對數(shù)是個萬花筒
——以同一份試卷中的一類題為例

江蘇省蘇州市田家炳實驗高級中學(xué) (215004) 周 磊

筆者最近給學(xué)生布置了一份本地上一屆高三期中數(shù)學(xué)聯(lián)考的試卷，經(jīng)過仔細(xì)的研究和思考，筆者發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象，整份試卷中，填空題的壓軸題、解答題的壓軸題以及附加題的壓軸題不約而同地都涉及到了函數(shù)y=lnx的幾個不等關(guān)系，都與函數(shù)y=lnx的圖象有關(guān)．受此啟發(fā)，筆者將以這份試卷中的這三個壓軸題來談一下高三解題教學(xué)中，如何進(jìn)行從“有解”到“優(yōu)解”的教學(xué)實踐，與同行交流.

1．試題呈現(xiàn)

問題2 (蘇州市五市四區(qū)高三(上)期中第19題)已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=x2-x-m.

(2)若m=0，求函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在(0,a]上的最大值；

問題3 (蘇州市五市四區(qū)高三(上)期中第23題)(1)若不等式(x+1)ln(x+1)≥ax對任意x∈[0,+∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

2.背景初探

結(jié)合筆者教學(xué)實踐，不難發(fā)現(xiàn)這三道壓軸題都涉及常見的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)不等式，具體如下：

不等式2 lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等.

不等式2-1ex≥ex，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等.

證明:由不等式lnx≤x-1可知elnx≤ex-1，即ex≥ex.

不等式2-2ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等.

證明:在不等式lnx≤x-1中，用ex代替x，即lnex≤ex-1，有ex≥x+1.

不等式4 lnx≤x(x-1)，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等.

圖1

評注1:上面的幾個函數(shù)不等式，本質(zhì)上也可以用函數(shù)圖象來表達(dá)，如圖1,即函數(shù)y=lnx與幾個初等函數(shù)的圖象關(guān)系，通過“數(shù)”的證明和“形”的說明，可以很好地擴(kuò)充學(xué)生的審題視野，豐富學(xué)生的解題視角.

3.問題再析

下面，利用上述函數(shù)不等式對這幾道壓軸問題進(jìn)行分析，首先是“有解”，即運用通性通法順利解決問題；再去研究是否有別的途徑進(jìn)行“多解”探究，最后才有可能達(dá)到“優(yōu)解”的階段.

針對填空題，問題1的解答利用圖形特征，這里需要說明的是，如果這是解答題，還是要通過零點判定定理去證明，這種方法也被眾多高三師生所熟悉和使用，以問題2的通解為例：

問題2通解:由f(x)+g(x)

=-3，即當(dāng)m≥-3時，原函數(shù)不等式成立.

不可否認(rèn)，這種解法思路分明，思維嚴(yán)謹(jǐn)，但是在追求最優(yōu)解的解題道路上，能否再思考的深入點呢？問題中同時出現(xiàn)了ex和lnx，由前文幾個不等關(guān)系可知，這兩個函數(shù)都可以與多項式函數(shù)有聯(lián)系，為此，不妨采用這個思路去分析，過程如下：

問題3證明(1)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，其中x∈[0,+∞)，有f′(x)=1-a+ln(x+1).

當(dāng)a≤1時，f′(x)≥0，fmin(x)=f(0)=0，則a≤1滿足題意；

綜上可知a≤1.

當(dāng)a>1時，當(dāng)h′(x)≥0時，x≥a-1；當(dāng)h′(x)≤0時，0≤x≤a-1；有hmin(x)=h(a-1)=lna-(a-1)<0，因此a>1不合題意.”

(3)若第(1)題是填空題的話，也可從幾個角度進(jìn)行分析：

視角1 當(dāng)x=0時，a∈R；

視角2 設(shè)t=x+1(t≥1)，即tlnt≥a(t-1)恒成立，其中u(t)=tlnt在[1,+∞)為單調(diào)遞增函數(shù)，且過點(1,0)，直線y=a(t-1)始終在函數(shù)u(t)=tlnt的圖象下方，則a≤u′(1)=1.

視角3 設(shè)t=x+1(t≥1)，即tlnt≥a(t-1)恒成立，其中u(t)=tlnt；

當(dāng)t=1時，a∈R；

4.解題感悟

本文中，通過對一張期中聯(lián)考試卷中的三個函數(shù)壓軸題進(jìn)行仔細(xì)分析，結(jié)合筆者自身的教學(xué)實踐，也觸發(fā)了一些思考和感悟：

感悟1:從聯(lián)系的視角理解數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)工作中的一項艱巨而重要的任務(wù)，尤其是面對像高考這種選拔性的考試，高考試題的命制理念之一就是試題源于教材，又要高于課本.高三一輪的復(fù)習(xí)過程中，特別要關(guān)注教材，以教材為藍(lán)本幫助學(xué)生數(shù)學(xué)建好知識聯(lián)系的框架，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué).文中研究的這幾道以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)為背景的壓軸題，對學(xué)生理解數(shù)學(xué)有著極好的引導(dǎo)作用．具體而言，理解數(shù)學(xué)要“把書讀薄”，即要明白知識的核心和本質(zhì)是什么，不同知識結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，對教材內(nèi)容的結(jié)構(gòu)發(fā)展有著深刻的認(rèn)識，充分明白數(shù)學(xué)教材中關(guān)鍵知識點之間的相互轉(zhuǎn)化過程．這樣的解題教學(xué)才是高效的，作為求知者的學(xué)生才能從被動的解題中解放出來，知曉知識的來龍去脈，深究核心知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而做到了然于心，方能運用自如．

感悟2:用創(chuàng)新的思維研究數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)問題總是千變?nèi)f化，解一題并通一類，是數(shù)學(xué)解題的終極目標(biāo)．作為教者，首先要更新觀念，多學(xué)習(xí)，多思考、多準(zhǔn)備，充分做到備教材、備學(xué)生、備教法.具體而言，要想提升解題教學(xué)的效果，首先，教師應(yīng)善于研究學(xué)生的思考方式值得仔細(xì)研究，它既是學(xué)生學(xué)習(xí)和解決問題的核心要素．本文研究所分析的這類問題，一方面可以沿著學(xué)生的思路引導(dǎo)學(xué)生展開思考，讓學(xué)生厘清解題思維的切入點、轉(zhuǎn)折點和關(guān)鍵點，探究通法并解決問題；另一方面，也可以通過評析問題并解釋清楚其中的問題內(nèi)涵，發(fā)掘一類問題的本質(zhì)屬性，另辟蹊徑，從而可用創(chuàng)新的思維去研究數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)從“有解”到“優(yōu)解”的解題境界，促進(jìn)師生共同提升思維品質(zhì)．