• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    部分變換半群與全變換半群之間的同態(tài)*

    2020-04-15 10:58:10林雙楊秀良
    關(guān)鍵詞:記作自同構(gòu)常量

    林雙 楊秀良

    (1.江蘇省新沂市瓦窯中學(xué)高中部,新沂,221400;2.杭州師范大學(xué)理學(xué)院,杭州,310036)

    1 引言

    集合X上的所有部分變換的集合稱作是X的部分變換半群,記作PTX;集合X上的所有全變換的集合稱作X的全變換半群, 記作TX;集合X上的所有部分單變換的集合稱作是X的對稱逆半群, 記作ISX. 它們上的運算都是映射的合成(本文規(guī)定合成運算從右到左). 本文討論X是有限的情況,即X是基為自然數(shù)的集合. 不妨設(shè)X=N= {1,2,…,n}.這時PTX,TX和ISX分別記作PTn,Tn和ISn.

    1997年,Schein 和Teclezghi[1]研究了ISn的所有自同態(tài). 隨后在 1998 年,他們在[2,3]中又分別討論了Tn和PTn的自同態(tài). 2009年, Ganyushkin 和Mazorchuk 在 [4]中討論自同態(tài)時提出了一個公開問題:描述從S到T的所有同態(tài)(單同態(tài),滿同態(tài)),其中S,T∈{PTn,Tn,ISn}. 本文描述了PTn與Tn之間的所有同態(tài).

    2 主要結(jié)果

    設(shè)半群S代表PTn或Tn.半群S的所有自同構(gòu)的集合記作Aut(S),集合N上的置換群記作Sn,群Sn的所有自同構(gòu)的集合記作Aut(Sn).當(dāng)n≠4時,S4除了有正規(guī)子群S4,A4和E4外,還有一個正規(guī)子群K,稱作Klein四元群.

    對任意的x∈N,ax={(x,x)}表示PTn中秩為1的冪等元,即

    其中ax(i)=?表示i不屬于ax的定義域,即i?dom(ax),i=1,2,…,x-1,x,x+1,…,n.

    0x表示PTn或Tn的常量變換,即

    0表示PTn的空變換,即

    本文的主要結(jié)論如下:

    定理1設(shè)n≠4.選取ε,δ∈Tn使得ε3=ε且εδ=δε=δ2=δ.定義Θε,δ:PTn→Tn如下:

    則Θε,δ是PTn到Tn的一個同態(tài).若ε2=ε=δ,則Θε,δ是一個常量同態(tài),即Θε,δ把PTn映到Tn的一個冪等元δ.若ε2=ε≠δ,則Θε,δ是一個秩為2的同態(tài),即Θε,δ把PTn映到Tn的一個半格{ε,δ},滿足δ<ε.若ε≠ε2≠δ,則Θε,δ是一個秩為3的同態(tài),即Θε,δ把PTn映到Tn的一個半群{ε,ε2,δ},其中δ是零元,{ε,ε2}是Tn的一個子群.

    反之,當(dāng)n≠4時,PTn到Tn的每個同態(tài)都具有以上形式.對于n=4,PT4到T4除了有以上的同態(tài)外,還具有同態(tài)σπ,π∈S4,其定義如下:

    K4在S4中的每個陪集恰包含H4中的一個元素.若α∈S4,設(shè)σ(α)∈K4α∩H4是這個元素;若α∈PT4S4,設(shè)σ(α)=04,則σπ定義為:對任意的α∈IS4,σπ(α)=πσ(α)π-1.

    定理2設(shè)n≠4.

    (i)設(shè)π∈Sn.對任意的α∈Tn,定義Λπ(α)=παπ-1,則Λπ是Tn到PTn的一個同態(tài).

    (ii)選取ψ∈Aut(Sn).定義Ωψ:Tn→PTn如下:

    則Ωψ是Tn到PTn的一個同態(tài).

    (iii)選取ε,δ∈PTn使得ε3=ε且εδ=δε=δ2=δ.定義Θε,δ:Tn→PTn如下:

    則Θε,δ是Tn到PTn的一個同態(tài).若ε2=ε=δ,則Θε,δ是一個常量同態(tài).若ε2=ε≠δ,則Θε,δ把Tn映到PTn的一個半格{ε,δ},滿足δ<ε.若ε≠ε2≠δ,則Θε,δ把Tn映到PTn的一個半群{ε,ε2,δ},其中δ是零元,{ε,ε2}是PTn的一個子群.

