關(guān)于長(zhǎng)方形和正方形的面積單元編寫(xiě)的研究（一）

劉慧 劉憲升

[摘 要]對(duì)人教版和青島版教材中“用正方形作為面積單位的合理性”之編寫(xiě)思路與意圖進(jìn)行了研究，合理性的依據(jù)均為“正方形能?。ㄕ┖娩仢M所測(cè)圖形”。分析與論證此依據(jù)的不科學(xué)性——只是對(duì)圖形的大小與形狀進(jìn)行選擇性取舍的一種巧合現(xiàn)象，且犯了以偏概全的錯(cuò)誤，從而提出讓學(xué)生感悟用正方形作為面積單位的合理性之編寫(xiě)建議。

[關(guān)鍵詞]面積;面積單位;正方形;合理性

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2019）05-0001-03

課程改革以來(lái)，數(shù)學(xué)教材的編寫(xiě)呈現(xiàn)了百花爭(zhēng)艷的喜人景象。可以說(shuō)，教材編寫(xiě)有了較大的進(jìn)步，尤其注重情境創(chuàng)設(shè)和操作活動(dòng)的設(shè)計(jì)，以及數(shù)學(xué)知識(shí)形成和發(fā)展過(guò)程的展現(xiàn)。這不但對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力具有重要意義，也充分體現(xiàn)了課程改革的理念，有利于教育目標(biāo)的達(dá)成。然而，仔細(xì)研讀教材后發(fā)現(xiàn)，教材中絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容的編寫(xiě)意圖都可以貫徹落實(shí)，但有一些數(shù)學(xué)內(nèi)容編寫(xiě)存在著科學(xué)性錯(cuò)誤與落實(shí)困難等問(wèn)題。今以各版本三年級(jí)教材中“長(zhǎng)方形與正方形的面積”這一單元為例，做一專題性的研究，以期對(duì)教材編寫(xiě)和教師教學(xué)有所幫助。本文先對(duì)“用正方形作為面積單位的合理性”編寫(xiě)依據(jù)的科學(xué)性進(jìn)行探討。

綜觀國(guó)內(nèi)現(xiàn)行各版本教材關(guān)于該單元的編寫(xiě)，只有人教版和青島版三年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材（下面簡(jiǎn)稱人教版教材、青島版教材）對(duì)用正方形作為面積單位的合理性之形成過(guò)程進(jìn)行了編寫(xiě)，其他版本教材都是直接用正方形作為面積單位進(jìn)行測(cè)量的。然而，經(jīng)反復(fù)推敲發(fā)現(xiàn)，人教版和青島版教材關(guān)于用正方形作為面積單位的合理性之形成過(guò)程的編寫(xiě)值得商榷。

一、用正方形作為面積單位的合理性之依據(jù)分析

總體上來(lái)說(shuō)，人教版和青島版教材，關(guān)于用正方形作為面積單位的合理性的編寫(xiě)思路相似：先創(chuàng)設(shè)用觀察和重疊的方法不容易比較兩平面圖形面積大小的問(wèn)題情境，制造認(rèn)知沖突;繼而引導(dǎo)學(xué)生借助其他圖形做標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)測(cè)量、拼擺等動(dòng)手操作活動(dòng)進(jìn)行間接比較;最后結(jié)合拼擺的過(guò)程和結(jié)果的對(duì)比，讓學(xué)生感悟或發(fā)現(xiàn)用正方形作為面積單位的合理性。為便于討論，下面進(jìn)行具體分析。

1.人教版教材通過(guò)正方形恰好能鋪滿所測(cè)圖形認(rèn)識(shí)合理性

為了讓學(xué)生感悟用正方形作為面積單位的合理性，人教版教材在第62頁(yè)（如圖1-1）的左側(cè)出示圓、正三角形和正方形三種圖形，讓學(xué)生將它們作為測(cè)量單位，通過(guò)拼擺與測(cè)量比較兩個(gè)長(zhǎng)方形面積的大小，并在單位圖形的右側(cè)呈現(xiàn)了拼擺結(jié)果圖，引導(dǎo)學(xué)生思考“用哪種圖形作為面積單位最合適？為什么？”，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到用正方形能恰好鋪滿被測(cè)圖形，而用圓和正三角形不能鋪滿被測(cè)圖形，進(jìn)而得出“選擇正方形作為面積單位最合適”的結(jié)論。

