重本求質(zhì)“圓”形畢露——以圓為背景巧解平面向量最值問題

浙江省永嘉縣上塘中學(xué)

向量既是代數(shù)研究對象,也是幾何研究對象,是溝通幾何與代數(shù)的橋梁[1],是高中數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)中的一個交匯點,而高考命題往往在交匯處設(shè)計試題.筆者通過對浙江高考試題和近年的溫州市高三模擬考試題的研究,發(fā)現(xiàn)一類向量與圓結(jié)合的問題,這類問題以向量表征圓,通過數(shù)形結(jié)合巧解平面向量最值問題.這類問題比較綜合且靈活,很多同學(xué)處理起來不得要領(lǐng),下面結(jié)合具體問題談?wù)勍诰蛳蛄恐械膱A的常見方式和具體應(yīng)用.

一、向量表征“圓”形畢露

1.圓的向量表征式

(3) 兩者聯(lián)系實際上,由平面向量的極化恒等式結(jié)合向量加減法的幾何意義可得

(其中O為AB的中點),A,B點固定時得這說明模長式和數(shù)量積式殊途同歸.

2.追根溯源

模長式圓比較好理解,即符合圓的定義——平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓;下面從圓的方程的角度給出數(shù)量積式圓的證明:

以AB點的連線方向為x軸,線段AB的中點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系,設(shè)A(-m,0),B(m,0),P(x,y),則整理得x2+y2=m2+l,故當(dāng)時,點P的軌跡即以AB的中點為圓心,以為半徑的圓.

3.提升推廣

二、考題鏈接,重本求質(zhì)

例1(2018高考浙江卷第9題) 已知a,b是平面向量,e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為向量b滿足b2-4e·b+3=0,則|a-b|的最小值是( )

思路分析關(guān)鍵在于對b2-4e·b+3=0的處理,為保持結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一性,可將3 看成3e2,對于b2-4e·b+3e2=0可配方或因式分解,結(jié)合圓的向量表征方式,解法便呼之欲出.

圖1

圖2

解法一因為b2-4e · b+3=0,所以配方得所以設(shè)由可得,b終點B在以C為圓心,1 為半徑的圓上,又a與e的夾角為則a終點A在過點O且與OC所在直線所成角為的兩條射線上,如圖1所示,的最小值的幾何意義即為圓C上任一點B到定射線OA上任一點距離的最小值,由幾何性質(zhì)可知該最小值為圓心C到OA的距離減去圓C半徑,即

解法二b2-4e·b+3=0,即b2-4e·b+3e2=0,因式分解得(b -3e)·(b - e)=0,設(shè)所以由此可得b終點B在以EF為直徑的圓上,又因為a與e的夾角為a終點A在過點O且與OC所在直線所成角為的兩條射線上,如圖2所示,余下與解法一相同,不重復(fù)敘述.

解法三因為b2-4e·b+3=0,所以b ·(b -4e) =-3,符合數(shù)量積式圓,設(shè)由可得即可知b終點B在以O(shè)F的中點M為圓心,為半徑的圓上,又因為a與e的夾角為a終點A在過點O且與OM所在直線所成角為的兩條射線上,如圖3所示,余下與解法一相同,不重復(fù)敘述.

例2(2019年溫州高三一模第9題) 已知向量a,b滿足則a·b的取值范圍是( )

圖3

思路分析關(guān)鍵在于對a2+2a·b+2b2=8的處理,直接配方導(dǎo)致多出b2不好處理,考慮到還有已知條件可先消去b2前的2,再對其進行配方,得到模長式圓,或者直接將代入,再因式分解得到數(shù)量積式圓,再結(jié)合向量數(shù)量積a·b的幾何意義進行求解.

解法一a2+2a·b+2b2=8 變形得配方得故設(shè)由可知b的終點B在以O(shè)為圓心,為半徑的圓上,過點B作直線OA的垂線交于點F,如圖4,由投影的意義得a · b=2MF,而投影所以選B.