    (iv)選取π∈Sn,i,j,z∈Xn.定義Ψπ:Tn→PTn如下:

    則Ψπ是Tn到PTn的一個同態(tài).

    反之,對于n≠4,Tn到PTn的每個同態(tài)都具有形式(i)-(iv).對于n=4,T4到PT4除了有以上的同態(tài)外,還具有同態(tài)Υπ,π∈S4, 其定義如下:

    3 定理的證明

    定理1的證明需要用到以下引理.

    引理1([4])n≥1,Tn中不包含任何元素α使得對任意γ∈Sn滿足γα=α.

    定理1的證明設(shè)φ是PTn到Tn的同態(tài). 若n=1,則φ(PTn)={(1)}=T1,其中元素(1)表示恒等變換,因此φ是常量同態(tài).

    以下設(shè)n>1. 考慮三種情況:φ在Sn上是單的;φ在Sn上是非單的且n≠4;φ在Sn上是非單的且n=4.

    若φ在Sn上是單的,則Sn?φ(Sn),進而|φ(Sn)|=n!.由于φ(Sn)是N的某個子集Y的置換群,其中Y=im(ε),ε是φ(Sn)的單位元,因此n!=|φ(Sn)|≤|Y|!,進而Y=N,φ(Sn)=Sn.

    對任意γ∈Sn,存在η∈Sn使得φ(η)=γ.由于η0=0η=0,因此,

    γφ(0)=φ(0)η=φ(0).

    由引理1知,φ(0)不可能是Tn中元素,故φ在Sn上不可能是單的.

    若φ在Sn上非單且n≠4,則φ具有形式Θε,δ.若φ在Sn上非單的且n=4時,則φ具有形式σπ.再按[2]同樣的討論即可證定理1成立.

    下面來證明定理2. 為此,先給出下面幾個引理.

    引理2([4]) 設(shè)S表示Tn,ISnTn,ISn或PTn之一.設(shè)ε是S的一個冪等元.則

    (i)S的包含ε的一個極大子群Gε為

    Gε={α∈S:im(α)=im(ε),ρα=ρε}.

    (ii) 若rank(ε)=k,則Gε≌Sk.

    證明(i)略.

    (ii) 設(shè)冪等元

    顯然對任意的i有ti∈Bi.設(shè)Sk是集合{t1, …,tk}上的置換群.Gε中任意一個元素g都具有下面的形式

    其中ti1,…,tikti1,…,ti2是t1,…,tk的一個排列.定義映射

    顯然φ是一個雙射. 經(jīng)驗算可知φ保持運算, 故φ是同構(gòu).

    引理3設(shè)S,T∈{Tn,ISn,PTn},且設(shè)φ是S到T的同態(tài),φ在Sn上是單的,則φ(Sn)=Sn且φ|Sn∈Aut(Sn).

    證明由于φ在Sn是單的,因此φ(Sn)?Sn,且φ(Sn)是T的一個子群,進而φ(Sn)包含在T的某個極大子群中.由引理2知T的所有極大子群都同構(gòu)于Sk,k≤n,而且同構(gòu)于Sn的極大子群只有Sn本身,因此φ(Sn)=Sn,且φ|Sn∈Aut(Sn).

    引理4設(shè)Xn={1,2,…,n},k是一個正整數(shù)且1≤k≤n,則下列結(jié)論成立:

    (i) 若k>n/2,則Xn中任意兩個k-子集的交非空.

    (ii) 若k≤n/2,令E是滿足下列條件的Xn的若干個k-子集組成的集合:

    A=B或A∩B=?(A,B∈E),

    則|E|≤n/k.

    證明(i) 顯然.

    引理5設(shè)n,k為正整數(shù).

    證明(i) 由于

    (n-1)(n-2)…(n-k+1)≤k!=k(k-1)…2·1,

    故k=n-1.

    定理2的證明容易驗證(i)-(iii)及(v)成立.下面驗證Ψπ是同態(tài).設(shè)φ=π-1Ψπ(α)π.則

    因此只需證明φ是同態(tài).

    其中{x1,…,xn}={y1,…,yn}={z1,…,zn}=Xn,則

    由于

    因此φ是同態(tài).