可見(jiàn)，教材上并沒(méi)有說(shuō)選擇正方形作為面積單位的原因，只是呈現(xiàn)拼擺結(jié)果后提出了問(wèn)題。下面將對(duì)此進(jìn)行論證。

首先，教材在左側(cè)給出測(cè)量單位圖形，而在右側(cè)呈現(xiàn)的拼擺結(jié)果圖中，人為地將測(cè)量單位圖形變大了（如圖1-1），顯然是想湊出正方形能恰好鋪滿所測(cè)圖形的結(jié)果。按理說(shuō)，測(cè)量單位圖形既然已給出，其形狀和大小就不應(yīng)該再發(fā)生變化，可若不變大的話，就可能出現(xiàn)用正方形也不能恰好鋪滿所測(cè)圖形的結(jié)果。當(dāng)然，這也可能是編寫(xiě)疏忽或印刷錯(cuò)誤造成的問(wèn)題，但接下來(lái)的論述否定了此原因。

其次，由教材編者編寫(xiě)的人教版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書(shū)三年級(jí)下冊(cè)》中，反復(fù)說(shuō)明用正方形作為面積單位的原因是“恰好鋪滿被測(cè)圖形”。該書(shū)在教材編寫(xiě)特點(diǎn)之“第二，讓學(xué)生經(jīng)歷確定面積單位的過(guò)程”（第142頁(yè)）中是這樣闡述的：“但由于用圓形、正三角形作為面積單位，不能將所測(cè)圖形全部鋪滿，因此不能準(zhǔn)確測(cè)量出一個(gè)圖形的面積。正方形能鋪滿所測(cè)圖形，且四條邊一樣長(zhǎng)，在擺放時(shí)不用考慮方向和位置，作為面積單位更合適。”第147頁(yè)“編寫(xiě)意圖”中 “三是怎么量？面積單位要鋪滿所測(cè)量的對(duì)象?！钡?49頁(yè)“教學(xué)建議”中“這里要讓學(xué)生體會(huì)面積單位要密鋪所測(cè)圖形，且拼擺方便，正方形恰好具有這樣的特點(diǎn)?！钡?66頁(yè)呈現(xiàn)的教學(xué)設(shè)計(jì)案例中，引導(dǎo)學(xué)生從以下兩方面體會(huì)正方形作為面積單位最合適：一是正方形能鋪滿（密鋪）所測(cè)圖形;二是正方形四條邊一樣長(zhǎng)，在擺放時(shí)不受擺放位置和方向的限制。緊接著給出設(shè)計(jì)意圖“在拼擺過(guò)程中體驗(yàn)單位的價(jià)值和選擇面積單位的依據(jù)……認(rèn)識(shí)正方形是最合適的面積單位。”從這些論述中可以看出，正方形作為面積單位的依據(jù)是其恰好能鋪滿所測(cè)圖形。當(dāng)然，便于拼擺也是原因之一，而“四條邊一樣長(zhǎng)”恐怕難以說(shuō)明問(wèn)題，因?yàn)檎噙呅蔚倪叾家粯娱L(zhǎng)，那怎么不用別的圖形？比如菱形 ?！霸跀[放時(shí)不用考慮方向和位置”恐怕也難說(shuō)明問(wèn)題，就是教材所呈現(xiàn)測(cè)量結(jié)果圖中的那些單位正方形，若將其中的一個(gè)或多個(gè)繞其一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，也不能正好鋪滿被測(cè)圖形。