圖4

圖5

解法二由a,b滿足|a|=2,a2+2a·b+2b2=8,得a·b+b2=2,因式分解得(a+b)·b=2,符合數(shù)量積式圓,設(shè)由(a+b)·b=2 可得即可知點B在以O(shè)A的中點M為圓心,半徑為的圓上.如圖5,由投影的意義得a·b=2AF,余下與解法一相同,不重復(fù)敘述.

例3(2019屆高三溫州二模第7題) 在平面上,e1,e2是方向相反的單位向量,則的最大值為( )

思路分析該題中圓的向量表征比較顯然,將模長式圓|a|=2和數(shù)量積式圓(b-e1)(b-e2)=0 結(jié)合到了一起,畫出圖形,利用|a-b|的幾何意義便可求解.

解析設(shè)則 由可得a終點A是在以O(shè)為圓心,2 為半徑的圓上,由(b-e1)(b-e2) =0,即可得b終點B是在以CD為直徑的圓上,且CD=2,如圖6,即為兩個同心圓上的動點A,B間的距離,可知最大值為兩圓半徑之和,所以選D.

圖6

當(dāng)然,例1還有其他解法,比如坐標(biāo)法等,可參考文獻[3],例2、例3同樣解法多樣,但無論哪種方法,最終還是回歸到了圓中,掌握圓的向量表征方式至關(guān)重要.且從以上的最近一年的浙江高考題和溫州市高考模擬題的解答可以看出,理解了圓的向量表征方式后使得問題的解決變得明朗化,可謂眾里尋他千百度,盡在圓中,重向量本求幾何質(zhì),“圓”形畢露,數(shù)形結(jié)合思想在其中彰顯得淋漓盡致.

三、題源回溯,研究高考

自浙江省數(shù)學(xué)高考獨立命題以來,筆者認為以下例題與上述題目有異曲同工之妙:

例4(2011年高考浙江卷理科第15題) 若平面向量α,β滿足且以向量α,β為鄰邊的平行四邊形的面積為則α和β的夾角θ的取值范圍是____.

例5(2008年高考浙江卷理科第9題) 已知a,b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,若向量c滿足(a-c) ·(b-c) =0,則|c|的最大值是( )

例6(2008年高考浙江卷文科第16題) 已知a是平面內(nèi)的單位向量,若向量b滿足b·(a-b)=0,則的取值范圍是____.

圖7

例5中由(a-c) ·(b-c) =0 可聯(lián)想到數(shù)量積式圓,即設(shè)由(a-c) ·(b-c) =0 得0,所以c終點C在以AB為直徑的圓上,如圖8,故|c|的最大值等于的最大值,問題轉(zhuǎn)化為圓上任意一點C到圓上一定點O距離的最大值問題,又a,b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,故直徑結(jié)合圖形可知選C.

圖8

例6中,由b ·(a - b)=0同樣可聯(lián)想到數(shù)量積式圓,設(shè)即所以b終點B在以O(shè)A為直徑的圓上,問題又轉(zhuǎn)化為圓上的任意一點C到圓上一定點O距離的最值問題,如圖9,又故的取值范圍是[0,1].

圖9

當(dāng)然,上述問題還有其他解法,但是可能費時費力,結(jié)合圓的向量表征方式數(shù)形結(jié)合解題體現(xiàn)了問題的本質(zhì),“圓”形畢露.浙江高考命題每年都推陳出新,表面看似復(fù)雜,但研究歷年浙江高考真題就會發(fā)現(xiàn)一些內(nèi)容會反復(fù)考察,這些題目往往會有自身獨特的特點.若仔細研究探討,由形而思,從中可以歸整理納出一定的解題技巧和方法,合理構(gòu)造,然后秒殺.