    其中{x1,…,xn}={y1,…,yn}={z1,…,zn}=Xn.易驗算φ是同態(tài).

    dom(φ(α))∩im(φ(β))=?,

    進而φ(α)φ(β)=0,因此φ保持運算.

    若rank(αβ)=n-1,則α在im(β)上是單的. 設(shè)

    則x1和x2只有一個在im(β)中.不妨設(shè)x1∈im(β).設(shè)

    經(jīng)驗算知φ保持運算.

    反之,設(shè)φ是Tn到PTn的同態(tài).若n=1,則φ(T1)={1n},或φ(T1)={0},因此φ是形式(ii)中的常量同態(tài).

    下面討論n>1.考慮三種情形:φ在Sn上是單的;φ在Sn上是非單的且n≠4;φ在Sn上是非單的且n=4.

    情形1若φ在Sn上是單的,則由引理3知φ(Sn)=Sn.對任意γ∈Sn,存在η∈Sn使得φ(η)=γ.對任意的a∈Xn, 0aη=0a,進而φ(0a)φ(η)=φ(0a),因此φ(0a)γ=φ(0a),故φ(0a)=0或φ(0a)=0ta,ta∈Xn.

    情形1.1設(shè)φ(0a)=0ta,ta∈Xn,映射π:Xn→Xn為π(a)=ta.則φ(0a)=0ta=0π(a).對任意的α∈Tn,α0a=0α(a),進而有

    0π(α(a))=φ(0α(a))=φ(α0a)=φ(α)φ(0a)=φ(α)0π(a)=0φ(α)(π(a)),

    因此π(α(a))=φ(α)(π(a)),故π(α)=φ(α)(π).

    下面證明π是單的.對任意x,y∈Xn,對任意γ∈Sn,γ(x),γ(y)都可取遍Xn.若π(x)=π(y),則

    π(γ(x))=φ(γ)(π(x))=φ(γ)(π(y))=π(γ(y)).

    因此或者x=y,進而π是單的;或者π是常量映射,進而存在b∈Xn使得π=0b.由于對任意α∈Tn有π(α)=φ(α)(π),因此0bα=φ(α)0b,進而0b=φ(α)0b,由此得φ(α)(b)=b.而φ(α)可取遍Sn,因此Xn=,這與n>1矛盾.

    由于π是有限集合上的單射,因此π是雙射,進而π,π-1∈Sn.由于π(α)=φ(α)(π),因此φ(α)=παπ-1=Λπ,故φ∈Aut(Tn).

    e2,e3,…,en和f1,f3,…,fn.

    由于{φ(ei):i∈I}和{φ(fj):j∈J}都有n-1個元素,因此存在ki∈I,kj∈J使得φ(eki)=φ(fkj).而eki,fkj的值域不同,因此eki,fkj不在≡S2的同一個同余類中,矛盾.故φ不存在.

    情形1.2.2若m=n,則φ-1(0)=Tn,這與φ在Sn上是單的矛盾.

    情形1.2.3若m=n-1,則φ|Sn是Sn的自同構(gòu)且φ(TnSn)=0.故φ具有形式(ii).

    (1)

    對任意不同的i,j∈J,記Yij=im(ei)∩im(ej),則im(ej)Yij?Xnim(ei).由于ei,ej在Yij上的限制都是恒等變換,因此它們的積eiej在Yij上的限制也是恒等變換,進而有

    φ(eiej)=φ(ei)φ(ej)=0,

    于是

    dom(φ(ei))∩im(φ(ej))=?.

    (2)

    |im(φ(e1))|=…=|im(φ(en-1))|=l,

    由(2)式可得

    下面分兩種情況進行討論.

    情況A對任意的i∈J,設(shè)|dom(φ(ei))|=1.則φ(ei)∈{a1,a2,…,an}.從En中選取具有形式(1)的冪等元en,由x的任意性可得φ(en)∈{a1,a2,…,an},故

    {φ(e1),φ(e2),…,φ(en)}={a1,a2,…,an}.

    從En中選取冪等元

    則有

    (3)

    下面討論i0,j0的情況.

    φ′(πe12π-1)=φ′(e12).

    這顯然不成立,矛盾.

    這顯然不成立,矛盾.

    其中x1,…,xn,z1,z3,…,zn∈Xn.