總之，從人教版教材的編寫(xiě)思路與意圖來(lái)看，正方形作為面積單位的合理性的依據(jù)就是其恰好能鋪滿所測(cè)圖形。

2.青島版教材通過(guò)正方形正好能鋪滿所測(cè)圖形認(rèn)識(shí)合理性

為了讓學(xué)生體會(huì)用正方形作為面積單位的合理性，青島版教材第51頁(yè)（如圖2）的左側(cè)出示了圓、較大的正方形和較小的正方形三種圖形作為面積測(cè)量單位，讓學(xué)生通過(guò)擺一擺的辦法比較一個(gè)正方形和一個(gè)長(zhǎng)方形面積的大小，并在單位圖形的右側(cè)呈現(xiàn)了拼擺結(jié)果圖，再讓學(xué)生根據(jù)拼擺的結(jié)果，思考“測(cè)量圖形的面積用什么形狀的圖形更合適呢？”進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到用圓鋪滿所測(cè)圖形后還有縫隙，不合適，而用大小兩種正方形能正好鋪滿被測(cè)圖形，無(wú)縫隙，都合適。教材在測(cè)量單位圖形的右側(cè)呈現(xiàn)的拼擺結(jié)果圖中，人為地把左側(cè)給出的測(cè)量單位圖形都變小了（如圖2），也足以說(shuō)明這是為了出現(xiàn)正方形能正好鋪滿所測(cè)圖形的設(shè)計(jì)。

另外，由教材編者編寫(xiě)的青島版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書(shū)三年級(jí)下冊(cè)》，在信息窗1的解讀及學(xué)與教的建議，關(guān)于教學(xué)紅點(diǎn)標(biāo)示問(wèn)題的步驟3中（第76頁(yè)）指出：“在操作過(guò)程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)用圓形卡片拼擺是無(wú)法把平面圖形鋪滿的，而用正方形能夠正好鋪滿，因此選擇正方形比較合適。”這進(jìn)一步說(shuō)明了青島版教材的編寫(xiě)思路與意圖：通過(guò)正方形能正好鋪滿所測(cè)圖形，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)其作為面積單位的合理性。

綜上所述，從兩個(gè)版本教材的編寫(xiě)思路與意圖來(lái)看，它們都是把正方形恰（正）好能鋪滿所測(cè)圖形作為選擇面積單位的依據(jù)。

二、“?。ㄕ┖媚茕仢M所測(cè)圖形”作為選擇面積單位的依據(jù)不科學(xué)

首先，作為測(cè)量單位的正方形，并不能鋪滿所有的平面圖形。不說(shuō)用其測(cè)量曲邊形的面積，或一般的多邊形面積，就是最簡(jiǎn)單的三角形，用正方形也不可能正好擺滿。事實(shí)上，不存在用一個(gè)平面圖形可以正好鋪滿所有平面圖形。若以?。ㄕ┖媚茕仢M所測(cè)圖形作為選擇面積單位的依據(jù)的話，那根本就找不到一個(gè)正好合適的面積單位，也無(wú)法度量面積。因此，此依據(jù)的提出既牽強(qiáng)附會(huì)，又不科學(xué)。

其次，退一步來(lái)看，如果說(shuō)是因?yàn)檎叫巫鳛槊娣e單位能正好鋪滿所測(cè)的平面圖形是最多的，因而用正方形作為面積單位，并以此作為選擇面積單位的依據(jù)，那作為面積單位的圖形也得改用其他圖形。就拿教材中所給出的圖形來(lái)說(shuō)，若沿一條對(duì)角線把用作面積單位的正方形分成兩個(gè)等腰直角三角形，用這個(gè)等腰直角三角形去測(cè)量教材中的被測(cè)圖形，顯然也正好可以鋪滿，而且還能正好鋪滿用正方形也鋪不滿的更多的圖形。比如，人教版教材中第62頁(yè)“做一做”中的第二個(gè)和第三個(gè)圖形（如圖1-2）;青島版教材中第52頁(yè)“自主練習(xí)”第1題中間的圖形，等等。那可否據(jù)此不用正方形作為面積單位，而改用等腰直角三角形作為面積單位呢？