四、螺旋上升,問題設(shè)計

本文中選取的高考題和模擬題難易程度不一,2008 高考浙江卷理科第9題、2008年高考浙江卷文科第16題和2019年屆溫州市二模第7題中的圓的表征就比較顯然.一以向量模長固定時,即動點到定點的距離為定值,結(jié)合圓的定義便可發(fā)現(xiàn)圓;二以數(shù)量積是零時,兩向量互相垂直,即動點與兩定點構(gòu)成直角,結(jié)合圓的性質(zhì)便可發(fā)現(xiàn)圓.而2018年浙江高考第9題和2019屆溫州市一模第9題中的圓的表征就比較隱晦,需事先進行配方或因式分解等變形處理,再進一步研究點、圓、線相互間的位置關(guān)系.當(dāng)然,學(xué)生不可能一步就掌握要領(lǐng),要想訓(xùn)練學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想和問題轉(zhuǎn)化能力,基于向量隱形圓的階梯式的問題設(shè)計就顯得尤為重要.為了讓藏在向量中的圓“圓”形畢露,給出由淺入深的問題設(shè)計如下:

問題1已知b,e是平面向量,e是單位向量,向量b滿足(b-3e) ·(b-e) =0,則|b|的取值范圍是____.

問題2已知平面向量a,b,c滿足且(a-c) ·(b-c) =0,則的取值范圍是____.

問題3已知a,b是平面向量,e是單位向量,若非零向量a與e的夾角為向量b滿足b2-4e·b+3=0,則的最小值是____.

問題4等邊ΔABC的邊長為3,平面上的動點P滿足則的取值范圍是____.

設(shè)計思路結(jié)合2008年高考浙江卷理科第9題,對2018年高考浙江卷第9題進行重新設(shè)計,可將其簡單化,即去掉向量a的背景,將向量b的條件b2-4e·b+3=0 更明朗化,即(b-3e) ·(b-e)=0,直接求|b|的取值范圍,問題便可轉(zhuǎn)化為圓上的任意一點C到圓外一定點O距離的最值問題,這是第一個階梯.結(jié)合2019屆溫州市二模模擬題,對2008年高考浙江卷理科第9題進行重新設(shè)計,加之同心圓背景,可將問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系,這是第二個階梯.有了這些鋪墊以后,2018年高考浙江卷第9題便是要邁的第三個階梯,要將條件適當(dāng)變形處理,又考查直線與圓的位置關(guān)系.數(shù)量積式圓可以借助恒等式如此隱晦,讓人不禁思考對于模長式圓是否也可隱晦處理,讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn),這便是第四個階梯,比如可借助平面向量基本定理及定比分點向量公式.

五、回顧反思,提升素養(yǎng)

著名數(shù)學(xué)家蘇步青說:“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題,邊做邊思索,先知其然,然后知其所以然.”[4]然而,嚴(yán)峻的現(xiàn)實是,許多學(xué)生雖然做了大量的習(xí)題,但遇到類似的題目仍不知所措,“這道題好像哪里見到過,但是還是不會做”是學(xué)生的普遍反映,“這題,我講過好幾次了,學(xué)生為啥還是不會寫”是一線教師們的口頭禪,為什么會有這樣的偏差？筆者認為,高考數(shù)學(xué)題既考查學(xué)生的“四基”,又考查“四能”,還考查“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”,如果學(xué)習(xí)中僅就題論題,對問題的理解只停留在知識的表面上,而沒有深入分析理解其中所蘊含的本質(zhì),那么做再多的習(xí)題,也只是事倍功半.

解題是一種復(fù)雜的思維過程,解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的基本功,解題也是學(xué)數(shù)學(xué)的主要功課之一.針對浙江高考數(shù)學(xué)中的一類平面向量問題,代數(shù)法可以有效考查學(xué)生的運算能力,培育數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng),但有時過于繁瑣,而從幾何的角度考慮問題更直觀,“圓”形畢露,數(shù)形結(jié)合,提高解題效率,有利于培育直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng),因此上面高考題和模擬題的解法筆者采用的均是幾何法,揭示了該類問題背后的幾何實質(zhì)——圓.

另外,在平時的教學(xué)中,教師應(yīng)該多多進行高考題目的研究,從中尋找關(guān)聯(lián)點,尋找通性,關(guān)注題目背后所隱藏的知識內(nèi)容,將各知識點有機融合,形成微專題復(fù)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),借助向量的知識研究圓便是很好的素材,充分理解和把握圓的向量表征方式十分重要,不僅要理解掌握模長式圓和數(shù)量積式圓的形式,還要關(guān)注到兩者間的聯(lián)系.