    設(shè)Sn中置換

    則α=π2e12π1-1.因此

    設(shè)

    因此φ=πφ′π-1=Ψπ.

    若n=6,則S6的自同構(gòu)中有6!個內(nèi)自同構(gòu). 若φ在S6上的限制是S6的內(nèi)自同構(gòu),則同前面證明一樣可證φ=Ψπ.下設(shè)φ在S6上的限制是S6的外自同構(gòu).S6有6!個外自同構(gòu)[5],[6].S6可由生成元(12),(13),(14),(15),(16)生成.定義映射

    φ:(12)→(12)(36)(45), (13)→(16)(24)(35), (14)→(13)(25)(46),

    (15)→(15)(26)(34), (16)→(14)(23)(56),

    則φ是S6的一個外自同構(gòu).S6的外自同構(gòu)集合為{φΛπ:Λπ∈Inn(S6),π∈S6}.設(shè)φ′=φΛπ-1在S6上的限制為φ,φ′(e12)=e0.

    對于α∈Tn,定義α的中心化子為集合CSn(α)={π∈Sn:απ=πα}.則

    {π∈Sn:π(1)=1,π(2)=2}?CSn(e12).

    取{π∈Sn:π(1)=1,π(2)=2}中的任意對換(ij),設(shè)φ′((ij))=(i1i2)(i3i4)(i5i6),其中i,j∈{3,4,5,6}, {i1,i2,i3,i4,i5,i6}=X6.由于(ij)e12=e12(ij),兩邊作用φ′得

    (i1i2)(i3i4)(i5i6)e0=e0(i1i2)(i3i4)(i5i6).

    (4)

    設(shè)rank(e0)=1.若a=1,b,c∈{?},則(4)式無解,矛盾. 同理討論其他情況可知都是不成立的.

    情形2φ在Sn上不是單的且n≠4.此時φ具有形式(iii),同[7]中定理證明的情況2討論即可.

    情形3φ在Sn上不是單的且n=4.此時φ具有形式(iv),同[7]中定理證明的情況3討論即可.

    定理2得證.

