2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第10題的探究*

福建省莆田第二中學(xué) (351131) 蔡海濤

1.試題呈現(xiàn)

(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷·理10)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為( ).

本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．

2.解法賞析

圖1

解法1:如圖1，因?yàn)?/p>

|AF2|=2|F2B|，所以|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，所以|BF1|=

評(píng)注:以上兩種解法均由橢圓的定義入手，把

|AF1|、|AF2|、|BF1|、|BF2|用a表示，且發(fā)現(xiàn)A為橢圓短軸端點(diǎn).然后抓住兩個(gè)焦點(diǎn)三角形(橢圓或雙曲線上任一點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)所構(gòu)成三角形稱為橢圓或雙曲線的焦點(diǎn)三角形)△AF1F2、△BF1F2之間的關(guān)系(法1)，或是抓住△AF1B、△AF1F2之間的關(guān)系(法2)，尋找關(guān)于基本量間的等量關(guān)系，建立關(guān)于基本量的方程，求得a的值，進(jìn)而求得橢圓的方程.一般地，涉及焦點(diǎn)三角形的計(jì)算常常利用定義入手，兩個(gè)焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題往往要發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形邊、角的關(guān)系.

評(píng)注:解法3和解法4均考慮先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得a的值.兩種解法的區(qū)別在于求得點(diǎn)B的坐標(biāo)方法不同，解法3利用向量方法，解法4利用平幾方法.在解析幾何的運(yùn)算中，要注意平面向量的工具功能.

3.背景探究

圖2

下同解法1.

圖3

同理，可證雙曲線有相同的結(jié)論.

荀況說(shuō)過(guò)：“不登高山，不知天之高也；不臨深谷，不知地之厚也；不聞先王之遺言，不知學(xué)問(wèn)之大也.”正如荀況所說(shuō)，近幾年數(shù)學(xué)高考試題的命制也從更高的觀點(diǎn)展望和突破.[1]一道看似平淡無(wú)奇的高考題，若我們加以探究，可能會(huì)發(fā)現(xiàn)一題多解那片“美麗的風(fēng)景”，再由特殊推廣到一般，探究其命題的背景，則我們更能把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，更好地統(tǒng)領(lǐng)問(wèn)題的全局.