運用排序法在解題中的應(yīng)用

曹路路

【內(nèi)容摘要】運用排序解題，其思想是將某些對象按照一定的規(guī)則進行升序或降序排列，然后通過對這種順序關(guān)系的研究，從而獲得解題方法。運用排序解題的時候，切忌與極端原理相混淆。排序主要是運用排列得到的順序，再結(jié)合其它的數(shù)學技巧進行解題，其關(guān)鍵是要找準排序?qū)ο蟆?/p>

【關(guān)鍵詞】有序性 排序方法 極端原理 反證法

本文結(jié)合一些典型的例題介紹幾種常見的排序方法。

一、以實數(shù)的大小進行排序

當條件中出現(xiàn)，z個實數(shù)時，運用實數(shù)的有序性進行排序。然后結(jié)合條件，觀察是否對解題有幫助。

【例1】給定7個不同的正整數(shù)，它們之和為100。求證：在這7個數(shù)中，一定存在三個數(shù)，它們的和至少是50。

【解析】該題可將7個正整數(shù)進行排序：a

【例2】（1990年全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）現(xiàn)有2n×2n的正方形方格棋盤，在其中任意的3n個方格中各放一枚棋子，求證：可以選出n行n列，使得3n枚棋子都在這n行和n列中。

【解析】可設(shè)備行棋子數(shù)為P1，P2，…，P2n，對這些棋子數(shù)進行一個排序：

Pl≥P2≥…≥P?！軵。+l≥…≥P2n

由題設(shè)：

P1+P2+-+Pn+Pn1+1+-+P2n=3n

取棋子數(shù)為p1，p2，…，P2n的這n行，則必有P.+P：+-+P?！?n。

下面運用反證法，假設(shè)：

P1+P2+-+P?！?n-l。

運用最初的排序可得：

P._1+P.+2+-+P2n≥n+1==》

（P.+.+P.+2+…+P2n）≥I+T1

根據(jù)平均值原理可知：

Pn+1.，Pn-2，…，P2n中至少有一個不小于2，則：

Pl≥P2≥…≥P?！?

于是：

P1+P2+-+P.+P._1+…+P2Z≥2n+（，z+1）=3n+1

這與假設(shè)矛盾。

故選出來的n行已經(jīng)含有不少于2n枚棋子，再選出n列包含其余的棋子（至多n枚），這樣選出的n行n列就包含了全部的3n枚棋子。

二、以線段長度進行排序

由于平面上的點，任意兩點連接而成的線段的個數(shù)是有限的。如果它們長度均不相等，則通過對它們進行排序，從中選出需要的線段;或者經(jīng)過某種操作使得與平面上的點對應(yīng)的線段長度不一，以達到排序的目的。

【例3】平面上任意奇數(shù)個點，如果任意三點組成的三角形的周長均不相等，那么必定存在一個橢圓，使得該橢圓內(nèi)與橢圓外的點數(shù)相同。

【解析】設(shè)平面上有2n+l個點，首先，對于平面上有一個點和三個點的情況，結(jié)論是顯然成立的。當n≥2時，從中任意選出兩點A，B作為橢圓的焦點，它們與其余2n-l個點中的每一個都可以確定一個橢圓。因為任意三點組成的三角形的周長均不相等，所以可以得到2n-l個不同的橢圓。按照橢圓長軸的大小順序?qū)@些橢圓進行排序：

以a1< a2<…

其中a1表示第i個橢圓的長軸。那么第n-2個橢圓即滿足要求。

【評注】例3中通過對橢圓長軸排序達到了解題目的。在運用以線段長度進行排序的時候請注意，如果解題用到的只是這些線段中的最長或最短的那一條，用極端原理即可，勿須考慮如何排序，如：

（第24屆莫斯科數(shù)學奧林匹克試題）在平面上有100個點，其中任何兩點的距離都不超過1，并且任三點為頂點都構(gòu)成鈍角三角形。試證能夠作出一個半徑為的圓，使得所有的點都在圓內(nèi)或圓周上。

提示：運用極端原理，從任意兩點連接得到的所有線段中選出距離最遠的兩個點A，B（必定是存在的）。以AB為直徑作圓S，圓S或其同心圓滿足要求。

三、以點到直線的距離大小進行排序

平面上的點，它們確定的直線條數(shù)是有限的。平面上必定存在一條直線與這些直線都相交，從而使得點到該直線的距離都不相等，通過對這些距離的排序達到解題目的。

【例4】平面上有2n個點，任三點不共線。求證：存在一條直線，使得該直線兩側(cè)均有，2個點。

【解析】平面上必存在一條直線，，它與2n個點中任兩點確定的直線都相交，且全部的點都在，的上方，這些點到，的距離均不相等，將它們按照從小到大排列：

只需作直線mP/，且兩平行線間的距離滿足：，不難看出直線m的兩側(cè)各有，n個點。

【評注】例4讓我們想起了英國著名數(shù)學家希爾維斯特（J.J.Sylvester）提出的一個有趣的問題：

平面上有n（n≥3）個不全共線的點。求證：存在一條直線，，它恰通過其中兩個點。

該題的證法有很多，其中凱里（LM.Kelly）給出的簡單證明中雖然也用到了點到直線的距離，但是僅用到其中的最小值（極端原理），然后結(jié)合反證法的出來的。

四、建立平面直角坐標系，以橫（縱坐標）的大小進行排序

顧名思義，即建立合適的坐標系，使得平面上的點在x軸（y軸）上的射影均不相同，根據(jù)橫（縱）坐標的大小進行排序。

【例5】（1990年中國浙江省數(shù)學夏令營試題）設(shè)平面上有1990個相異的點。是否可以做出一個正三角形，使其中995個點在內(nèi)部，其余995個點在外部？