    從定理2易得

    猜你喜歡
    記作自同構(gòu)常量
    一類無限?ernikov p-群的自同構(gòu)群
    科學(xué)照亮世界
    ——卡文迪什測定萬有引力常量
    關(guān)于有限Abel p-群的自同構(gòu)群
    剩余有限Minimax可解群的4階正則自同構(gòu)
    數(shù)字和乘以99變換下的黑洞數(shù)及猜想
    電動機和發(fā)動機鑒定命名系統(tǒng)
    汽車文摘(2016年3期)2016-12-09 06:05:56
    低氧低分壓環(huán)境下泡塑吸附火焰原子吸收光譜法測定常量金
    西藏科技(2015年1期)2015-09-26 12:09:20
    有限秩的可解群的正則自同構(gòu)
    對稱逆半群的奇異部分的自同態(tài)
    論常量函數(shù)的充分必要條件
    老司机福利观看| 免费在线观看黄色视频的| 欧美不卡视频在线免费观看 | 精品人妻1区二区| av电影中文网址| 欧美另类亚洲清纯唯美| 国产精品九九99| 免费少妇av软件| 精品国产一区二区久久| 精品一区二区三区视频在线观看免费 | 级片在线观看| 亚洲av熟女| 日韩欧美三级三区| 欧美一区二区精品小视频在线| 91国产中文字幕| 在线观看免费视频网站a站| 麻豆成人av在线观看| 国产片内射在线| 波多野结衣一区麻豆| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 日本黄色视频三级网站网址| 丁香六月欧美| 国产区一区二久久| 亚洲一码二码三码区别大吗| 亚洲视频免费观看视频| 亚洲一区二区三区色噜噜 | 在线观看www视频免费| 亚洲色图综合在线观看| 国产97色在线日韩免费| 满18在线观看网站| 久久中文看片网| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃| 老司机亚洲免费影院| 天堂影院成人在线观看| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 成人免费观看视频高清| 欧美av亚洲av综合av国产av| 黑人巨大精品欧美一区二区mp4| 夜夜躁狠狠躁天天躁| bbb黄色大片| 中文字幕人妻丝袜制服| 精品人妻在线不人妻| 在线观看免费视频日本深夜| 亚洲 欧美一区二区三区| 在线av久久热| 国产精品 国内视频| 免费高清视频大片| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 一本综合久久免费| 欧美大码av| 日本vs欧美在线观看视频| 男女下面插进去视频免费观看| 日韩欧美一区视频在线观看| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 亚洲精品av麻豆狂野| 国产单亲对白刺激| 大香蕉久久成人网| 叶爱在线成人免费视频播放| 两个人免费观看高清视频| 成年版毛片免费区| 黑人欧美特级aaaaaa片| 美女 人体艺术 gogo| 中文字幕人妻丝袜制服| 午夜福利,免费看| 婷婷精品国产亚洲av在线| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 一级作爱视频免费观看| 99国产精品一区二区蜜桃av| 国产精品二区激情视频| 国产三级在线视频| 麻豆成人av在线观看| 国产亚洲精品综合一区在线观看 | 这个男人来自地球电影免费观看| 成年人免费黄色播放视频| 精品一区二区三卡| 午夜精品国产一区二区电影| tocl精华| 久久99一区二区三区| 一二三四社区在线视频社区8| 国产精品1区2区在线观看.| 久久国产精品人妻蜜桃| 色婷婷av一区二区三区视频| 久久精品成人免费网站| 90打野战视频偷拍视频| 极品人妻少妇av视频| 亚洲中文av在线| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 99国产极品粉嫩在线观看| 亚洲熟女毛片儿| 一本大道久久a久久精品| 国产97色在线日韩免费| 一区二区三区精品91| 国产一区二区在线av高清观看| 天天影视国产精品| 麻豆久久精品国产亚洲av | 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区 | 超色免费av| 国产亚洲欧美在线一区二区| 久久国产精品男人的天堂亚洲| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 午夜成年电影在线免费观看| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 88av欧美| 一级a爱片免费观看的视频| 亚洲一区二区三区色噜噜 | 精品一区二区三区视频在线观看免费 | 免费久久久久久久精品成人欧美视频| 香蕉国产在线看| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 欧美av亚洲av综合av国产av| 亚洲一区二区三区色噜噜 | 亚洲中文字幕日韩| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 成人国语在线视频| tocl精华| 啪啪无遮挡十八禁网站| 国产av一区二区精品久久| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 久久香蕉精品热| 成年版毛片免费区| 欧美乱码精品一区二区三区| 人人澡人人妻人| 大码成人一级视频| 一区在线观看完整版| 欧美激情高清一区二区三区| 