帶災(zāi)難的二維MX/M/1排隊(duì)模型*

李俊平

(中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,長沙，410083)

1 引言

排隊(duì)模型是應(yīng)用概率論的一個重要研究分支,在交通、通訊和服務(wù)性行業(yè)具有非常重要的應(yīng)用. 排隊(duì)模型的一般理論與連續(xù)時間 Markov鏈一般理論的相互結(jié)合已經(jīng)成為一個非常成功和富有成果的研究領(lǐng)域. 在排隊(duì)理論中, 成批到達(dá)和成批服務(wù)的排隊(duì)模型在 Markov排隊(duì)模型的理論和應(yīng)用中具有重要的地位和作用. 由于其在許多領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用, 它吸引了眾多概率論學(xué)者的關(guān)注和研究. 其中, 具有狀態(tài)獨(dú)立和狀態(tài)依賴控制的 Markov排隊(duì)模型也引起了許多學(xué)者的興趣, 例如 Chen, Li, Hou 和 Wang[2], Chen, Pollett, Li 和 Zhang[3], Li, Zhang[12], 以及 Zhang, Li[15,16].

近來, 帶有災(zāi)難的排隊(duì)模型引起了許多學(xué)者的研究興趣. 例如, Chen, Zhang, Liu 和 Rennolls[7], Di Crescenzo, Giorno, Nobile和Ricciardi[8], Economou, Fakinos[9]討論了帶災(zāi)難的連續(xù)時間馬爾可夫鏈的瞬時分布等性質(zhì). Chen 和 Renshaw[5,6]分析了災(zāi)難對M/M/1及相關(guān)Markov排隊(duì)模型的影響, Zhang 和 Li[16]把這些結(jié)果推廣到了M/M/c排隊(duì)模型. KrishnaKumar 和 Arivudainambi[10]討論了災(zāi)難對初始顧客數(shù)為隨機(jī)情形的 Markov 排隊(duì)系統(tǒng)的影響. Di Crescenzo, Giorno, Nobile 和Ricciardi[8]研究了帶災(zāi)難的一般的生滅過程有效災(zāi)難的首次發(fā)生時間.

在通常情況下, 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)為0時就認(rèn)為災(zāi)難發(fā)生了,并且系統(tǒng)將永遠(yuǎn)停留在狀態(tài) 0, 即 0 為吸收態(tài). 在本文中, 假定災(zāi)難發(fā)生后系統(tǒng)仍可以從 0 狀態(tài)轉(zhuǎn)移到其它正狀態(tài), 排除了災(zāi)難發(fā)生后 0 為吸收態(tài)的情況. 這種災(zāi)難稱之為有效災(zāi)難, 即當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不為 0 時發(fā)生的災(zāi)難. 因此, 本文不考慮系統(tǒng)狀態(tài)為 0 時有災(zāi)難發(fā)生的情形.

本文考慮帶災(zāi)難的二維MX/M/1 排隊(duì)模型,給出其有效災(zāi)難首次發(fā)生時間的概率密度函數(shù)的Laplace變換的精確表達(dá)式，以及有效災(zāi)難首次發(fā)生時間的數(shù)學(xué)期望和方差及其漸近性質(zhì).

考慮一個二維排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，系統(tǒng)中有兩個服務(wù)站點(diǎn)，其演變規(guī)律可直觀描述如下：

(1)顧客獨(dú)立地成批到達(dá)兩個站點(diǎn)，每一批到達(dá)的顧客數(shù)是隨機(jī)的，且批與批之間的到達(dá)時間間隔相互獨(dú)立并服從相同的指數(shù)分布；

(2)服務(wù)規(guī)則為先到先服務(wù)，每一個顧客的服務(wù)時間相互獨(dú)立且服從相同的指數(shù)分布；

(3)一個顧客接受完服務(wù)后，可以選擇轉(zhuǎn)移到另一個服務(wù)站點(diǎn)，也可以直接離開系統(tǒng)；

(4)外部有一個災(zāi)難流影響系統(tǒng)，災(zāi)難流的到達(dá)服從泊松分布，災(zāi)難一旦發(fā)生，系統(tǒng)中顧客立即清空.

為方便起見，我們采用如下記號：

0=(0,0),e1=(1,0),e2=(0,1).

Q=Q*+Q(0)+Qc,

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

由于定義1.1中給出的Q是有界保守Q矩陣, 根據(jù) Markov 鏈的一般理論, 存在唯一的過程, 即 Feller 最小過程, 滿足 Kolmogorov 向前向后方程. 我們稱這個過程為帶災(zāi)難的二維MX/M/1 排隊(duì)過程, 并記此過程為 {N(t);t≥0}.

特別地，若ξ=0， 即沒有災(zāi)難，此時Q矩陣為

(1.5)

2 預(yù)備引理

為了研究帶災(zāi)難的二維MX/M/1 排隊(duì)模型, 我們引入如下發(fā)生函數(shù):

顯然,A(u),B(v)都在 [-1,1] 上有定義.

(2.2)

證明由 Kolmogorov 向前方程以及Q*的特殊性立得.

3 有效災(zāi)難首次發(fā)生時刻

本節(jié)我們來考慮過程 {N(t);t≥0} 有效災(zāi)難的首次發(fā)生時間.

(3.1)

初始條件為pj,n(0)=δj,n.

(3.2)

或者,

(3.3)

證明由于引理所涉及的Q矩陣都是有界保守的，只需證明(3.2)式定義的pj,n(t) 滿足Q對應(yīng)的Kolmogorov向前方程即可. 事實(shí)上，

這就證明了(3.2)式. 對(3.2)式作 Laplace 變換即可得到 (3.3)式. 證明完畢.

(3.4)

(3.5)

(3.6)

其初始條件為hj,n(0)=δj,n.由文獻(xiàn)[8]知,{M(t);t≥0}和Cj,0之間有以下關(guān)系：

(3.7)

(3.8)

(3.9)

證明當(dāng)j=0時, 對(3.6)后兩個方程取Laplace變換, 得

(3.10)

同時，對(3.1)取Laplace變換,得

(3.11)

令

(3.12)

將(3.12)代入(3.10),并結(jié)合(3.11),可得

(3.13)

將(3.13)代入(3.12),并利用(3.3)式,可得當(dāng)j=0時(3.9)成立.

一般地，當(dāng)j≠0 時,

(3.14)

令

(3.15)

對(3.1)代入取Laplace變換,并把(3.15)代入(3.14),可得

(3.16)

最后, 將 (3.6) 的第一個方程做 Laplace 變換, 得

因此, 由 (3.9) 立即得到 (3.8). 證明完畢.

(3.17)

pj,n(t)=P(Nt=n|N0=j)

=P(Nt=n,Cj,0>t|N0=j)+P(Nt=n,Cj,0t|N0=j)

對上式取Laplace變換, 得

πj,n(λ)=ηj,n(λ)+Δj,n(λ)π0,n(λ),

接下來我們考慮有效災(zāi)難的首次發(fā)生時間Cj,0的期望和方差.

(3.18)

(3.19)

證明由于

由 (3.17) 經(jīng)過簡單的代數(shù)運(yùn)算即可得到 (3.18)和 (3.19). 證明完畢.

下面的定理給出了當(dāng)ξ↓0 時平均有效災(zāi)難的首次發(fā)生時間E[Cj,0] 的漸近性質(zhì).

證明完畢.

最后，我們來考慮當(dāng)ξ→+∞ 時平均有效災(zāi)難的首次發(fā)生時間E[Cj,0] 的漸近性質(zhì).

定理3.4我們有

證明由于

由 (3.18) 得

利用Tauberian定理可得