關(guān)注數(shù)學(xué)思想滲透 凸顯核心素養(yǎng)培養(yǎng)*
——以2019年高考三角函數(shù)試題為例

甘肅省武威第十六中學(xué) (733018) 劉玉文

數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成的，是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的知識(shí)、能力和思維品質(zhì).數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心部分,數(shù)學(xué)思想貫穿在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中.許多三角函數(shù)問(wèn)題，若能靈活運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，往往能快速、準(zhǔn)確地找到解題思路，從而得到便捷的解法.本文以2019年高考三角函數(shù)試題為例，說(shuō)明數(shù)學(xué)思想在三角函數(shù)中的運(yùn)用以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的凸顯，以達(dá)到拋磚引玉之功效.

1.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合可以使抽象的、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來(lái).在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過(guò)程中，應(yīng)把三角函數(shù)的性質(zhì)融于函數(shù)的圖形之中，充分利用三角函數(shù)的圖象來(lái)解決問(wèn)題.

A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|

C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|

評(píng)注：數(shù)形結(jié)合是將抽象的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直觀的幾何問(wèn)題求解，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合.本題通過(guò)作出函數(shù)f(x)=sin|x|、f(x)=

2.化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想是指研究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種解題策略.一般有以下幾種方法：(1)未知化為已知;(2)特殊化為一般;(3)一般化為特殊;(4)等價(jià)轉(zhuǎn)化.

例2 (浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)=sinx,x∈R.

(1)已知θ∈[0,2π),函數(shù)f(x+θ)是偶函數(shù)，求θ的值；

評(píng)注：本題(1)的解答關(guān)鍵是函數(shù)f(x+θ)是偶函數(shù)為切入點(diǎn)，然后等式兩邊分別進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.本題(2)的解答關(guān)鍵是半角公式的逆用、輔助角公式的巧用、三角函數(shù)有界性的活用而得解，本題在對(duì)問(wèn)題的解答過(guò)程中，顯示出強(qiáng)大的轉(zhuǎn)化與化歸功能，有梯度，立意深刻，充分凸顯了對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考察.

3.函數(shù)與方程思想

高考數(shù)學(xué)試題既有考查函數(shù)與方程思想的基本概念與基本性質(zhì)的客觀型試題，又有從深層次上對(duì)函數(shù)與方程思想進(jìn)行綜合考查的主觀型試題.應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題，要學(xué)會(huì)用變量來(lái)思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)溝通已知與未知之間的關(guān)系.

=-4，故函數(shù)f(x)的最小值為-4．

評(píng)注：本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化得到二倍角的余弦，進(jìn)一步應(yīng)用二倍角的余弦公式，得到關(guān)于cosx的二次函數(shù)，從而得解.體現(xiàn)了函數(shù)思想的運(yùn)用，凸顯了對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的考察.

(1)求b，c的值；

(2)求sin(B-C)的值．

4.分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論的原則是分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一.分類(lèi)要做到不重復(fù)、不遺漏，能不分類(lèi)的盡量不分類(lèi)，絕不無(wú)原則地分類(lèi).分類(lèi)的步驟有四步：(1)明確討論的對(duì)象；(2)確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)；(3)逐步進(jìn)行討論；(4)歸納小結(jié)總結(jié)出結(jié)論.

評(píng)注：本題利用分類(lèi)討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.由題意首先求得tanα的值，然后利用兩角和的正弦公式和二倍角公式將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問(wèn)題，最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可.體現(xiàn)了三角化簡(jiǎn)求值的靈活性和綜合性，達(dá)到了訓(xùn)練、理解、思維品質(zhì)的梯度上升，凸顯了對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考察.

5.整體思想

整體思想在三角函數(shù)中主要體現(xiàn)在利用整體代入、整體變形、整體換元、整體配對(duì)、整體構(gòu)造等進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，研究函數(shù)性質(zhì)等.

(1)求B；

(2)若ΔABC為銳角三角形，且c=1，求ΔABC面積的取值范圍．

總之，三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想較多，但它們的核心是化歸與轉(zhuǎn)化思想，只要大家認(rèn)真思考，靈活運(yùn)用，在運(yùn)用中感悟數(shù)學(xué)思想，積累思維經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)思想一定能給你的學(xué)習(xí)帶來(lái)事半功倍的效果，只有這樣，才能有效形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).