国产欧美日韩精品亚洲av| 一区福利在线观看| 村上凉子中文字幕在线| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| xxxhd国产人妻xxx| 老司机福利观看| 日本vs欧美在线观看视频| 欧美色视频一区免费| av超薄肉色丝袜交足视频| 极品教师在线免费播放| 日本黄色日本黄色录像| 国产免费av片在线观看野外av| 久久久国产欧美日韩av| 免费在线观看影片大全网站| 色老头精品视频在线观看| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 国产99久久九九免费精品| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 精品一区二区三区四区五区乱码| 操出白浆在线播放| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 视频在线观看一区二区三区| cao死你这个sao货| 黄频高清免费视频| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 女性生殖器流出的白浆| 亚洲精品粉嫩美女一区| 亚洲久久久国产精品| 91麻豆精品激情在线观看国产 | 桃色一区二区三区在线观看| 女警被强在线播放| 国产极品粉嫩免费观看在线| 中文字幕人妻熟女乱码| 男人的好看免费观看在线视频 | 亚洲黑人精品在线| 极品教师在线免费播放| 91成年电影在线观看| 88av欧美| 亚洲av美国av| 欧美午夜高清在线| 在线观看免费视频网站a站| 丁香欧美五月| 桃色一区二区三区在线观看| 一进一出好大好爽视频| 色在线成人网| 日韩精品青青久久久久久| 色播在线永久视频| 久久草成人影院| 欧美乱妇无乱码| 免费看十八禁软件| 国产精品爽爽va在线观看网站 | 成人黄色视频免费在线看| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| 国产免费现黄频在线看| 国产三级黄色录像| 久久精品影院6| 88av欧美| 精品国产一区二区三区四区第35| 国产野战对白在线观看| 亚洲少妇的诱惑av| 国产成人欧美| 一级黄色大片毛片| 高清欧美精品videossex| 夜夜躁狠狠躁天天躁| 色尼玛亚洲综合影院| 一级片'在线观看视频| 狂野欧美激情性xxxx| 极品人妻少妇av视频| 成人国语在线视频| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 日本wwww免费看| 精品熟女少妇八av免费久了| 制服诱惑二区| 午夜精品久久久久久毛片777| 视频在线观看一区二区三区| 一级,二级,三级黄色视频| 欧美成人性av电影在线观看| 亚洲七黄色美女视频| 国产成人精品无人区| 最近最新中文字幕大全免费视频| 最近最新中文字幕大全免费视频| 免费人成视频x8x8入口观看| 国产av精品麻豆| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| cao死你这个sao货| 99riav亚洲国产免费| 后天国语完整版免费观看| 午夜精品久久久久久毛片777| 国产熟女午夜一区二区三区| 久久这里只有精品19| 久久久国产成人免费| 99久久国产精品久久久| 欧美黄色淫秽网站| 婷婷丁香在线五月| 日本三级黄在线观看| 亚洲精品国产色婷婷电影| 欧美中文综合在线视频| 久久国产精品人妻蜜桃| 精品第一国产精品| 久久人人爽av亚洲精品天堂| 夜夜躁狠狠躁天天躁| 丝袜美足系列| 老司机深夜福利视频在线观看| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 757午夜福利合集在线观看| 亚洲专区国产一区二区| 免费在线观看影片大全网站| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 三上悠亚av全集在线观看| 午夜免费成人在线视频| 免费看a级黄色片| 欧美黑人精品巨大| 精品人妻在线不人妻| 亚洲,欧美精品.| 亚洲中文av在线| 国产午夜精品久久久久久| 精品久久久久久久毛片微露脸| 大陆偷拍与自拍| 久久久久久久精品吃奶| 一级,二级,三级黄色视频| 国产色视频综合| 三级毛片av免费| 精品久久蜜臀av无| 国产av一区在线观看免费| 黄色a级毛片大全视频| 99久久99久久久精品蜜桃| 变态另类成人亚洲欧美熟女 | 看免费av毛片| 欧美性长视频在线观看| 亚洲自拍偷在线| av有码第一页| 精品福利永久在线观看| 久久九九热精品免费| 这个男人来自地球电影免费观看| 久久久久国内视频| 午夜精品久久久久久毛片777| 亚洲一区二区三区欧美精品| 69av精品久久久久久| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区 | videosex国产| 最近最新中文字幕大全免费视频| 国产精品成人在线| x7x7x7水蜜桃| 黑人猛操日本美女一级片| 真人做人爱边吃奶动态| 午夜激情av网站| 久久久久久人人人人人| 好男人电影高清在线观看| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 亚洲男人天堂网一区| 亚洲九九香蕉| 十八禁人妻一区二区| 两人在一起打扑克的视频| 在线播放国产精品三级| 99久久99久久久精品蜜桃| av免费在线观看网站| 亚洲全国av大片| 亚洲片人在线观看| 欧美激情极品国产一区二区三区| 久久久久久久精品吃奶| 