最后，教材中之所以能形成“正好鋪滿”和“鋪不滿”的結(jié)果對(duì)比，是對(duì)作為測(cè)量單位的圖形和被測(cè)量的圖形（包括大小和形狀）進(jìn)行選擇性取舍而形成的一種巧合現(xiàn)象，以此作為依據(jù)就犯了以偏概全的錯(cuò)誤。如果圖形的大小變一下，是否也能正好鋪滿被測(cè)圖形呢？如果單位圖形的形狀多樣一些，如添上等腰直角三角形作為測(cè)量單位，可以正好鋪滿更多的圖形，那還能用正好鋪滿的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行選擇嗎？教材對(duì)圖形進(jìn)行選擇性取舍，就是為了讓學(xué)生拼擺出“正好”“恰好”鋪滿的結(jié)果，進(jìn)而讓學(xué)生憑感覺(jué)或想當(dāng)然的理由，按照教材編寫(xiě)的思路去想問(wèn)題，接受其似是而非的觀點(diǎn)。這種感悟或發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，歪曲了數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，不但不能促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，還會(huì)束縛學(xué)生的思維，影響學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，甚至打擊學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

綜上所述，把?。ㄕ┖媚茕仢M所測(cè)圖形作為選擇面積單位的依據(jù)，理由欠充分，欠科學(xué)，牽強(qiáng)附會(huì)，影響學(xué)生科學(xué)認(rèn)知的形成。

三、正方形作為面積單位合理性認(rèn)知的編寫(xiě)建議

人教版和青島版教材編寫(xiě)的意圖是好的，但展現(xiàn)正方形作為面積單位的合理性也是必要和重要的。顯然，不存在一個(gè)平面圖形可以正好測(cè)量所有平面圖形的面積。之所以選擇用正方形作為面積單位圖形，有一個(gè)漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程和抽象提煉的過(guò)程，是基于人們之間交流的需要而達(dá)成的共識(shí)，即人為的規(guī)定。如，作為測(cè)量單位的圖形要多樣一些，起碼應(yīng)添上直角邊等于所選正方形邊長(zhǎng)的等腰直角三角形，被測(cè)圖形也應(yīng)多樣（包括形狀與大?。┮恍瑧?yīng)該做到有用單位面積圖形正好能夠鋪滿被測(cè)圖形的情況，也應(yīng)有用單位面積圖形鋪不滿被測(cè)圖形的情況。通過(guò)比較，首先讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，雖然正方形或等腰直角三角形能鋪滿更多的被測(cè)圖形，但也不能鋪滿所有的平面圖形，即不存在一個(gè)平面圖形能正好鋪滿所有被測(cè)圖形。其次，指出“雖然用等腰直角三角形比用正方形作為面積單位能鋪滿更多的被測(cè)圖形，但人們感到正方形圖形方正，美觀好看，且便于拼擺操作，通過(guò)討論達(dá)成共識(shí)，就把正方形確定為面積的測(cè)量單位了”。給出這樣一個(gè)合情合理的解釋不是更好嗎？

值得指出的是，教材力圖貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成和發(fā)展過(guò)程的意圖是好的。若能做到科學(xué)地展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的幫助是毋庸置疑的。教材之所以被稱為“課本”，就說(shuō)明它是達(dá)成課程標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的教學(xué)目標(biāo)的重要載體，也是教師教學(xué)重要的依據(jù)材料，是學(xué)生第一手的學(xué)習(xí)材料，故教材還是盡量完善為好。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所.義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)（三年級(jí)下冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2014：.

[2] 山東省教學(xué)研究室.義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)（三年級(jí)下冊(cè)）[M]. 2版.青島：青島出版社，2015.

[3] 人民教育出版社，課程教材研究所.義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書(shū) （三年級(jí)下冊(cè)）[M].2版.北京：人民教育出版社，2016.

[4] 徐云鴻.義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書(shū)（三年級(jí)下冊(cè)）[M].5版.青島：青島出版社，2016.

（責(zé)編 金 鈴）