題分析]將問(wèn)題抽象為一個(gè)圓形內(nèi)接矩形的面積最大值問(wèn)題。

[解答]因?yàn)殇彽玫木匦问菆A內(nèi)接矩形，所以它的對(duì)角線是圓的直徑，其長(zhǎng)度應(yīng)為2R，設(shè)對(duì)角線與一條邊的夾角為α，則矩形的長(zhǎng)和寬分別為2Rcosα，2Rsinα。所以矩形的面積

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立。

即時(shí)α=45°時(shí)，，此時(shí)矩形為內(nèi)接正方形。

2 過(guò)程變式設(shè)計(jì)

[變式1] 如圖2，[原題]中的“圓木”改為“半圓木”呢？

[解答] 由題意可知AB=2Rcosα，BC=Rcosα，由此可知

當(dāng)且僅當(dāng)2α=90°，即α=45°時(shí)，Smax=R2。此時(shí)，矩形長(zhǎng)與寬之比為2：1。

[變式2]如圖3，[變式1]中的“半園”改為“園心角為90°的扇形”呢？

[解答]由題意可知OA=Rcosα，AB=Rsinα，即

當(dāng)且僅當(dāng)2α=90，即α=45°，。此時(shí)，矩形是正方形。

[變式3]如圖4，[變式2]中的“圓心角為90°的扇形”改為“中心角為45°的扇形”呢？

[解答]設(shè)，BC=Rsinα，OA=AD=Rsinα，BC=Rsinα，由此可得

當(dāng)且僅當(dāng)α=22.5°，矩形的面積最大。

[變式4] 如圖5，[變式3]中的“園心角為45°”改為“園心角為θ”（0°<θ<90°）呢？

[思考分析]設(shè)，，由此可得

BC=Rsinα，CD

所以，

[變式5]如圖6，改變[變式2-4]中對(duì)矩形的放置限制呢？

[思考分析]因?yàn)閳D6扇形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的兩邊恰好是[變式4]的情形。

[變式6] 如圖7，從[變式1]“鋸圓木”回歸生活實(shí)際中，[變式5]可以改編為一道古代扇形窗戶的設(shè)計(jì)題。

[應(yīng)用題]，如圖7所示，有一半徑為的古代扇形窗戶，中心角為2θ，現(xiàn)要求改造為一矩形窗戶，問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使矩形窗戶的面積最大？

3 教后反思

高中教材課后習(xí)題，都具有典型性、可探索性?？梢愿鶕?jù)過(guò)程性變式理論，設(shè)計(jì)問(wèn)題串，引申，擴(kuò)展，使得學(xué)生的思維能力在變式的過(guò)程得到訓(xùn)練，擴(kuò)寬學(xué)生的解題思路，能夠有效促進(jìn)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的遷移能力的提高。隨著新課程改革的深入，看似“慢”的教學(xué)，只要長(zhǎng)期堅(jiān)持，就會(huì)極大的加快數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率的提升，實(shí)際上是一種“快”的教學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

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