视频区图区小说| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| 热re99久久国产66热| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 三上悠亚av全集在线观看| 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 欧美黑人欧美精品刺激| 性色av乱码一区二区三区2| 国产色视频综合| 精品午夜福利视频在线观看一区| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 在线国产一区二区在线| 亚洲熟女毛片儿| 搡老岳熟女国产| 亚洲男人天堂网一区| 中文字幕人妻丝袜制服| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 婷婷丁香在线五月| 可以在线观看毛片的网站| 9热在线视频观看99| 老汉色∧v一级毛片| 啦啦啦免费观看视频1| 五月开心婷婷网| 1024视频免费在线观看| 成人国语在线视频| 国产精品野战在线观看 | 免费观看人在逋| 免费看十八禁软件| 性欧美人与动物交配| av国产精品久久久久影院| 一级a爱视频在线免费观看| 97碰自拍视频| 亚洲男人天堂网一区| 最近最新中文字幕大全免费视频| 99精品久久久久人妻精品| 欧美中文日本在线观看视频| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 亚洲国产欧美网| 女同久久另类99精品国产91| 精品久久久久久,| 国产亚洲欧美在线一区二区| 久久性视频一级片| 成人亚洲精品av一区二区 | 中文字幕人妻熟女乱码| 国产精品野战在线观看 | 亚洲精品国产一区二区精华液| 身体一侧抽搐| 男女之事视频高清在线观看| 黄片播放在线免费| 国产亚洲精品第一综合不卡| 欧美在线一区亚洲| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 国产高清videossex| 国产男靠女视频免费网站| 一二三四社区在线视频社区8| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 亚洲色图综合在线观看| 久久久久久免费高清国产稀缺| 女性生殖器流出的白浆| 久久草成人影院| 妹子高潮喷水视频| videosex国产| 国产成人av教育| 亚洲成a人片在线一区二区| 另类亚洲欧美激情| 久久精品人人爽人人爽视色| 国产精品久久视频播放| 久久久久国产一级毛片高清牌| 亚洲午夜理论影院| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| 99re在线观看精品视频| 欧美午夜高清在线| 日韩av在线大香蕉| 男人操女人黄网站| 伦理电影免费视频| 国产成+人综合+亚洲专区| 免费日韩欧美在线观看| 亚洲少妇的诱惑av| 啦啦啦 在线观看视频| 成年人黄色毛片网站| 伦理电影免费视频| 欧美不卡视频在线免费观看 | 黄色成人免费大全| avwww免费| 大型av网站在线播放| 久久久久国产一级毛片高清牌| 欧美乱色亚洲激情| av中文乱码字幕在线| 久久久精品欧美日韩精品| 国产精品美女特级片免费视频播放器 | 在线免费观看的www视频| 亚洲精华国产精华精| 黑人猛操日本美女一级片| 国产乱人伦免费视频| 亚洲片人在线观看| 久久久久久久久久久久大奶| 精品久久久久久成人av| 亚洲av五月六月丁香网| 日韩精品免费视频一区二区三区| 高清黄色对白视频在线免费看| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 热99国产精品久久久久久7| 国产精品久久久av美女十八| 18禁美女被吸乳视频| 精品日产1卡2卡| 欧美不卡视频在线免费观看 | 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 国产成人精品无人区| 欧美中文综合在线视频| 变态另类成人亚洲欧美熟女 | 国产真人三级小视频在线观看| 欧美日韩乱码在线| 欧美成人免费av一区二区三区| 不卡av一区二区三区| 在线观看一区二区三区| 亚洲五月天丁香| 成人影院久久| 亚洲精品中文字幕在线视频| 啦啦啦 在线观看视频| 女警被强在线播放| 精品国产国语对白av| 日韩成人在线观看一区二区三区| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 18禁美女被吸乳视频| 国产激情久久老熟女| 在线观看66精品国产| 亚洲,欧美精品.| 午夜精品久久久久久毛片777| 男男h啪啪无遮挡| 91成人精品电影| 天堂中文最新版在线下载| 亚洲欧美精品综合久久99| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 国产精品偷伦视频观看了| 日日夜夜操网爽| 精品人妻1区二区| 亚洲欧美一区二区三区黑人| √禁漫天堂资源中文www| 亚洲中文字幕日韩| 黄色视频不卡| 欧美丝袜亚洲另类 | www日本在线高清视频| avwww免费| 久久性视频一级片| 国产1区2区3区精品| 亚洲成人免费av在线播放| 18禁美女被吸乳视频| 国产片内射在线| 成人av一区二区三区在线看| 黄色视频,在线免费观看| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 又紧又爽又黄一区二区| 亚洲精品美女久久av网站| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 