【解析】該題可以用例4的方法來做。這里考慮建立直角坐標系xy，其中y軸與1990個點中任兩點的連線都相交，并使得1990個點的橫坐標都不相同，將它們進行排序：

作直線1：

則，的兩側(cè)各有995個點?，F(xiàn)在，只需要作一個充分大的正三角形，使其一邊在，上即可。

【評注】該排序方法與第二類排序方法有異曲同工之妙，但是它們最大的不同在于該方法使得平面上的每一個點都有了坐標，這對解某一類題會有很大的幫助，如：

（第32屆國際數(shù)學奧林匹克預(yù)選題）設(shè)S是由平面上的n（n≥3）個點組成的集合，其中，任三點都不共線。試證在平面上存在一個由2n-5個點組成的集合M，使得在以S中任意三點為頂點的三角形內(nèi)部至少有一個M中的點。

五、以兩直線的夾角的大小進行排序

在平面上如果確定一條直線的位置和該直線上的一點，根據(jù)該點與平面上的點所確定的直線與該直線的夾角大?。梢杂姓摚?，可對它們進行排序。

【例6】給定平面上2n+2個點，其中任意三點不共線。求證：在2n+2個點中存在兩點，這兩點確定的直線將其它點分為兩部分，每部分均有，z個點。

【解析】該題所求的直線要經(jīng)過其中的兩個點，以點到直線的距離大小進行排序就顯得不適合了，現(xiàn)在考慮使用角度進行分類。如圖1，設(shè)P.表示位于最西面的點（如果位于最西面的有兩個點，那么選其中的任意一個點作為P.）。以P.為原點建立直角坐標系，其中x軸方向為西一東;y軸方向為南一北。按照P1P，與x軸正方向所成夾角的升序排列，將剩下的點依次標記為P1，P3，…，P2n+2，因為任三個點不共線，所以直線P，P與x軸正方向所成角在-90。到90。之間，直線PIPn+2滿足要求。

六、以點到固定線段的視角大小進行排序

因為在一個圓中，如果一條弦所對的圓周角均在它的一側(cè)，那么這些圓周角相等。該排序方式主要是根據(jù)這一}生質(zhì)進行的。

【例7】（1963年中國北京數(shù)學競賽試題）已知平面上有2n+3（n≥1）個點，其中沒有三點共線，也沒有四點共圓。能否通過其中三點作一個圓，使得其余2n個點一半在圓內(nèi)，一半在圓外？證明你的結(jié)論。

【解析】如圖2，在2n+3個點中必定存在兩點A，B，使得其余2n+l個點都在直線AB的一側(cè)。因為任意四點不共圓，所以將2n+l個點分別與A，B連接，將得到的視角按照從小到大進行排列：

從而VAPn+1B的外接圓即為所求。

【評注】該解法巧妙的運用任意四點不共圓得到?jīng)]有兩點到線段AB的視角相等，從而通過排序得到滿足要求的圓。與該題相類似的題目有：

從以上例題中可以看出，對于某些數(shù)學題，如果我們在不改變原題性質(zhì)的前提下選準排序?qū)ο?，再結(jié)合其它的數(shù)學技巧和方法，就能快速得到解答。其中，排序?qū)ο蟮倪x取方法有很多種，本文僅列出以上幾種情況，希望對讀者有所幫助。

【參考文獻】

[1]朱華偉、齊世蔭，從課堂到奧數(shù)（九年級）[M].北京：中國少年兒童出版社.2009.

[2]朱恒元，排序法解題數(shù)例[J].中學教研（數(shù)學），1990（10）.

[3]陸志昌，一種解題策略——排序法[J].數(shù)學教學研究，1991（04）.

[4]羅方紅，排序法解數(shù)學競賽題[J].數(shù)學通訊，1995（04）.

[5]張奎、沈文選、冷崗松，奧林匹克數(shù)學中的組合問題[M].湖南：湖南師范大學出版社，2004.

[6] Titu Andreescu&Razvan Gelca.Mathematical Olympiad Challenges[M].USA： Birkhauser Boston， 2000.

【本論文為廣州教育政策研究課題“利用少年科學院提高學生科學素養(yǎng)培養(yǎng)科技創(chuàng)新人才的實踐研究”（課題批準號：ZCYJ18023）的部分研究成果。】

（作者單位：廣州大學附屬中學）