精品福利永久在线观看| 中文字幕色久视频| 亚洲av五月六月丁香网| 黄片小视频在线播放| 日韩有码中文字幕| 欧美乱码精品一区二区三区| 精品一品国产午夜福利视频| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片 | 欧美成人午夜精品| 国产一区二区三区综合在线观看| 国产麻豆69| 又黄又粗又硬又大视频| 精品国产美女av久久久久小说| 久久性视频一级片| 看黄色毛片网站| 国产一区在线观看成人免费| 又大又爽又粗| 久久 成人 亚洲| 国产一区在线观看成人免费| 亚洲人成电影观看| 91精品国产国语对白视频| 啦啦啦免费观看视频1| 这个男人来自地球电影免费观看| 日韩大尺度精品在线看网址 | 12—13女人毛片做爰片一| a级片在线免费高清观看视频| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 国产精品98久久久久久宅男小说| 亚洲熟妇熟女久久| 精品久久蜜臀av无| 动漫黄色视频在线观看| 久久中文字幕人妻熟女| 国产片内射在线| 国产精品影院久久| 中亚洲国语对白在线视频| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 亚洲伊人色综图| 这个男人来自地球电影免费观看| av国产精品久久久久影院| 村上凉子中文字幕在线| 桃红色精品国产亚洲av| 亚洲av片天天在线观看| av视频免费观看在线观看| tocl精华| 在线观看免费高清a一片| 精品人妻1区二区| 嫁个100分男人电影在线观看| 中文字幕av电影在线播放| 国产xxxxx性猛交| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 高清欧美精品videossex| 精品乱码久久久久久99久播| 国产区一区二久久| 日韩中文字幕欧美一区二区| 亚洲性夜色夜夜综合| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 自线自在国产av| 18禁美女被吸乳视频| 亚洲色图综合在线观看| 色在线成人网| av超薄肉色丝袜交足视频| 国产乱人伦免费视频| 色综合站精品国产| 美女扒开内裤让男人捅视频| 97碰自拍视频| 亚洲黑人精品在线| 亚洲午夜理论影院| 日韩成人在线观看一区二区三区| 一级片免费观看大全| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 欧美av亚洲av综合av国产av| 久久九九热精品免费| 麻豆一二三区av精品| 国产免费av片在线观看野外av| bbb黄色大片| 丰满饥渴人妻一区二区三| 国产亚洲欧美在线一区二区| 色综合欧美亚洲国产小说| 一级毛片高清免费大全| 国产精品国产av在线观看| 免费在线观看亚洲国产| 国产亚洲精品一区二区www| 久久精品影院6| 午夜成年电影在线免费观看| 日韩欧美国产一区二区入口| 欧美精品一区二区免费开放| 超碰成人久久| 免费av毛片视频| 精品午夜福利视频在线观看一区| 欧美一区二区精品小视频在线| 久久精品成人免费网站| 亚洲一区二区三区不卡视频| 欧美黄色片欧美黄色片| 亚洲avbb在线观看| 日韩欧美国产一区二区入口| 制服诱惑二区| 激情在线观看视频在线高清| 免费高清在线观看日韩| 日韩大尺度精品在线看网址 | 亚洲美女黄片视频| 视频区图区小说| 丰满饥渴人妻一区二区三| 亚洲七黄色美女视频| netflix在线观看网站| 亚洲男人天堂网一区| 国产精品永久免费网站| 亚洲精品在线观看二区| 久久九九热精品免费| 黄色成人免费大全| 51午夜福利影视在线观看| 热re99久久国产66热| 老汉色av国产亚洲站长工具| www.熟女人妻精品国产| av在线播放免费不卡| e午夜精品久久久久久久| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 青草久久国产| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 欧美日韩乱码在线| netflix在线观看网站| 国产黄a三级三级三级人| 国产精品永久免费网站| 在线观看一区二区三区| 女人精品久久久久毛片| 99久久人妻综合| 亚洲五月婷婷丁香| 变态另类成人亚洲欧美熟女 | 亚洲av电影在线进入| 精品国内亚洲2022精品成人| 日本精品一区二区三区蜜桃| 国产激情久久老熟女| 亚洲国产精品999在线| 两人在一起打扑克的视频| 大型黄色视频在线免费观看| 欧美日韩一级在线毛片| 超碰97精品在线观看| 久久九九热精品免费| 香蕉久久夜色| 亚洲av电影在线进入| 午夜日韩欧美国产| 国产亚洲欧美在线一区二区| 国产激情欧美一区二区| www.999成人在线观看| 黄色怎么调成土黄色| 亚洲熟妇中文字幕五十中出 | 黄色女人牲交| 伦理电影免费视频| 久久天堂一区二区三区四区| 天堂影院成人在线观看| 他把我摸到了高潮在线观看| 正在播放国产对白刺激| 久久精品国产清高在天天线| 天堂影院成人在线观看| 国产一卡二卡三卡精品| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| a级片在线免费高清观看视频| 制服人妻中文乱码| 国产欧美日韩一区二区三| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 他把我摸到了高潮在线观看| 国产片内射在线| 日韩欧美三级三区| 久久热在线av| 一二三四社区在线视频社区8| 精品久久久久久久久久免费视频 | 亚洲av熟女| 手机成人av网站| 日韩av在线大香蕉|